Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
For a boundary line, replace the inequality sign by equality. In exams, draw the line first and then choose the region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2x+y=6). For a boundary line, replace the inequality sign by equality. In exams, draw the line first and then choose the region.
Step 3
Exam Tip
सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाएं फिर क्षेत्र चुनें।
B. नहीं क्योंकि \(9\le 8\) असत्य है/no because \(9\le 8\) is false
Step 1
Concept
Substituting ((1,4)) gives (1+8=9), which is greater than (8). In point testing, place both coordinates carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नहीं क्योंकि \(9\le 8\) असत्य है / no because \(9\le 8\) is false. Substituting ((1,4)) gives (1+8=9), which is greater than (8). In point testing, place both coordinates carefully.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) रखने पर (1+8=9) मिलता है जो (8) से बड़ा है। बिंदु जांच में दोनों निर्देशांक सही जगह रखें।
In \(y\ge 2x+1\), (y) is greater than or equal to the line value. Hence the half-plane above the line is taken.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. रेखा के ऊपर / above the line. In \(y\ge 2x+1\), (y) is greater than or equal to the line value. Hence the half-plane above the line is taken.
Step 3
Exam Tip
\(y\ge 2x+1\) में (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का अर्ध-समतल लिया जाता है।
A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष/first quadrant including axes
Step 1
Concept
Both coordinates are non-negative, so the region is the first quadrant including axes. Always identify non-negativity conditions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष / first quadrant including axes. Both coordinates are non-negative, so the region is the first quadrant including axes. Always identify non-negativity conditions first.
Step 3
Exam Tip
दोनों निर्देशांक ऋणात्मक नहीं हैं इसलिए क्षेत्र पहला चतुर्थांश और अक्ष हैं। गैर-ऋणात्मक शर्तों को हमेशा पहले पहचानें।
B. रेखा (x=4) के बाईं ओर सहित/left of (x=4) including the line
Step 1
Concept
In \(x\le 4\), (x) is (4) or less. Hence the region to the left of (x=4) is taken.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. रेखा (x=4) के बाईं ओर सहित / left of (x=4) including the line. In \(x\le 4\), (x) is (4) or less. Hence the region to the left of (x=4) is taken.
Step 3
Exam Tip
\(x\le 4\) में (x) का मान (4) या उससे कम है। इसलिए (x=4) के बाईं ओर का क्षेत्र लिया जाता है।
A. रेखा (y=3) के ऊपर पर रेखा शामिल नहीं/above (y=3) excluding the line
Step 1
Concept
In (y>3), (y) is greater than (3) and the boundary is excluded. Shade above the dashed horizontal line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा (y=3) के ऊपर पर रेखा शामिल नहीं / above (y=3) excluding the line. In (y>3), (y) is greater than (3) and the boundary is excluded. Shade above the dashed horizontal line.
Step 3
Exam Tip
(y>3) में (y) का मान (3) से बड़ा है और सीमा रेखा शामिल नहीं है। इसलिए टूटी क्षैतिज रेखा के ऊपर शेड करें।
The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. त्रिभुज / triangle. The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
Step 3
Exam Tip
अक्षों और रेखा (x+2y=10) से बंद त्रिभुज बनता है। प्रथम चतुर्थांश की शर्तें क्षेत्र को सीमित कर सकती हैं।
The intersection of (x=1) and (y=2) is ((1,2)), and it satisfies \(x+y\le 7\). To find vertices, intersect boundary lines pairwise.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((1,2)). The intersection of (x=1) and (y=2) is ((1,2)), and it satisfies \(x+y\le 7\). To find vertices, intersect boundary lines pairwise.
Step 3
Exam Tip
(x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद ((1,2)) है और यह \(x+y\le 7\) को संतुष्ट करता है। शीर्ष खोजते समय सीमा रेखाओं को जोड़ी में काटें।
B. मूल बिंदु के विपरीत ओर/side opposite the origin
Step 1
Concept
If the test point gives false, the solution region is not on that side. Hence choose the opposite half-plane.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु के विपरीत ओर / side opposite the origin. If the test point gives false, the solution region is not on that side. Hence choose the opposite half-plane.
Step 3
Exam Tip
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो हल क्षेत्र उस ओर नहीं होगा। इसलिए विपरीत अर्ध-समतल चुनते हैं।
Substituting ((0,0)) gives \(0\ge 6\), which is false. Hence choose the region opposite to the origin.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(0\ge 6\) असत्य / \(0\ge 6\) false. Substituting ((0,0)) gives \(0\ge 6\), which is false. Hence choose the region opposite to the origin.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर \(0\ge 6\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु के विपरीत भाग को चुनें।
At (y=0), (x=10), and at (x=0), (y=4). These two points are enough to draw the boundary line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((10,0)) और ((0,4)) / ((10,0)) and ((0,4)). At (y=0), (x=10), and at (x=0), (y=4). These two points are enough to draw the boundary line.
Step 3
Exam Tip
(y=0) पर (x=10) और (x=0) पर (y=4) मिलता है। सीमा रेखा खींचने में ये दो बिंदु पर्याप्त हैं।
The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,0)), ((8,0)), ((0,6)). The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
Step 3
Exam Tip
रेखा के अवरोध ((8,0)) और ((0,6)) हैं तथा अक्षों का प्रतिच्छेद ((0,0)) है। प्रथम चतुर्थांश में ये त्रिभुज के शीर्ष हैं।
A. रेखा (x=5) के बाईं और (y=3) के नीचे का क्षेत्र/left of (x=5) and below (y=3)
Step 1
Concept
\(x\le 5\) gives the left side and \(y\le 3\) gives the lower side. The common region is the overlap of both conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा (x=5) के बाईं और (y=3) के नीचे का क्षेत्र / left of (x=5) and below (y=3). \(x\le 5\) gives the left side and \(y\le 3\) gives the lower side. The common region is the overlap of both conditions.
Step 3
Exam Tip
\(x\le 5\) बाईं ओर और \(y\le 3\) नीचे का भाग देता है। संयुक्त क्षेत्र दोनों शर्तों का ओवरलैप होता है।
From \(x-y\le 2\), \(-y\le 2-x\), and reversing the sign gives \(y\ge x-2\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y\ge x-2\). From \(x-y\le 2\), \(-y\le 2-x\), and reversing the sign gives \(y\ge x-2\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
Step 3
Exam Tip
\(x-y\le 2\) से \(-y\le 2-x\) और चिन्ह बदलकर \(y\ge x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटना न भूलें।
A. रेखा (y=x) के ऊपर और (y=4) के नीचे/above (y=x) and below (y=4)
Step 1
Concept
The first inequality gives the region above the line and the second gives the region below (y=4). The common region is their overlap.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा (y=x) के ऊपर और (y=4) के नीचे / above (y=x) and below (y=4). The first inequality gives the region above the line and the second gives the region below (y=4). The common region is their overlap.
Step 3
Exam Tip
पहली असमानता ऊपर का क्षेत्र और दूसरी नीचे का क्षेत्र देती है। संयुक्त क्षेत्र दोनों के बीच का ओवरलैप है।
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Step 1
Concept
The boundary lines (x+y=5) and (x+y=2) are parallel. The region between them is the common solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी / strip between two parallel lines. The boundary lines (x+y=5) and (x+y=2) are parallel. The region between them is the common solution.
Step 3
Exam Tip
दोनों सीमा रेखाएं (x+y=5) और (x+y=2) समानांतर हैं। इनके बीच का क्षेत्र संयुक्त हल है।
No value can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4) at the same time. Hence there is no common solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. रिक्त समुच्चय / empty set. No value can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4) at the same time. Hence there is no common solution.
Step 3
Exam Tip
कोई संख्या एक साथ (1) से कम या बराबर और (4) से अधिक या बराबर नहीं हो सकती। इसलिए संयुक्त हल नहीं है।
Substituting ((2,2)) gives (2+4=6). Equality means the point lies on the boundary and is included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सीमा रेखा पर / on boundary line. Substituting ((2,2)) gives (2+4=6). Equality means the point lies on the boundary and is included.
Step 3
Exam Tip
((2,2)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है।
B. सीमा रेखा पर लेकिन हल में शामिल नहीं/on boundary but not included
Step 1
Concept
At ((3,0)), (3x+y=9), but the inequality is (<). Thus boundary points are not included in the solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सीमा रेखा पर लेकिन हल में शामिल नहीं / on boundary but not included. At ((3,0)), (3x+y=9), but the inequality is (<). Thus boundary points are not included in the solution.
Step 3
Exam Tip
((3,0)) पर (3x+y=9) है लेकिन असमानता (<) है। इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल में शामिल नहीं होते।
The boundary line is (y=-2x+7), and the coefficient of (x) is the slope. Use the slope to understand the line direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (-2). The boundary line is (y=-2x+7), and the coefficient of (x) is the slope. Use the slope to understand the line direction.
Step 3
Exam Tip
सीमा रेखा (y=-2x+7) है और (x) का गुणांक ढाल होता है। ढाल देखकर रेखा की दिशा समझें।
Solving the two oblique lines gives \(x=y=\frac{8}{3}\). This is an inner vertex of the common region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)). Solving the two oblique lines gives \(x=y=\frac{8}{3}\). This is an inner vertex of the common region.
Step 3
Exam Tip
दोनों तिरछी रेखाओं को हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का अंदरूनी शीर्ष है।
B. एक-आयामी सीमित हल/one-dimensional bounded solution
Step 1
Concept
A line segment has infinitely many points but not a two-dimensional area. It is considered a bounded linear solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक-आयामी सीमित हल / one-dimensional bounded solution. A line segment has infinitely many points but not a two-dimensional area. It is considered a bounded linear solution.
Step 3
Exam Tip
रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं लेकिन वह क्षेत्रफल वाला द्वि-आयामी भाग नहीं होता। इसे सीमित रैखिक हल माना जाता है।
Both conditions together give (x=2). When \(\ge\) and \(\le\) occur at the same number, equality is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा (x=2) / line (x=2). Both conditions together give (x=2). When \(\ge\) and \(\le\) occur at the same number, equality is obtained.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तें मिलकर (x=2) देती हैं। जब \(\ge\) और \(\le\) एक ही संख्या पर हों तो बराबरी मिलती है।
The same (y)-value cannot be both greater than and less than (1). Therefore there is no common solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. रिक्त समुच्चय / empty set. The same (y)-value cannot be both greater than and less than (1). Therefore there is no common solution.
Step 3
Exam Tip
एक ही (y) मान (1) से बड़ा और छोटा दोनों नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है।
A. हल में शामिल और सीमा पर/included in solution and on boundary
Step 1
Concept
Substituting ((0,0)) gives \(0\le 0\), which is true with equality. So the origin is included on the boundary line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हल में शामिल और सीमा पर / included in solution and on boundary. Substituting ((0,0)) gives \(0\le 0\), which is true with equality. So the origin is included on the boundary line.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर \(0\le 0\) सत्य है और बराबरी भी है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर शामिल है।
In the first quadrant, the region above both lines extends infinitely. Therefore the solution region is unbounded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असीमित क्षेत्र / unbounded region. In the first quadrant, the region above both lines extends infinitely. Therefore the solution region is unbounded.
Step 3
Exam Tip
प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है।
