Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
रेखीय फलन (f(x)=x+3) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में हर रेखीय फलन का प्रांत सामान्यतः \(\mathbb{R}\) लें। / The linear function (f(x)=x+3) is defined for every real (x). In exams, the domain of a basic linear function is usually \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। इसलिए सबसे छोटा मान (0) है और परिसर \([0,\infty\)) है। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). So the least value is (0), and the range is \([0,\infty\)).
हर में (x) है, इसलिए (x=0) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर को (0) न बनने दें। / The denominator is (x), so the function is not defined at (x=0). In exams, make sure the denominator is not (0).
यह स्थिर फलन है और हर (x) पर मान (5) ही देता है। स्थिर फलन का परिसर एकल समुच्चय होता है। / This is a constant function and gives only the value (5). The range of a constant function is a singleton set.
वर्गमूल के अंदर \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x \ge 2\) और प्रांत \([2,\infty\)) है। / The expression inside the square root must satisfy \(x-2 \ge 0\). Thus \(x \ge 2\), so the domain is \([2,\infty\)).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-4\) है, इसलिए \(x-4=0\) होने पर \(x=4\) प्राप्त होता है। अतः 4 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल हैं, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\)। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x-4=0\) gives \(x=4\), so 4 must be excluded while every other real number is allowed. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\). Exam tip: For a fractional function, set the denominator equal to zero to find the values excluded from the domain.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=2x^2\ge 0\)। साथ ही \(x=0\) पर \(f(0)=0\), और प्रत्येक धनात्मक मान \(y\) के लिए \(x=\sqrt{y/2}\) लेने पर \(f(x)=y\) मिलता है। इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2\) में \(a>0\) हो और परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो, तो परास \([0,\infty)\) होता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=2x^2\ge 0\). Also, \(f(0)=0\), and for every positive value \(y\), choosing \(x=\sqrt{y/2}\) gives \(f(x)=y\). Hence the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(0\). Exam tip: when the domain is \(\mathbb{R}\) and the function is \(ax^2\) with \(a>0\), its range is \([0,\infty)\).
A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\)/Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
घन फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। / The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। अतः हर वास्तविक \(x\) पर हर भाजक शून्य से भिन्न रहता है और फलन परिभाषित है। इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर भी भाजक \(1\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन का प्रांत निकालते समय भाजक को शून्य करने वाले मानों को हटाएँ। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+1\ge 1>0\). Thus the denominator is never zero, and the function is defined for every real number. Therefore, its domain is \(\mathbb{R}\). Option B is incorrect because at \(x=0\), the denominator is \(1\), not zero. Exam tip: For a rational function, exclude only those values that make the denominator zero.
निरपेक्ष मान 8|x-2|9 हमेशा 0 या उससे बड़ा होता है। जब 8x=29, तब 8|x-2|=|2-2|=09 होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0 है। विकल्प 2 केवल कुछ मानों पर फलन का मान हो सकता है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा में 8|x-a|9 का न्यूनतम मान सीधे 0 याद रखें, जो 8x=a9 पर प्राप्त होता है। / An absolute value 8|x-2|9 is always greater than or equal to 0. At 8x=29, 8|x-2|=|2-2|=09, so the minimum value is 0. The value 2 can occur for some inputs, but it is not the minimum. Exam tip: for 8|x-a|9, the minimum value is 0, attained at 8x=a9.
दिए गए फलन में x=0 रखने पर (f(0)=4-0=4) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प B में फलन के मान के बजाय केवल x का मान लिया गया है। परीक्षा में (f(a)) निकालने के लिए फलन के सूत्र में x के स्थान पर a रखें। / Substituting x=0 into the function gives (f(0)=4-0=4), so the correct answer is 4. Option B is only the input value, not the function value. Exam tip: To find (f(a)), replace x by a in the given formula.
भिन्नात्मक फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x+1\) है, जो \(x=-1\) पर शून्य हो जाता है। इसलिए \(-1\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में होंगी, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)। विकल्प B में \(1\) को हटाया गया है, जबकि \(x=1\) पर फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a fractional function cannot be zero. Here, the denominator \(x+1\) is zero when \(x=-1\), so every real number except \(-1\) belongs to the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Option B incorrectly excludes \(1\), although the function is defined at \(x=1\). Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2 \le 9\), यानी \(-3 \le x \le 3\) मिलता है। / For the square root, \(9-x^2 \ge 0\) is needed. This gives \(x^2 \le 9\), that is \(-3 \le x \le 3\).
शर्त \(9-x^2 \ge 0\) से ([-3,3]) मिलता है। सिरों को शामिल करें क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / The condition \(9-x^2 \ge 0\) gives ([-3,3]). Include the endpoints because the square root can be (0).
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2-4\) का न्यूनतम मान (-4) है। अतः परिसर \([-4,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2-4\) is (-4). Hence the range is \([-4,\infty\)).
\(\sqrt{x^2}\) का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए यह (|x|) के बराबर है। सामान्य गलती इसे सीधे (x) लिखना है। / \(\sqrt{x^2}\) is always non-negative, so it equals (|x|). A common mistake is writing it directly as (x).
A. जिसका हर मान \(\mathbb{R}\) में हो/Its every value lies in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाला फलन वह है जिसके निर्गत मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। यहाँ मुख्य ध्यान सहप्रांत या मानों पर होता है। / A real valued function has output values in the real numbers. The key focus is on the codomain or values.
फलन \(f:A\to\mathbb{R}\) में \(A\) वह समुच्चय है जिससे फलन के लिए इनपुट मान लिए जाते हैं, इसलिए इसे प्रांत (Domain) कहते हैं। \(\mathbb{R}\) सहप्रांत है, जबकि परिसर केवल वे वास्तविक मान हैं जो फलन वास्तव में प्राप्त करता है और यह \(\mathbb{R}\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा-युक्ति: तीर के बाईं ओर का समुच्चय प्रांत और दाईं ओर का समुच्चय सहप्रांत होता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), the set \(A\) contains the input values of the function, so it is called the domain. The set \(\mathbb{R}\) is the codomain, while the range consists only of the values actually produced by the function and is a subset of \(\mathbb{R}\). Exam tip: in function notation, the set before the arrow is the domain and the set after the arrow is the codomain.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में \(\mathbb{R}\) वह समुच्चय है जिसमें मान जाने हैं। यह सहप्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) is the set where outputs are expected to lie. It is called the codomain.
((-2)2=4) और \(2^2=4\), इसलिए केवल एक अलग मान मिलता है। परिसर में दोहराए गए मान एक बार लिखते हैं। / ((-2)2=4) and \(2^2=4\), so only one distinct value is obtained. Repeated values are written once in the range.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-2\) है, इसलिए \(x-2=0\) रखने पर \(x=2\) मिलता है और 2 प्रांत से बाहर होगा। \(x=0\) मान्य है, क्योंकि \(f(0)=0\), इसलिए विकल्प B गलत है। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य करने वाले मानों को वास्तविक संख्याओं से हटा दें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x-2=0\) when \(x=2\), so 2 must be excluded from the real numbers. The value \(x=0\) is allowed because \(f(0)=0\), so option B is incorrect. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Exam tip: For a fractional function, set the denominator equal to zero and exclude the resulting values from the real numbers.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(4-2x\ge 0\)। इससे \(x\le 2\) प्राप्त होता है, इसलिए प्रांत \((- infty,2]\) है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट दी गई है, जबकि \(x=2\) को शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) की शर्त लगाएँ। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(4-2x\ge 0\). Solving this inequality gives \(x\le 2\), so the domain is \((- infty,2]\). Option B reverses the inequality, and the endpoint \(x=2\) must be included because the square root of zero is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) to find the domain.
(|x|) जितना बड़ा होगा, (3-|x|) उतना छोटा होगा। अधिकतम (3) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x|) becomes larger, (3-|x|) becomes smaller. The maximum is (3), and there is no lower bound.
दिए गए फलन में \(x=5\) रखने पर \(f(5)=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। 2 केवल अंश को सही ढंग से 6 निकालने के बाद 2 से भाग न देने पर मिल सकता है। परीक्षा-टिप: फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए मान को हर \(x\) के स्थान पर रखें और फिर सरल करें। / Substituting \(x=5\) into the function gives \(f(5)=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\). Therefore, the correct answer is 3. The option 2 results from failing to divide the numerator value 6 by 2. Exam tip: To find a function value, substitute the given input for every occurrence of \(x\) and simplify the resulting expression.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4>0\)। अतः हर कभी शून्य नहीं होता और किसी भी वास्तविक \(x\) को हटाने की आवश्यकता नहीं है; इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B और C में 2 या \(-2\) को हटाना गलत है, क्योंकि \((-2)^2+4=8\) और \(2^2+4=8\), दोनों शून्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले फलन में उन मानों को ही प्रांत से हटाएँ जिन पर हर शून्य हो जाता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4>0\). Thus the denominator is never zero, and no real value of \(x\) must be excluded; hence the domain is \(\mathbb{R}\). Options B and C are incorrect because at \(x=2\) and \(x=-2\), the denominator equals 8, not 0. Exam tip: for a fractional function, exclude only those input values that make the denominator zero.
\(\sqrt{x}\) वास्तविक होने के लिए \(x \ge 0\) चाहिए। (2) से गुणा करने पर प्रांत नहीं बदलता। / For \(\sqrt{x}\) to be real, \(x \ge 0\) is needed. Multiplication by (2) does not change the domain.
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) चाहिए। इस कारण (x>1) और प्रांत (\(1,\infty\)) है। / The denominator is \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is required. Thus (x>1), and the domain is (\(1,\infty\)).
