Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A = \(\{\emptyset\}\) का एकमात्र अवयव \(\emptyset\) है, इसलिए \(\emptyset \in A\) सत्य है। \(\emptyset = A\) गलत है क्योंकि \(\emptyset\) खाली सेट है जबकि A में एक अवयव मौजूद है — अर्थात् \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\)। \(A \in \emptyset\) भी गलत है क्योंकि खाली सेट के कोई अवयव नहीं होते। परीक्षा सुझाव: हमेशा "अवयव \(\in\)" और "उपसेट \(\subset/\subseteq\)" में फर्क याद रखें और \(\emptyset\) व \(\{\emptyset\}\) को अलग समझें। / A = \(\{\emptyset\}\) has exactly one element, namely \(\emptyset\). Therefore \(\emptyset \in A\) is true. \(\emptyset = A\) is false because the empty set has no elements while A does have one element, so \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\). \(A \in \emptyset\) is false since the empty set contains no elements. Exam tip: always distinguish element membership \(\in\) from subset relations \(\subset,\subseteq\) and remember \(\emptyset\) ≠ \(\{\emptyset\}\).
दो एक-सदस्यीय समुच्चय तब और केवल तब बराबर होते हैं जब उनके तत्व समान हों। अतः \\(\{2a+1\}=\{7\}\) होने पर \\(2a+1=7\\)। इसे हल करने पर \\(2a=6\\) और इसलिए \\(a=3\\)। विकल्प A (2) गलत है क्योंकि \\(2\) रखने पर \\(2a+1=5\\) मिलता है, विकल्प C (4) रखने पर \\(2a+1=9\\) मिलता है। परीक्षा टिप: समुच्चयों की समानता में समुच्चयों के भीतर के तत्वों की बराबरी करना याद रखें — एक-सदस्यीय समुच्चयों के लिए यह सीधे समतुल्य समीकरण देता है। / Two singleton sets are equal iff their single elements are equal. Therefore from \\(
\{2a+1\}=\{7\}\\) we get the equation \\(2a+1=7\\). Solving gives \\(2a=6\\) and \\(a=3\\). Option A (2) is incorrect because it yields \\(2a+1=5\\); option C (4) is incorrect because it yields \\(2a+1=9\\). Exam tip: For equality of singleton sets, equate the lone elements to form a simple equation.
समुच्चयों की समानता का अर्थ है कि दोनों में एक ही सदस्य होंगे। {a,4} = {2,b} होने पर सदस्यों का सेट
{2,4} होना चाहिए। दिया गया है कि a \ne 4, अतः a = 2 होना अनिवार्य है; फिर b को 4 होना चाहिए ताकि दाएँ ओर भी सदस्य 2 और 4 ही हों। विकल्प B (a = 4, b = 2) गलत है क्योंकि वह a = 4 मानता है जो शर्त के विपरीत है। परीक्षा टिप: सेट में क्रम का कोई महत्व नहीं, इसलिए केवल सदस्यताएँ मिलानी होती हैं। / Equality of sets means they contain the same elements. From {a,4} = {2,b} the element set must be {2,4}. Given a \ne 4, a cannot be 4 and therefore must be 2; consequently b = 4 so the two sets match. Option B (a = 4, b = 2) is invalid because it contradicts a \ne 4. Exam tip: remember order doesn't matter in sets—match elements, not positions.
शर्त \\(-3 < x \le 2\\) बताती है कि x पूर्णांक होना चाहिए और -3 को शामिल नहीं करते हुए 2 को शामिल करना चाहिए। पूर्णांकों में ऐसे मान केवल \\{-2,-1,0,1,2\\} हैं। विकल्प B में -3 अवैध रूप से शामिल है; विकल्प C में 2 गायब है; विकल्प D में -3 शामिल है और 2 गायब है। परीक्षा टिप: अंत-बिन्दुओं (open/closed) पर ध्यान दें — "<" मतलब शामिल नहीं और "\le" मतलब शामिल। / The condition \(-3 < x \le 2\) requires x to be an integer greater than -3 and at most 2. The integer values satisfying this are \{-2, -1, 0, 1, 2\}, so option A is correct. Option B wrongly includes -3; option C omits 2; option D both includes -3 and omits 2. Exam tip: Always test the endpoints — "<" excludes the endpoint while "\le" includes it; list a few integers to verify.
दो एक-सदस्यीय समुच्चय बराबर होने पर उनके अकेले तत्व बराबर होंगे। इसलिए \(\{a+2\} = \{9\}\) से \(a+2=9\) मिलता है और इससे \(a=7\) आता है। निकटतम भ्रामक विकल्पों में 11 उस गलती से आ सकता है जिसमें 2 जोड़ दिया गया हो (9+2=11), और 5 या 6 साधारण अंकगणितीय गलतियों के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: एक-सदस्यीय समुच्चय बराबरी में सीधे तत्वों को बराबर मानें और फिर सरल समीकरण हल करें। / If two singleton sets are equal, their sole elements are equal. From \(\{a+2\} = \{9\}\) we get \(a+2=9\), hence \(a=7\). Common wrong answers: 11 comes from adding 2 to 9 instead of subtracting; 5 or 6 arise from arithmetic mistakes. Exam tip: For singleton sets equate the elements directly and solve the resulting simple equation.
\(B\) में दिए नियम में \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(B=\{2,4,6,8\}\) प्राप्त होता है। यह ठीक वही सदस्य हैं जो \(A\) में हैं, अतः \(A=B\)। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे 'उचित उपसमुच्चय' बताते हैं जबकि दोनों सेट समान हैं; विकल्प D गलत है क्योंकि प्रतिच्छेद खाली नहीं है (उदा.: 2)। परीक्षा-सुझाव: सेट-बिल्डर को पहले सूची रूप में बदलें और सदस्य-तुलना करें। / Putting \(n=1,2,3,4\) gives \(B=\{2,4,6,8\}\), which is exactly the set \(A\). Hence \(A=B\). Options B and C are incorrect because they claim a proper subset relation while the sets are equal; option D is incorrect because the intersection is not empty (e.g. 2). Exam tip: Convert set-builder notation to roster form and compare elements to decide equality or subset relations quickly.
\(n(A\setminus B)=0\) का अर्थ है कि सेट \(A\) का कोई तत्व B के बाहर नहीं है, अर्थात् हर तत्व B में भी आता है। यह परिभाषा सीधे बताती है कि \(A\subseteq B\) होगा। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) गलत है क्योंकि वह कहता है कि हर B का तत्व A में है — दिए गए सूचकांक से यह निष्कर्ष नहीं निकलता। विकल्प C (\(A\cap B=\varnothing\)) भी गलत है: यदि \(A\cap B=\varnothing\) होता तो \(A\setminus B=A\) होता और तब \(n(A\setminus B)=n(A)>0\) होता, जो प्रतिवाद है। परीक्षा-टिप: हमेशा \(A\setminus B\) की परिभाषा याद रखें — यह वे तत्व हैं जो A में हैं पर B में नहीं; यदि इसका कार्दिनल 0 है तो A का पूरा भाग B में है। / \(n(A\setminus B)=0\) means no element of A lies outside B, i.e. every element of A is also in B. By definition this implies \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) is not implied by the given information. Option C (\(A\cap B=\varnothing\)) is incorrect because if the intersection were empty then \(A\setminus B=A\), so \(n(A\setminus B)=n(A)>0\), contradicting the given. Exam tip: translate \(A\setminus B\) as “elements in A but not in B”; if its cardinality is zero, A is contained in B.
\(B\) के प्रत्येक \(y\) मान के लिए \(x=2y-1\) निकालते हैं: \(y=1\) पर \(x=1\), \(y=2\) पर \(x=3\), और \(y=3\) पर \(x=5\)। इस प्रकार युग्म \((1,1),(3,2),(5,3)\) प्राप्त होते हैं और इन सभी में पहला घटक \(A\) तथा दूसरा घटक \(B\) में है। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा में ध्यान रखें कि \(A\times B\) में पहले घटक का \(A\) और दूसरे घटक का \(B\) से होना आवश्यक है। / For each value of \(y\) in \(B\), calculate \(x=2y-1\): when \(y=1\), \(x=1\); when \(y=2\), \(x=3\); and when \(y=3\), \(x=5\). Thus the ordered pairs are \((1,1),(3,2),(5,3)\), and every first component belongs to \(A\) while every second component belongs to \(B\). Therefore, the total number of pairs is 3. Exam tip: in \(A\times B\), the first entry must come from \(A\) and the second from \(B\).
