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Mathematics The Empty Set, Finite and Infinite Sets, Equal Sets MCQ Questions for Class 11

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The Empty Set, Finite and Infinite Sets, Equal Sets Practice Questions

Showing 621-626 of 626 questions.

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Question 621/626 Expert Mathematics Sets The Empty Set, Finite and Infinite Sets, Equal Sets Class 11 Level 23

यदि \(A=\{1,2,4,8\}\) और \(B=\{2,4,8,16\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((x,y)\) होंगे जिनके लिए \(y=2x\) है?

If \(A=\{1,2,4,8\}\) and \(B=\{2,4,8,16\}\), how many ordered pairs \((x,y)\) in \(A\times B\) satisfy \(y=2x\)?

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Correct Answer

C. 4

Explanation

Simple Explanation

शर्त \(y=2x\) के अनुसार प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(y\) का मान जाँचते हैं। इससे क्रमित युग्म \((1,2),(2,4),(4,8),(8,16)\) प्राप्त होते हैं और सभी में दूसरा घटक \(B\) में है। इसलिए कुल \(4\) युग्म हैं। विकल्प 3 में एक वैध युग्म छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसी गणना में पहले \(A\) के प्रत्येक अवयव का \(2x\) निकालकर देखें कि वह \(B\) में है या नहीं। / Using \(y=2x\), check the value of \(2x\) for each \(x\in A\). The valid ordered pairs are \((1,2),(2,4),(4,8),(8,16)\), and each second component belongs to \(B\). Hence, there are \(4\) pairs. Option 3 misses one valid pair. Exam tip: for this type of question, compute \(2x\) for every element of \(A\) and retain it only when the result lies in \(B\).

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Question 622/626 Expert Mathematics Sets The Empty Set, Finite and Infinite Sets, Equal Sets Class 11 Level 23

यदि \(n(A\times B)=n(B\times C)=30\), \(n(B)=5\), तथा \(A,B,C\) अशून्य सीमित समुच्चय हैं, तो \(n(A\times C)\) का मान क्या है?

If \(n(A\times B)=n(B\times C)=30\), \(n(B)=5\), and \(A,B,C\) are non-empty finite sets, what is the value of \(n(A\times C)\)?

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Correct Answer

C. 36

Explanation

Simple Explanation

कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\)। अतः \(n(A)\cdot5=30\), इसलिए \(n(A)=6\); इसी प्रकार \(5\cdot n(C)=30\), इसलिए \(n(C)=6\)। अब \(n(A\times C)=n(A)n(C)=6\cdot6=36\)। विकल्प 30 केवल दिए गए गुणनफल की संख्या को दोहराता है, जबकि पूछा गया गुणनफल \(A\times C\) का है। परीक्षा-युक्ति: साझा समुच्चय \(B\) की cardinality से पहले \(A\) और \(C\) की cardinalities निकालें। / For Cartesian products, \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\). Thus, \(n(A)\cdot5=30\), so \(n(A)=6\); similarly, \(5\cdot n(C)=30\), so \(n(C)=6\). Therefore, \(n(A\times C)=n(A)n(C)=6\cdot6=36\). Option 30 merely repeats the given product cardinality, whereas the question asks for the cardinality of \(A\times C\). Exam tip: first determine the cardinalities of the two outer sets using the shared set \(B\).

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Question 623/626 Expert Mathematics Sets The Empty Set, Finite and Infinite Sets, Equal Sets Class 11 Level 23

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{1,2,3,4\}\) हों, तो \(A\times B\) में ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या कितनी है जिनमें पहला निर्देशांक दूसरे निर्देशांक से बड़ा हो?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{1,2,3,4\}\), how many ordered pairs in \(A\times B\) have the first coordinate greater than the second coordinate?

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Correct Answer

B. 3

Explanation

Simple Explanation

\(A\times B\) के युग्म \((x,y)\) में \(x>y\) होना चाहिए। \(x=1\) के लिए कोई मान्य \(y\) नहीं है; \(x=2\) के लिए केवल \(y=1\), और \(x=3\) के लिए \(y=1,2\) मिलते हैं। अतः युग्म \((2,1),(3,1),(3,2)\) हैं और कुल संख्या \(1+2=3\) है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(x\) के लिए उससे छोटे \(y\) मानों की संख्या गिनकर जोड़ें। / For an ordered pair \((x,y)\) in \(A\times B\), we need \(x>y\). When \(x=1\), there is no valid \(y\); when \(x=2\), only \(y=1\) works; and when \(x=3\), \(y=1,2\) work. Thus the pairs are \((2,1),(3,1),(3,2)\), giving \(1+2=3\) pairs. Hence option B is correct. Exam tip: For each first coordinate, count the elements of \(B\) that are smaller than it, then add those counts.

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Question 624/626 Expert Mathematics Sets The Empty Set, Finite and Infinite Sets, Equal Sets Class 11 Level 23

यदि \(A=\{0,1,2\}\) और \(B=\{-1,0,1\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((x,y)\) हैं जिनके लिए \(x^2+y^2=1\) है?

If \(A=\{0,1,2\}\) and \(B=\{-1,0,1\}\), how many ordered pairs \((x,y)\) in \(A\times B\) satisfy \(x^2+y^2=1\)?

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Correct Answer

B. 3

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(x\in A\) और \(y\in B\) होना चाहिए। \(x=0\) पर \(y^2=1\), इसलिए दो युग्म \((0,-1)\\\) और \((0,1)\) मिलते हैं। \(x=1\) पर \(y=0\), इसलिए \((1,0)\) एक और युग्म है। \(x=2\) पर \(y^2=-3\), जो संभव नहीं है। अतः कुल \(3\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(A\) के प्रत्येक मान को रखकर \(y^2=1-x^2\) जाँचें; इससे कोई युग्म छूटेगा नहीं। / Here, \(x\in A\) and \(y\in B\). For \(x=0\), \(y^2=1\), giving \((0,-1)\) and \((0,1)\). For \(x=1\), \(y=0\), giving \((1,0)\). For \(x=2\), \(y^2=-3\), which is impossible for a real element of \(B\). Therefore, the total number of ordered pairs is \(3\). Exam tip: substitute each value of \(x\) and check \(y^2=1-x^2\) against the set \(B\).

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Question 625/626 Expert Mathematics Sets The Empty Set, Finite and Infinite Sets, Equal Sets Class 11 Level 23

यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(B=\{-1,0,1\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((x,y)\) हैं जिनके लिए \(x+y=0\) है?

If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(B=\{-1,0,1\}\), how many ordered pairs \((x,y)\) in \(A\times B\) satisfy \(x+y=0\)?

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Correct Answer

B. 3

Explanation

Simple Explanation

शर्त \(x+y=0\) से \(y=-x\) मिलता है। \(y\) का मान \(B\) में होने के लिए \(x\) केवल \(-1,0,1\) हो सकता है। अतः क्रमित युग्म \((-1,1),(0,0),(1,-1)\) हैं और इनकी संख्या \(3\) है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म \((x,y)\) में पहला अवयव \(A\) और दूसरा अवयव \(B\) से होना चाहिए। / From \(x+y=0\), we get \(y=-x\). Since \(y\) must belong to \(B\), the possible values of \(x\) are only \(-1,0,1\). The valid ordered pairs are \((-1,1),(0,0),(1,-1)\), so their number is \(3\). Exam tip: In \(A\times B\), the first element of each ordered pair must come from \(A\), and the second must come from \(B\).

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Question 626/626 Expert Mathematics Sets The Empty Set, Finite and Infinite Sets, Equal Sets Class 11 Level 23

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{1,3,5,7\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((x,y)\) हैं, जिनके लिए \(y=2x-1\) है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{1,3,5,7\}\), how many ordered pairs \((x,y)\) in \(A\times B\) satisfy \(y=2x-1\)?

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Correct Answer

C. 4

Explanation

Simple Explanation

\(A\) के प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=2x-1\) निकालते हैं: \(x=1,2,3,4\) पर क्रमशः \(y=1,3,5,7\) प्राप्त होता है। ये सभी मान \(B\) में हैं, इसलिए क्रमित युग्म \((1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\) और कुल 4 हैं। 3 चुनना गलत होगा, क्योंकि चौथा युग्म \((4,7)\) भी शर्त पूरी करता है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(x\) के लिए प्राप्त \(y\) का \(B\) में होना अवश्य जाँचें। / For each \(x\in A\), calculate \(y=2x-1\). The values are \(1,3,5,7\) for \(x=1,2,3,4\), respectively. All these values belong to \(B\), giving the ordered pairs \((1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\). Therefore, the total is 4. Choosing 3 is incorrect because \((4,7)\) also satisfies the condition. Exam tip: after calculating \(y\), always verify that it belongs to the second set \(B\).

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