Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
घातांक संबंध से \(|\mathcal{P}(A)|=2^n=64\) होने पर \(2^n=64\Rightarrow n=6\). किसी भी सेट के \(k\)-तत्वीय उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{n}{k}\) से दी जाती है, अतः यहाँ \(\binom{6}{3}=20\)। परीक्षा में भ्रमित करने वाली धारणा: 15 दरअसल \(\binom{6}{2}=15\) है (कभी-कभी विद्यार्थी तत्वों की संख्या बदलकर गलती कर लेते हैं), और 18 के लिए कोई पूर्णांक \(k\) नहीं है जिससे \(\binom{6}{k}=18\)। टैम्प: पहले \(2^n\) से \(n\) निकालें, फिर उपसमुच्चयों के लिए \(\binom{n}{k}\) लगाएँ। / Since the power set size gives \(2^n=64\), we get \(n=6\). The number of 3‑element subsets is given by the binomial coefficient \(\binom{n}{3}\), so \(\binom{6}{3}=20\). Note on distractors: 15 equals \(\binom{6}{2}\) (a common swap error), and 18 cannot arise as \(\binom{6}{k}\) for any integer \(k\). Exam tip: first compute \(n\) from \(2^n\), then apply \(\binom{n}{k}\) for the requested subset size.
(2,5) निश्चित हैं और (1) निषिद्ध है। शेष (3,4) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (2,5) are fixed and (1) is forbidden. The remaining (3,4) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\) हैं। (n>0) में आधे उपसमुच्चय विषम आकार के होते हैं। / Odd-sized subsets are \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\). For (n>0), half the subsets have odd size.
हर तत्व के लिए तीन स्थितियाँ हैं: (X) में, केवल (Y) में, या दोनों से बाहर। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / For each element there are three choices: in (X), only in (Y), or outside both. Thus the total is \(3^3=27\).
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय (4) उपसमुच्चयों से बनता है। यहाँ \(\emptyset\) भी (A) का एक तत्व है। / A two-element set has (4) subsets in its power set. Here \(\emptyset\) is also an element of (A).
कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं और ठीक (2) तत्व वाले \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए उत्तर (64-15=49) है। / Total subsets are \(2^6=64\), and exactly two-element subsets are \(\binom{6}{2}=15\). So the answer is (64-15=49).
B. जो कोई भी विषय नहीं पढ़ते/Students studying neither subject
Explanation
Simple Explanation
\(A'\cap B'\) में वे छात्र हैं जो (A) में भी नहीं और (B) में भी नहीं हैं। यह न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों को दर्शाता है। / \(A'\cap B'\) contains students not in (A) and not in (B). It represents students studying neither Mathematics nor Physics.
हमें ऐसे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 शामिल नहीं है और 4 शामिल है। 4 को शामिल मानने पर बचते हैं केवल तत्व 2 और 3 — हर एक के लिए शामिल/न शामिल के दो विकल्प हैं। अत: कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह मानता है कि तीन तत्व स्वतंत्र हैं (\(2^{3}=8\)), जो यहाँ लागू नहीं होता; विकल्प A और B अवकलन हैं। परीक्षा सुझाव: जब कोई तत्व "शामिल" या "शामिल नहीं" बताता हो, तो स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{(स्वतंत्र तत्वों की संख्या)}}\) द्वारा पाएँ। / We count subsets that exclude 1 and include 4. With 4 fixed in and 1 fixed out, the only free elements are 2 and 3. Each free element can be present or absent, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option D (8) is incorrect because it assumes three free choices (\(2^{3}\)); A and B are undercounts. Exam tip: when elements are fixed in/out, count the remaining free elements and compute \(2^{\text{(number of free elements)}}\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, अकेले तत्व नहीं। (1) को ({1}) लिखने पर वह घात समुच्चय का तत्व होगा। / A power set contains subsets, not bare elements. (1) would need to be written as ({1}) to be an element of the power set.
यदि किसी समुच्चय में \(n\) अवयव हों, तो उसके सम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है, जब \(n\geq 1\)। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए संख्या \(2^{5-1}=16\) होगी। सीधे गणना करने पर भी \(\binom{5}{0}+\binom{5}{2}+\binom{5}{4}=1+10+5=16\) प्राप्त होता है। विकल्प 32 कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^5\) है, जिसमें सम और विषम दोनों आकार वाले उपसमुच्चय शामिल हैं। परीक्षा सुझाव: सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या, दोनों, \(2^{n-1}\) होती है। / For a set with \(n\) elements, the number of subsets having even cardinality is \(2^{n-1}\), provided \(n\geq 1\). Here \(n=5\), so the required number is \(2^{5-1}=16\). Equivalently, \(\binom{5}{0}+\binom{5}{2}+\binom{5}{4}=1+10+5=16\). The tempting option 32 is the total number of subsets, \(2^5\), including both even- and odd-sized subsets. Exam tip: for any non-empty finite set, the subsets of even and odd cardinality are equal in number, each being \(2^{n-1}\).
