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B. (U) में अपूर्ण वर्ग संख्याएँ/Non-perfect-square numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) के पूर्ण वर्ग (1,4,9) हैं। पूरक में (U) की बाकी अपूर्ण वर्ग संख्याएँ होंगी। / (A) contains the perfect squares (1,4,9) in (U). Its complement contains the remaining non-perfect-square numbers in (U).
\(\{a,b\}\) का \(A\) में अधिसमुच्चय बनने के लिए केवल तीसरे तत्व \(c\) को शामिल करना या न करना तय किया जा सकता है। इसलिए संभावित अधिसमुच्चय \(\{a,b\}\) और \(\{a,b,c\}\) हैं, अतः कुल 2 अधिसमुच्चय हैं। सूत्र के रूप में, यदि \(S\subseteq A\), तो \(A\) के भीतर \(S\) के अधिसमुच्चयों की संख्या \(2^{|A|-|S|}\) होती है; यहाँ यह \(2^{3-2}=2\) है। विकल्प A केवल \(\{a,b\}\) को गिनता है, जबकि विकल्प D में अतिरिक्त असंभव समुच्चय गिने गए हैं। परीक्षा टिप: अधिसमुच्चयों की संख्या निकालने के लिए मूल समुच्चय में मौजूद लेकिन दिए गए उपसमुच्चय में अनुपस्थित तत्वों की संख्या गिनकर \(2^r\) लगाएँ। / For \(\{a,b\}\) to remain a subset, the only choice is whether to include the remaining element \(c\). Thus, the possible supersets within \(A\) are \(\{a,b\}\) and \(\{a,b,c\}\), giving a total of 2. In general, if \(S\subseteq A\), the number of supersets of \(S\) contained in \(A\) is \(2^{|A|-|S|}\); here, it is \(2^{3-2}=2\). Option A counts only \(\{a,b\}\), while option D includes nonexistent additional possibilities. Exam tip: count the elements of the larger set that are absent from the given subset and use \(2^r\).
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं। (A) सम अंकों का समुच्चय है, इसलिए पूरक विषम अंक हैं। / All digits are from (0) to (9). (A) is the set of even digits, so the complement is the odd digits.
(1,2) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं। शेष (3,4) के लिए \(2^2\) तरीके, इसलिए कुल (8) हैं। / There are (2) ways to choose exactly one of (1,2). The remaining (3,4) give \(2^2\) choices, so total (8).
(A) में (100) तक की प्राकृतिक संख्याएँ हैं। \(\mathbb{N}\) में पूरक (100) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। / (A) contains natural numbers up to (100). In \(\mathbb{N}\), the complement is natural numbers greater than (100).
सेट \(A\) में 3 तत्व हैं, इसलिए इसके पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। इनमें से रिक्त सेट \(\emptyset\) और स्वयं सेट \(A\) को हटाया गया है, इसलिए शेष तत्वों की संख्या \(8-2=6\) होगी। विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की संख्या बताता है, लेकिन उसमें हटाए जाने वाले दोनों सेट शामिल हैं। परीक्षा-सुझाव: \(n\) तत्वों वाले सेट के अशून्य उचित उपसमुच्चयों की संख्या सीधे \(2^n-2\) होती है। / Set \(A\) has 3 elements, so its power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^3=8\) subsets. The set difference removes the empty set \(\emptyset\) and the set \(A\) itself, leaving \(8-2=6\) elements. Option D (8) is the total number of subsets before these two sets are removed. Exam tip: an n-element set has \(2^n-2\) nonempty proper subsets.
असंयुक्त उपसमुच्चय में (x) और (z) नहीं आ सकते। केवल (y,w) चुने जा सकते हैं, इसलिए \(2^2=4\) हैं। / A disjoint subset cannot contain (x) or (z). Only (y,w) may be chosen, so there are \(2^2=4\).
(A) में (1,3,7,9) हैं। इसलिए पूरक (2) या (5) से विभाज्य तत्व ({2,4,5,6,8,10}) हैं। / (A) contains (1,3,7,9). So the complement is the elements divisible by (2) or (5): ({2,4,5,6,8,10}).
(A) के सभी तत्व सम हैं, इसलिए (\mathcal{P}(A)) के हर उपसमुच्चय में केवल सम संख्याएँ होंगी। कुल संख्या \(2^5=32\) है। / All elements of (A) are even, so every subset in (\mathcal{P}(A)) contains only even numbers. The total number is \(2^5=32\).
(1) निश्चित है और (2) नहीं लेना है, इसलिए (3,4,5) में से (2) तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (1) is fixed and (2) is excluded, so choose (2) elements from (3,4,5). The count is \(\binom{3}{2}=3\).
