Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(0) को निश्चित रखने पर शेष चार तत्वों में से सम संख्या चुननी होगी। संख्या \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\) है। / After fixing (0), an even number of the remaining four elements must be chosen. The count is \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\).
({a,d}) से असंयुक्त उपसमुच्चय केवल (b,c) से बनेंगे, जो \(2^2=4\) हैं। इसलिए असंयुक्त नहीं होने वाले (16-4=12) हैं। / Subsets disjoint from ({a,d}) are formed only from (b,c), so there are \(2^2=4\). Hence not disjoint subsets are (16-4=12).
कुल उपसमुच्चय (32) हैं। (2) और (3) दोनों न लेने वाले \(2^3=8\) हैं, इसलिए उत्तर (24) है। / There are (32) total subsets. Those containing neither (2) nor (3) are \(2^3=8\), so the answer is (24).
घात समुच्चय बराबर होने पर मूल समुच्चय भी बराबर होते हैं। क्योंकि मूल समुच्चय स्वयं अपने घात समुच्चय का तत्व होता है। / If power sets are equal, the original sets are also equal. This is because each original set is an element of its own power set.
(r,s) निश्चित हैं और (v) नहीं लेना है। शेष (t,u) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (r,s) are fixed and (v) is excluded. The remaining (t,u) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
दिया है कि \(Y=A\), इसलिए \(Y\) का केवल एक ही संभव मान है। अब \(X\subseteq Y=A\) होने के कारण \(X\), चार-तत्वीय समुच्चय \(A\) का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। चार-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, इसलिए क्रमित युग्मों की संख्या \(16\times 1=16\) है। विकल्प B (8) में कुछ उपसमुच्चय छूट जाते हैं, जबकि विकल्प D (32) में अनावश्यक रूप से पाँच तत्व मान लिए जाते हैं। परीक्षा-टिप: जब किसी एक घटक, यहाँ \(Y\), का मान निश्चित हो, तो केवल दूसरे घटक के संभव मानों की संख्या गिनें। / Since \(Y=A\), there is only one possible value of \(Y\). The condition \(X\subseteq Y=A\) means that \(X\) can be any subset of the four-element set \(A\). A set with four elements has \(2^4=16\) subsets, so the number of ordered pairs is \(16\times 1=16\). Option B (8) omits some valid subsets, while option D (32) incorrectly corresponds to five elements. Exam tip: when one component of an ordered pair is fixed, count the possible values of the remaining component.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और \(A=\{1,3,5,7\}\) हैं, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक \(A'\) के पावर समुच्चय \(\mathcal{P}(A')\) में कितने तत्व होंगे?
\(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\), इसलिए \(|A'|=3\)। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके पावर समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। अतः \(|\mathcal{P}(A')|=2^3=8\)। विकल्प C में \(|A|=4\) लेकर \(2^4\) किया गया है, जो \(\mathcal{P}(A)\) का आकार है, \(\mathcal{P}(A')\) का नहीं। परीक्षा-सुझाव: पावर समुच्चय का आकार निकालने से पहले पूरक समुच्चय में तत्वों की संख्या अवश्य निर्धारित करें। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) is \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\), so \(|A'|=3\). A set with \(n\) elements has a power set containing \(2^n\) elements. Therefore, \(|\mathcal{P}(A')|=2^3=8\). Option C results from incorrectly using \(|A|=4\) and calculating \(2^4\); that is the size of \(\mathcal{P}(A)\), not \(\mathcal{P}(A')\). Exam tip: find the number of elements in the required set first, and then apply the power-set formula \(2^n\).
(|\mathcal{P}(B)|=32) और (|\mathcal{P}(A)|=16) है। क्योंकि \(A\subset B\), अंतर में (32-16=16) तत्व होंगे। / (|\mathcal{P}(B)|=32) and (|\mathcal{P}(A)|=16). Since \(A\subset B\), the difference has (32-16=16) elements.
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। \(A\cap B={2,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) तत्व हैं। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B={2,4}\), the complement has (10-2=8) elements.
समुच्चय \(A\) के दो अलग-अलग अवयव हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। ध्यान दें कि \(\emptyset\) एक अवयव है, जबकि \(\{\emptyset\}\) उस अवयव से बना एक-सदस्यीय समुच्चय है; इसलिए दोनों समान नहीं हैं। किसी \(n\)-अवयवी समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(|A|=2\) और \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\)। विकल्प 2 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या बताता है, घात समुच्चय के अवयवों की नहीं। परीक्षा-टिप: पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग अवयव गिनें, फिर \(2^{|A|}\) का प्रयोग करें। / The set \(A\) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\). Note that \(\emptyset\) is an element, whereas \(\{\emptyset\}\) is a one-element set containing it; therefore, they are not the same. A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Hence, \(|A|=2\) and \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\). Option 2 gives the number of elements of \(A\), not the number of elements of its power set. Exam tip: count the distinct elements of the original set first, then apply \(2^{|A|}\).
