Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=30+20+12-10-6-4+2=44\)। इसलिए पूरक में (120-44=76) नहीं, ध्यान से सही गणना (30+20+12-10-6-4+2=44) और (120-44=76) है। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=30+20+12-10-6-4+2=44\). Hence the complement is (120-44=76).
(\(A\cup B\)'=A'\cap B') और \({q,s,w}\cap{p,s,u}={s}\)। दिए गए पूरकों पर सीधे डी मॉर्गन लगाएं। / (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), and \({q,s,w}\cap{p,s,u}={s}\). Apply De Morgan directly to the given complements.
\(A'\cap B'\) में वे अवयव हैं जो न (4) के गुणज हैं और न पूर्ण वर्ग हैं। (18) इन दोनों में नहीं आता। / \(A'\cap B'\) contains elements that are neither multiples of (4) nor perfect squares. (18) is in neither of them.
\(B-A=B\cap A'\) है और यह (B) के बराबर है, इसलिए (B) का कोई अवयव (A) में नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\)। / \(B-A=B\cap A'\), and if it equals (B), no element of (B) lies in (A). Hence \(A\cap B=\varnothing\).
समुच्चय \(A\) में वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो \(-4\) से छोटी या \(2\) के बराबर अथवा बड़ी हैं। इसलिए उसके पूरक में \(-4\) से \(2\) तक की संख्याएँ होंगी; \(-4\) शामिल होगा क्योंकि \(-4\not< -4\), जबकि \(2\) शामिल नहीं होगा क्योंकि \(2\ge 2\)। अतः \(A'=[-4,2)\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमिकाओं के चिह्न बदलें और समापन बिंदुओं पर समावेशन अवश्य जाँचें। / The set \(A\) contains all real numbers less than \(-4\) or greater than or equal to \(2\). Hence, its complement consists of the real numbers from \(-4\) to \(2\); \(-4\) is included because \(-4\not< -4\), whereas \(2\) is excluded because \(2\ge 2\). Therefore, \(A'=[-4,2)\). Exam tip: When finding a complement, reverse the inequality conditions and check whether each endpoint is included.
\(A\subseteq B\) से पूरक लेने पर \(B'\subseteq A'\) मिलता है। दूसरी शर्त इस निष्कर्ष के लिए आवश्यक नहीं है। / From \(A\subseteq B\), taking complements gives \(B'\subseteq A'\). The second condition is not needed for this conclusion.
समुच्चय U, चार परस्पर असंयुक्त भागों में विभाजित है: \(A\cap B\), \(A'\cap B\), \(A'\cap B'\) और \(A\cap B'\)। इसलिए इन चारों भागों की कार्डिनैलिटी का योग \(|U|\) के बराबर होगा। अतः \(|A\cap B'|=90-24-17-29=20\)। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-टिप: पूरक समुच्चयों से बने चारों क्षेत्रों को एक बार अवश्य जाँचें, ताकि किसी क्षेत्र को दो बार गिनने या छोड़ने की गलती न हो। / The universal set U is partitioned into four mutually disjoint regions: \(A\cap B\), \(A'\cap B\), \(A'\cap B'\), and \(A\cap B'\). Their cardinalities must add up to \(|U|\). Hence, \(|A\cap B'|=90-24-17-29=20\), so option B is correct. Exam tip: List all four disjoint Venn-diagram regions before adding or subtracting their cardinalities to avoid omitting a region.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,42\}\) है, \(A=\{x\in U:x\text{ 3 से विभाज्य है}\}\) और \(B=\{x\in U:x\text{ 7 से विभाज्य है}\}\) है, तो \(|A'\cup B'|\) का मान क्या है?
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cup B'=(A\cap B)'\)। समुच्चय \(A\cap B\) में वे संख्याएँ होंगी जो 3 और 7 दोनों से विभाज्य हैं, अर्थात् 21 के गुणज। \(U\) में ऐसे केवल \(21\) और \(42\) हैं, इसलिए \(|A\cap B|=2\)। अतः \(|A'\cup B'|=|U|-|A\cap B|=42-2=40\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले \(A'\cup B'\) को \((A\cap B)'\) में बदलें। / By De Morgan’s law, \(A'\cup B'=(A\cap B)'\). The set \(A\cap B\) contains numbers divisible by both 3 and 7, that is, multiples of 21. Within \(U\), these are only \(21\) and \(42\), so \(|A\cap B|=2\). Therefore, \(|A'\cup B'|=|U|-|A\cap B|=42-2=40\). Exam tip: First rewrite a union of complements using De Morgan’s law.
(-1) (A) में नहीं है, (3) (A) में है और (8) (A) में नहीं है। इसलिए पूरक ([-1,3)\cup[8,\infty)) है। / (-1) is not in (A), (3) is in (A), and (8) is not in (A). Hence the complement is ([-1,3)\cup[8,\infty)).
\(A\cap A'\) हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए \(U\neq\varnothing\) होने पर यह (U) नहीं हो सकता। मूल समुच्चय और पूरक असंयुक्त होते हैं। / \(A\cap A'\) is always \(\varnothing\), so it cannot be (U) when \(U\neq\varnothing\). A set and its complement are disjoint.
