Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वास्तविक उपसमुच्चय में (U) का कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होता है। इसलिए \(A^c\) खाली नहीं होगा। / In a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\) will not be empty.
A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदल गया है/because the universal set has changed
Explanation
Simple Explanation
किसी समुच्चय का पूरक चुने गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित होता है। यहाँ \(U_1\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3\}\), जबकि \(U_2\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5\}\) है। इसलिए अलग-अलग मान सार्वत्रिक समुच्चय बदलने के कारण मिलते हैं, न कि \(A\) बदलने के कारण। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य देखें। / The complement of a set is defined relative to the chosen universal set. Here, with respect to \(U_1\), \(A^c=\{1,3\}\), while with respect to \(U_2\), \(A^c=\{1,3,5\}\). Thus, the different values arise because the universal set changes, not because \(A\) changes. Exam tip: Always identify the universal set before finding a complement.
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)/\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक होने के लिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनाने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे सुरक्षित जांच है। / For (B) to be the complement of (A), they must have no common element and together form (U). This is the safest exam check.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (11,13,15) हटाने पर (10,12,14) बचते हैं। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). So after removing (11,13,15), (10,12,14) remain.
\(U\) में 5 के गुणज \(5,10,15\) हैं, इसलिए \(A=\{5,10,15\}\)। किसी समुच्चय का पूरक \(A^c=U\setminus A\) होता है; अतः \(U\) से 5, 10 और 15 हटाने पर \(\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखकर उसमें से दिए गए समुच्चय के तत्व हटाएँ। / The multiples of 5 in \(U\) are 5, 10, and 15, so \(A=\{5,10,15\}\). The complement is defined by \(A^c=U\setminus A\); therefore, removing 5, 10, and 15 from \(U\) gives \(\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14\}\). Option B is just \(A\), not its complement. Exam tip: To find a complement, first write the universal set and remove all elements of the given set.
(A) में स्वर हैं, इसलिए (U) में बचे (b,c,d) पूरक में होंगे। पूरक हमेशा (U) के आधार पर निकाला जाता है। / (A) contains vowels, so the remaining elements (b,c,d) of (U) are in the complement. Complement is always found with respect to (U).
पहले A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 8} प्राप्त होता है। अब सार्वत्रिक समुच्चय U में से इस संघ के सभी अवयव हटाने पर {4, 5, 6} बचते हैं, इसलिए (A ∪ B)ᶜ = {4, 5, 6}। विकल्प B केवल A ∪ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय का पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / First, A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 8}. Removing these elements from the universal set U leaves {4, 5, 6}; therefore, (A ∪ B)ᶜ = {4, 5, 6}. Option B is merely A ∪ B, not its complement. Exam tip: The complement of a set is always taken with respect to the given universal set.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap B=\{6\}\), क्योंकि दोनों समुच्चयों में केवल 6 समान है। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष इसका पूरक \(U\setminus\{6\}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\) होगा। विकल्प B केवल \(A\cap B\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के सभी अवयव हटा दें। / First find the intersection: \(A\cap B=\{6\}\), since 6 is the only element common to both sets. Its complement relative to the universal set is \(U\setminus\{6\}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\). Option B is just \(A\cap B\), not its complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\) मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं और दोनों असंयुक्त होते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)\), अतः \(n(A)=72-31=41\)। विकल्प 31, \(A^c\) की संख्या है, जबकि विकल्प 72 पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा में याद रखें: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। / A set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Hence, \(n(U)=n(A)+n(A^c)\), so \(n(A)=72-31=41\). The value 31 is the cardinality of \(A^c\), while 72 is the cardinality of the entire universal set. Exam tip: remember \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
(3) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए वह पूरक में आएगा। (8) (A) में है, इसलिए पूरक (8) के बाद से शुरू होगा। / (3) is not included in (A), so it comes in the complement. (8) is in (A), so the complement starts after (8).
