Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। समुच्चय \(A\) के पूरक में \(U\) के वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(-2,0,2,4\) को हटाने पर \(A^c=\{-3,-1,1,3\}\) मिलता है। विकल्प B, \(A\) स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखें और उसमें से दिए गए समुच्चय के तत्व हटाएँ। / The universal set is \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The complement of \(A\) contains all elements of \(U\) that are not in \(A\). Removing \(-2,0,2,4\) from \(U\) gives \(A^c=\{-3,-1,1,3\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Write the universal set first, then remove the elements of the given set to find its complement.
यदि किसी कक्षा में कुल विद्यार्थियों का समुच्चय U है और गणित पसंद करने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय A है, जहाँ \(n(U)=55\) तथा \(n(A)=37\), तो गणित पसंद न करने वाले विद्यार्थियों की संख्या \(n(A^c)\) कितनी है?
गणित पसंद न करने वाले विद्यार्थी A के पूरक समुच्चय \(A^c\) में होंगे। पूरक समुच्चय का सूत्र \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) है। इसलिए \(n(A^c)=55-37=18\)। विकल्प 37 केवल गणित पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या है, जबकि 55 कुल विद्यार्थियों की संख्या है। परीक्षा में पूरक समुच्चय के लिए कुल संख्या में से दिए गए समुच्चय की संख्या घटाएँ। / Students who do not like mathematics belong to the complement set \(A^c\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(n(A^c)=55-37=18\). The number 37 represents students who like mathematics, while 55 represents the total number of students. Exam tip: To find the size of a complement, subtract the size of the set from the size of the universal set.
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)/\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक समुच्चय (A) से असंबद्ध होता है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। यही पूरक जांचने का सबसे सरल नियम है। / A complement set is disjoint from (A), and together they form (U). This is the simplest rule to check complement.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में कुल 50 विद्यार्थी हैं। यदि \(n(A)=18\), \(n(B)=22\) और \(n(A\cap B)=7\) है, तो \(A\cup B\) के बाहर कितने विद्यार्थी होंगे?
संघ के लिए समावेशन-अपवाद सूत्र लागू करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+22-7=33\). इसलिए \(A\cup B\) के बाहर के विद्यार्थी = कुल − \(A\cup B\) = \(50-33=17\). 13 गलत है — यह तब आता है जब अभ्यर्थी संघ की गिनती में त्रुटि करे (उदाहरण के लिए आवरण में अंतर का गलत मान या दुगुना-गिनती से भ्रम)। परिक्षा टिप: हमेशा एक सरल वैन डाया그램 बनाकर पहले \(n(A\cup B)\) निकालें, फिर कुल से घटाएँ। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+22-7=33\). So students outside \(A\cup B\) = total − \(n(A\cup B)\) = \(50-33=17\). Option 13 is incorrect — it typically results from an arithmetic or counting error when handling the intersection (for example using the wrong intersection value or miscounting overlaps). Exam tip: sketch a Venn diagram and compute \(n(A\cup B)\) first, then subtract from the total.
अंक (digits) का सार्वभौमिक समुच्चय 0 से 9 तक के अंक हैं: \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) में जो अंक हैं वे \(U\) के सदस्य हैं; इसलिए पूरक \(A'\) में वे सभी अंक आएँगे जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। अतः \(A'=\{0,1,3,5,7,9\}\). नज़दीकी विचलन (option B) से फर्क: B में 0 गायब है, इसलिए यह गलत है। परीक्षा टिप: यदि सार्वभौमिक समुच्चय सीमित और स्पष्ट हो (यहाँ 0–9), तो पहले उसे लिखकर किसी समुच्चय के पूरक के लिए निकाल लें। / The digits (universal set) are \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Since \(A=\{2,4,6,8\}\), the complement \(A'\) contains all elements of \(U\) that are not in \(A\), i.e. \(A'=\{0,1,3,5,7,9\}\). Closest distractor (option B) omits 0, so it is incorrect. Exam tip: when U is finite and explicit (like digits 0–9), list U and subtract A to find the complement quickly.
पूरक \(A'\) का अर्थ है सभी वे तत्व जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\) के तत्व हैं \{1,2,3,4,5,6\} और \(A\) के तत्व \{1,3,5\} हैं, अतः \(A' = \{2,4,6\}\) और इसका क्रम 3 है। फार्मूला भी देख सकते हैं: \(n(A')=n(U)-n(A)=6-3=3\)。 नज़दीकी भ्रांति (option C = 4) तब होती है जब कोई गलती से किसी तत्व को दो बार गिन ले या सार्वभौमिक सेट में बाहरी तत्व जोड़ दे। परीक्षा टिप: पूरक लेते समय केवल दिए गए \(U\) के भीतर के तत्वों को ही गिनें और यदि संभव हो तो \(n(A')=n(U)-n(A)\) सूत्र का प्रयोग करें। / The complement \(A'\) means elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A=\{1,3,5\}\), so \(A'=\{2,4,6\}\) which has 3 elements. Using the formula: \(n(A')=n(U)-n(A)=6-3=3\). The closest wrong option (4) would result from miscounting or including an element not in \(U\). Exam tip: always count only elements of the given universal set and use the complement formula to avoid simple counting errors.
पूर्णत: सेट \(A'\) का अर्थ है वे तत्व जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\setminus A=\{1,3,5,7\}\) होता है, इसलिए \(5\) \(A'\) में है। विकल्पों में से \(4\) और \(8\) \(A\) के तत्व हैं इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी कॉम्प्लीमेंट का निर्धारण करने के लिए पहले \(U\) से \(A\) के सभी तत्व निकाल दें और बची सूची देख लें। / The complement \(A'\) consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U\setminus A=\{1,3,5,7\}\), so 5 is in \(A'\). Options like 4 and 8 are in \(A\), so they are not in the complement. Exam tip: compute \(U\setminus A\) explicitly by removing all elements of \(A\) from \(U\).
\(U\) में 1 से 10 तक के प्राकृतिक संख्याएँ हैं। अभाज्य संख्याएँ \(2,3,5,7\) हैं, अतः A = \{2,3,5,7\}\;। A का परिशिष्ट \(A'\) वह सभी तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर A में नहीं — अर्थात् \{1,4,6,8,9,10\}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A (अभाज्य) को ही देता है; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं; विकल्प D गलत है क्योंकि इसमें 1 और 9 गायब हैं। परीक्षा टिप: याद रखें कि 1 न तो अभाज्य है न ही समघातक (composite), इसलिए परिशिष्ट में आएगा। / U contains natural numbers 1 to 10. The primes up to 10 are \(2,3,5,7\), so A = {2,3,5,7}. The complement A' (relative to U) consists of elements of U not in A, i.e. {1,4,6,8,9,10}. Option B lists the primes (A) itself, option C incorrectly keeps primes in the complement, and option D omits 1 and 9. Exam tip: remember 1 is neither prime nor composite, so it belongs to the complement when A is the set of primes in U.
पूरक परिभाषा के अनुसार, A′ = U \ A यानी वे तत्व जो U में हैं पर A में नहीं हैं। U में से A के तत्व {0,2,4} हटाने पर बचे तत्व {1,3,5} मिलते हैं, जो सेट B के समान हैं। इसलिए A′ = {1,3,5} = B। विकल्प C (U) गलत है क्योंकि U में सभी तत्व होते हैं; विकल्प A गलत है क्योंकि A में वही तत्व हैं जिन्हें हटाया जाता है; विकल्प D (∅) गलत है क्योंकि A का पूरक खाली सेट तभी होगा जब A = U। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट का पूरक निकालते समय U के सभी तत्वों को लिखकर A के तत्व हटा दें — यह सरल और तेज तरीका है। / By definition the complement A′ = U \ A, i.e. the elements in U that are not in A. Removing A = {0,2,4} from U gives {1,3,5}, which equals B. Hence A′ = {1,3,5} = B. Option C (U) is wrong because U contains all elements; option A is wrong because A contains the elements being removed; option D (∅) is wrong because the complement is empty only if A = U. Exam tip: list elements of U and cross out those in A to find A′ quickly and reliably.
A' का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\) के तत्वों को निकालना, यानी \(A'=U\setminus A\). यदि \(A\subseteq U\), तो \(n(A')=n(U)-n(A)\). यहाँ \(n(U)=6\) और \(n(A)=2\) इसलिए \(n(A')=6-2=4\). विकल्प B (3) गलत है क्योंकि उसमें एक और तत्व कम गिना गया है; विकल्प D (6) भी गलत है क्योंकि वह गणना में \(A\) को नहीं घटा रहा। परीक्षा टिप: कॉम्प्लीमेंट के लिए हमेशा पहले जाँचे कि दिया गया सेट यूनिवर्सल सेट का वास्तविक सबसेट है, फिर \(n(A')=n(U)-n(A)\) लागू करें। / A' means the complement of A in the universal set U, i.e. \(A'=U\setminus A\). If \(A\subseteq U\), then \(n(A')=n(U)-n(A)\). Here \(n(U)=6\) and \(n(A)=2\), so \(n(A')=6-2=4\). Option B (3) is incorrect because it undercounts the remaining elements; option D (6) is wrong because it ignores removal of A's elements. Exam tip: verify A is a subset of U and use \(n(A')=n(U)-n(A)\) to avoid manual miscounts.
