Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (U) के अंदर (A) के बाहर का भाग/the region inside (U) but outside (A)
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) हमेशा (U) के अंदर लेकिन (A) के बाहर होता है। वेन आरेख में आयत से बाहर का भाग न गिनें। / \(A^c\) is always inside (U) but outside (A). In a Venn diagram, do not count the region outside the rectangle.
A. बस से न आने वाले विद्यार्थी/students who do not come by bus
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी आएंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह बस से न आने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not come by bus.
(A) के रंग हटाने पर (नीला) और (हरा) बचते हैं। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही नियम लगता है। / After removing the colors of (A), blue and green remain. The same rule applies to word sets.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में सभी अंक \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) होते हैं। \(A\) में सभी सम अंक हैं, इसलिए \(U\) में मौजूद लेकिन \(A\) में न होने वाले अंक \(1,3,5,7,9\) होंगे। अतः \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\)। परीक्षा में याद रखें: किसी समुच्चय का पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / The universal set \(U\) contains all digits, \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Since \(A\) contains all the even digits, the elements in \(U\) that are not in \(A\) are \(1,3,5,7,9\). Therefore, \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Exam tip: The complement of a set is always taken with respect to the specified universal set.
किसी सीमित समुच्चय के लिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) होता है। इसलिए \(n(A)=48-19=29\)। विकल्प C केवल पूरक समुच्चय की संख्या है, जबकि विकल्प D पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय की संख्या ज्ञात होने पर उसे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या से घटाएँ। / For a finite set, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Hence, \(n(A)=48-19=29\). Option C is the cardinality of the complement, while option D is the cardinality of the entire universal set. Exam tip: To find the cardinality of a set from its complement, subtract the complement's cardinality from that of the universal set.
समुच्चय A और उसका पूरक \(A^c\) असंयुक्त होते हैं और मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय U बनाते हैं। इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)=24\)। दोनों की सदस्य-संख्या समान है, अतः \(2n(A)=24\), जिससे \(n(A)=12\) प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: यदि किसी समुच्चय और उसके पूरक की कार्डिनैलिटी समान हो, तो प्रत्येक की कार्डिनैलिटी सार्वत्रिक समुच्चय की कार्डिनैलिटी की आधी होती है। / A set A and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set U. Thus, \(n(A)+n(A^c)=n(U)=24\). Since their cardinalities are equal, \(2n(A)=24\), giving \(n(A)=12\). Exam tip: when a set and its complement have equal cardinality, each contains half the elements of the universal set.
किसी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् \(A\cup A^c=U\)। इसलिए \(n(A\cup A^c)=n(U)=31\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। परीक्षा-युक्ति: संघ और पूरक से संबंधित प्रश्नों में \(A\cup A^c=U\) तथा \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / The union of a set \(A\) and its complement \(A^c\) is the universal set, so \(A\cup A^c=U\). Therefore, \(n(A\cup A^c)=n(U)=31\). Option B is incorrect because \(A\cap A^c=\varnothing\), not their union. Exam tip: remember \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) for complement-based questions.
\(U-A\) में वे सभी अवयव होते हैं जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। \(U\) से \(4,8,12\) हटाने पर \(\{2,6,10\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(A\) है, जबकि विकल्प D पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय अंतर निकालते समय पहले बड़े समुच्चय से दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / \(U-A\) contains all elements that belong to \(U\) but do not belong to \(A\). Removing \(4,8,12\) from \(U\) leaves \(\{2,6,10\}\), so option A is correct. Option B is just \(A\), while option D is the entire universal set. Exam tip: To find a set difference, remove every element of the second set from the first set.
समुच्चय \(A^c\) के तत्व वे हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं हो सकता, अतः \(A\cap A^c=\varnothing\)। विकल्प C वास्तव में \(A\) है, न कि दोनों का प्रतिच्छेद। परीक्षा-युक्ति: किसी भी समुच्चय के लिए \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / The elements of \(A^c\) are precisely those that are not in \(A\). Hence, \(A\) and its complement \(A^c\) have no common element, so \(A\cap A^c=\varnothing\). Option C represents \(A\), not the intersection. Exam tip: remember the identity \(A\cap A^c=\varnothing\) for every set \(A\).
किसी भी समुच्चय A और उसके पूरक Aᶜ का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् A ∪ Aᶜ = U। यहाँ Aᶜ = {b, e} होने पर A = {a, c, d} होगा, और दोनों का संघ {a, b, c, d, e} = U है। विकल्प B केवल Aᶜ है, पूरा संघ नहीं। परीक्षा-टिप: A ∪ Aᶜ = U और A ∩ Aᶜ = ∅ को याद रखें। / For any set A, the union of A and its complement is the universal set: A ∪ Aᶜ = U. Here, since Aᶜ = {b, e}, A = {a, c, d}; therefore, their union is {a, b, c, d, e} = U. Option B gives only Aᶜ, not the union. Exam tip: Remember the identities A ∪ Aᶜ = U and A ∩ Aᶜ = ∅.
