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वास्तविक उपसमुच्चय होने पर (U) में कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होगा। इसलिए \(A^c\ne\varnothing\) है। / If (A) is a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\ne\varnothing\).
A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदलता है/because the universal set changes
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय पर निर्भर करता है। (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / The complement always depends on the given universal set. When (U) changes, \(A^c\) may also change.
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
सही पूरक के लिए (A) से कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे अच्छा जांच तरीका है। / For a correct complement, there should be no common element with (A), and both together should form (U). This is the best checking method in exams.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (U) से (A) के तत्व काट दें। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, cross out the elements of (A) from (U).
पूरक \(A^c\) वे तत्व होते हैं जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर सेट \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\) के तत्व \(p,q,r,s,t\) हैं और \(A\) में \(p,s,t\) हैं, इसलिए बचे हुए तत्व \(q\) और \(r\) हैं। विकल्प C में अतिरिक्त तत्व \(p\) शामिल है जो गलत है; विकल्प B और D क्रमशः \(A\) और \(A\) के एक हिस्से को दिखाते हैं। परीक्षा-टिप: हमेशा पहले \(U\) के सभी तत्व लिखें और फिर उन तत्वों को हटा दें जो \(A\) में हैं। / The complement \(A^c\) consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(A\). Here \(U=\{p,q,r,s,t\}\) and \(A=\{p,s,t\}\), so the remaining elements are \(q\) and \(r\), i.e. \(\{q,r\}\). Option C wrongly includes \(p\) which belongs to \(A\); option B is just \(A\) and option D omits \(q\). Exam tip: list all elements of \(U\) first, then remove those that appear in \(A\) to get \(A^c\).
A. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक का तत्व (U) में होता है पर (A) में नहीं होता। सदस्यता वाले प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ जांचें। / An element of the complement is in (U) but not in (A). In membership questions, check both conditions together.
किसी सेट का समपूरक परिभाषा है \(A^c=U\setminus A\), अर्थात् वे सभी तत्त्व जो विश्वविद्यालयी सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यदि \(A=U\) है, तो \(U\setminus A\) में कोई तत्त्व शेष नहीं रहता, अतः \(A^c=\varnothing\)। विकल्प B (\(U\)) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह वही सेट बताता है न कि बाहर के तत्त्व; विकल्प C और D केवल उपसमूह हैं और पूरे बाह्य भाग का प्रतिनिधित्व नहीं करते। परीक्षा सलाह: हमेशा समपूरक को \(U\setminus A\) के रूप में लिखें और सीधे सदस्यता निकालें। / By definition the complement is \(A^c=U\setminus A\), i.e. elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A=U\), then \(U\setminus A\) contains no elements, so \(A^c=\varnothing\). Option B (\(U\)) is incorrect because it confuses the set with its complement; options C and D are only proper subsets and do not represent the whole complement. Exam tip: compute complements as \(U\setminus A\) and check membership for each element.
\(\varnothing\) से कोई तत्व नहीं हटता, इसलिए पूरा (U) पूरक में आता है। याद रखें कि \(\varnothing^c=U\) होता है। / No element is removed from \(\varnothing\), so the whole (U) comes in the complement. Remember that \(\varnothing^c=U\).
मूल सिद्धांत: किसी समपूरक सेट के तत्वों की संख्या के लिए सूत्र \(n(A^{c})=n(U)-n(A)\) होता है। यहाँ \(n(A^{c})=36-14=22\) इसलिए 22 सही उत्तर है। विकल्प 14 गलत है क्योंकि वह \(A\) का क्रमांक है न कि \(A^{c}\) का; 36 गलत है क्योंकि वह यूनिवर्स \(U\) का कुल क्रमांक है; 50 स्पष्टतः गलत मान है। परीक्षा-टिप: यूनिवर्स और किसी सेट के क्रमांक दिए हों तो पूरक की संख्या सीधे घटाव से निकालें। / Core concept: For a finite universal set, the complement satisfies \(n(A^{c})=n(U)-n(A)\). So \(n(A^{c})=36-14=22\), making 22 correct. Option 14 is incorrect because it equals \(n(A)\), not the complement; 36 equals \(n(U)\); 50 is simply wrong. Exam tip: whenever \(n(U)\) and \(n(A)\) are given, compute the complement by subtraction.
(A) में (U) के वे तत्व होंगे जो \(A^c\) में नहीं हैं। इसलिए (1) और (7) हटाकर बाकी तत्व लिखें। / (A) contains the elements of (U) that are not in \(A^c\). So remove (1) and (7) and write the remaining elements.
