Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सम्बन्ध है \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=n(U)-n(A^c)=30-18=12\)। विकल्प B (48) गलत है क्योंकि यह \(n(U)\) से भी बड़ा है और संभव नहीं; विकल्प C (18) केवल A के पूरक का आकार है, न कि A का; विकल्प D (30) समूच्चय U का पूरा आकार है। परीक्षात्मक टिप: किसी भी सेट और उसके पूरक के लिए हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) याद रखें। / The relation is \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). So \(n(A)=n(U)-n(A^c)=30-18=12\). Option B (48) is impossible because it exceeds the size of U; option C (18) is the size of A's complement (not A); option D (30) is the size of the universal set. Exam tip: Use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\) to compute quickly and avoid sign errors.
क्यों सही है: सेट \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) मिलकर यूनिवर्सल सेट \(U\) बनाते हैं, अतः \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). दिया है कि \(n(A)=n(A^c)\), इसलिए दोनों की संयुक्त संख्या बराबर भाग में बंटी है। फलतः \(n(A)=\dfrac{16}{2}=8\).
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: \(16\) गलत है क्योंकि तब \(n(A^c)=0\) होगा और बराबरी नहीं बनी। \(0\) भी गलत होगा क्योंकि तब अन्य सेट का कार्डिनैलिटी \(16\) होगा। \(4\) गलत है क्योंकि \(4+4=8\) होता, जो \(n(U)=16\) से मेल नहीं खाता।
परīk्षा टिप: जब कोई सेट और उसका पूरक बराबर बताये हों तो प्रत्येक का मान कुल का आधा होता है। / Why correct: A and its complement \(A^c\) partition the universal set \(U\), so \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). Given \(n(A)=n(A^c)\), the total 16 is split equally, hence \(n(A)=\dfrac{16}{2}=8\).
Why other options are wrong: 16 would imply \(n(A^c)=0\), contradicting equality; 0 similarly contradicts equality. 4 is wrong because \(4+4=8\), not 16.
Exam tip: If two disjoint parts are equal and cover the whole, each part equals half of the whole.
\(A\cap A^c=\varnothing\), इसलिए (A) और \(A^c\) हमेशा असंबद्ध होते हैं। यह गुण वेन आरेख में तुरंत दिखता है। / \(A\cap A^c=\varnothing\), so (A) and \(A^c\) are always disjoint. This property is clear in a Venn diagram.
किसी भी सेट के लिए \(A\cup A^c=U\) का समीकरण सत्य है क्योंकि किसी भी तत्व या तो A में होगा या A के पूरक में। अतः \(n(A\cup A^c)=n(U)=25\)। विकल्प C (\(n(A)\)) और D (\(n(A^c)\)) केवल A अथवा उसके पूरक की संख्या बताते हैं, न कि पूरे यूनिवर्स की; इसलिए वे गलत हैं। विकल्प B (0) केवल तब सही होता यदि \(n(U)=0\) होता, पर यहाँ \(n(U)=25\) दिया है। परीक्षा-टिप: सेट पहचान सूत्र याद रखें — \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\)। / For any set A, \(A\cup A^c=U\) because every element of the universal set is either in A or in its complement. Therefore \(n(A\cup A^c)=n(U)=25\). Options C (\(n(A)\)) and D (\(n(A^c)\)) refer only to the sizes of A or its complement, not the whole universal set, so they are incorrect. Option B (0) would be true only if \(n(U)=0\), which is not the case here. Exam tip: memorize identities \(A\cup A^c=U\), \(A\cap A^c=\varnothing\) and for finite U, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
किसी भी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का अन्तराल (intersection) हमेशा रिक्त समुच्चय होता है: \(A\cap A^c=\varnothing\). रिक्त समुच्चय की सदस्यों की संख्या \(n(\varnothing)=0\) होती है। इसलिए \(n(A\cap A^c)=0\)। विकल्प (D) \(n(A)\) गलत है क्योंकि चाहे \(n(A)\) कितनी भी हो, सुविधा यही है कि किसी सेट और उसके पूरक का अन्तराल खाली ही रहेगा; विकल्प (B) "1" तब ही सही होता अगर अन्तराल में एक तत्व अपना होता, जो संभव नहीं है। परीक्षा युक्ति: हमेशा याद रखें \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(n(\varnothing)=0\)। / The intersection of a set and its complement is always the empty set: \(A\cap A^c=\varnothing\). The cardinality of the empty set is \(n(\varnothing)=0\). Hence \(n(A\cap A^c)=0\). Option D (\(n(A)\)) is incorrect because the intersection is empty regardless of the size of \(A\); option B (1) is incorrect since there cannot be exactly one element common to a set and its complement. Exam tip: memorize \(A\cap A^c=\varnothing\) and that \(n(\varnothing)=0\).
U−A का अर्थ है U में से A के सभी तत्वों को हटा देना। यही A^c (A का पूरक) की परिभाषा है। इसलिए सामान्यतः U−A = A^c। विकल्प B (A) गलत है क्योंकि वह A के तत्वों को ही दिखाता है, न कि A के बाहर के तत्वों को। विकल्प C (U) तब भी गलत है क्योंकि U−A में A के तत्व हट चुके होते हैं; विकल्प D (∅) केवल विशेष स्थिति में सही होगा—जब A = U हो—पर सामान्य प्रश्न में यह गलत विकल्प है। परीक्षा-सुझाव: पूरक की परिभाषा याद रखें और विशेष मामलों (A = ∅, A = U) को अलग से जाँचे। / U−A means removing all elements of A from U, which by definition is the complement of A \(A^c\). Hence U−A = A^c. Option B (A) is incorrect because it denotes the elements of A, not the elements outside A. Option C (U) is wrong since elements of A are excluded in U−A. Option D (∅) is only true in the special case A = U; generally it is incorrect. Exam tip: Memorize the definition of complement and check edge cases A = ∅ and A = U when answering such questions.
\(U-A=A^c\) होता है, इसलिए (A) के तत्व हटाने पर (5) और (6) बचते हैं। अंतर और पूरक को (U) के संदर्भ में जोड़कर देखें। / \(U-A=A^c\), so after removing the elements of (A), (5) and (6) remain. Link difference and complement with respect to (U).
(A) में (2), (3), (5), (7) हैं, इसलिए बाकी (1), (4), (6) पूरक हैं। दिए हुए (U) से बाहर कोई संख्या न जोड़ें। / (A) has (2), (3), (5), (7), so (1), (4), (6) are the complement. Do not add any number outside the given (U).
A. ({सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार})/weekdays
Explanation
Simple Explanation
(A) में सप्ताहांत के दिन हैं, इसलिए \(A^c\) में कार्यदिवस होंगे। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही पूरक नियम लगता है। / (A) contains weekend days, so \(A^c\) contains weekdays. The same complement rule applies to word sets also.
\(A\cap A^c=\varnothing\) होता है, (U) नहीं। गलत कथन पहचानने में मूल गुणों को याद रखें। / \(A\cap A^c=\varnothing\), not (U). To identify a false statement, remember the basic properties.
