Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\cup B=\{1,2,3,4\}\) — the union contains all elements from both sets. The complement means the elements of the universal set \(U\) that are not in this union. Removing \(\{1,2,3,4\}\) from \(U\) leaves \(\{5,6\}\). So the correct answer is \(\{5,6\}\). The closest distractor \(\{1,2,5,6\}\) is wrong because it incorrectly includes \(1\) and \(2\), which belong to \(A\cup B\) and cannot be in the complement. Exam tip: compute the union/intersection first, then get the complement by subtracting from the universal set.
कोर सिद्धांत: पहले \(A\cap B\) निकालें फिर उसका पूर्ण-पूरक (कॉम्प्लीमेंट) यूनिवर्सल सेट \(U\) में से घटाएँ। यहाँ \(A\cap B=\{3\}\)। अतः \((A\cap B)^{c}=U-\{3\}=\{1,2,4,5,6\}\)। निकटवर्ती ग़लत विकल्प: विकल्प C (\(\{1,2,3,4\}\)) में \(3\) शामिल है — इसलिए यह कॉम्प्लीमेंट नहीं हो सकता; विकल्प B केवल इंटरसेक्शन ही है, और विकल्प D (\(\varnothing\)) स्पष्ट रूप से गलत है। परीक्षा टिप: पहले इंटरसेक्शन निकालकर फिर यूनिवर्सल से घटाने की आदत डालें — इससे गलतियाँ कम होंगी। / Core idea: compute \(A\cap B\) first, then take its complement relative to the universal set \(U\). Here \(A\cap B=\{3\}\). Thus \((A\cap B)^{c}=U-\{3\}=\{1,2,4,5,6\}\), which is option A. Why other options fail: option C still contains 3 so it cannot be the complement; option B is just the intersection, not its complement; option D (\(\varnothing\)) is obviously incorrect. Exam tip: always find the intersection before taking the complement (or use a quick Venn sketch) to avoid mistakes.
(A) में (0), (2) और (4) हैं, इसलिए (U) में बचे (1) और (3) पूरक हैं। (0) को भी तत्व की तरह गिनें। / (A) has (0), (2), and (4), so the remaining elements (1) and (3) are the complement. Count (0) as an element too.
पूरक सेट से सदस्यता पर ध्यान दें। \(A^c=\{2,3\}\) है क्योंकि यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\) के तत्व निकालने पर बचे तत्व 2 और 3 हैं। इसलिए \(2\in A^c\) सत्य है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(1\in A\) है, अतः \(1\notin A^c\)। प्रयोगिक परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले पूरक सेट लिखिए और फिर किसी तत्व की सदस्यता की जाँच कीजिए। / Use the definition of complement. Removing elements of \(A\) from the universal set \(U\) gives \(A^c=\{2,3\}\), so \(2\in A^c\) is true. Option B is wrong because \(1\in A\), hence \(1\notin A^c\). Quick exam tip: first list the complement explicitly, then check membership of the given element.
परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय A का पूरक \(A^{c}\) वह समुच्चय है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में से A के तत्वों को हटाकर मिलता है, अर्थात् \(A^{c}=U\setminus A\). इसलिए स्पष्ट है कि \(A^{c}\) हमेशा \(U\) का ही एक उपसमुच्चय होगा, यानी \(A^{c}\subseteq U\) हमेशा सत्य है. अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) यदि \(U\subseteq A^{c}\) हो तो तब ही संभव है जब \(A^{c}=U\) अर्थात् \(A=\varnothing\) — पर यह सभी A के लिए सही नहीं है. (C) \(A^{c}=A\) सामान्यतः असंभव है, यह केवल विशेष (और व्यावहारिक रूप से दुर्लभ) स्थितियों में ही हो सकता है (उदाहरण: यदि \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) तभी होगा जब \(A=U\), जो हर A के लिए सत्य नहीं है. परीक्षा-टिप: हमेशा ध्यान रखें कि पूरक को परिभाषित करने में सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) का प्रयोग होता है, इसलिए पूरक से शुरू करते समय उसे \(U\setminus A\) के रूप में लिखें। / By definition the complement of A is the set of all elements of the universal set U that are not in A, i.e. \(A^{c}=U\setminus A\). Hence \(A^{c}\) is always a subset of U, so \(A^{c}\subseteq U\) is always true. Why the other options fail: (B) \(U\subseteq A^{c}\) would force \(A^{c}=U\) (and thus \(A=\varnothing\)), which need not hold for every A. (C) \(A^{c}=A\) is not generally true — it only happens in degenerate cases (for example when \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) means \(A=U\), again not true for every set. Exam tip: always express complement as \(U\setminus A\) to check subset relations quickly.
परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\) वह समुच्चय है जिसमें सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) के वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यदि \(A^c=\varnothing\) है तो इसका अर्थ है कि \(U\) का कोई भी तत्व \(A\) के बाहर नहीं है; यानी \(A\) में सार्वभौमिक समुच्चय के सभी तत्व आ जाते हैं। अतः \(A=U\)। गलतीयां: विकल्प \(\varnothing\) तब गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A^c=U\) होता न कि \(\varnothing\)। विकल्प \(U^c\) भी खाली समुच्चय है पर वह \(A\) नहीं हो सकता;\(U^c=\varnothing\) हमेशा होता है पर इससे \(A\) की जानकारी नहीं बनती। परीक्षा टिप: याद रखें \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\); अगर \(A^c\) खाली है तो \(A\) स्वतः \(U\) होगा। / By definition, the complement \(A^c\) is the set of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A^c=\varnothing\), there are no elements of \(U\) outside \(A\); therefore \(A\) contains every element of \(U\), i.e. \(A=U\). Why other choices fail: \(\varnothing\) would imply \(A\) is empty, which would make \(A^c=U\), not \(\varnothing\). \(U^c\) denotes the complement of \(U\), which is always \(\varnothing\) but does not equal \(A\) unless the universe is empty (degenerate case). Exam tip: use identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\); if \(A^c\) is empty then \(A=U\).
यदि \(A^c = U\) है, तो यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व \(A\) के बाहर हैं, अर्थात् \(A\) में कोई तत्व नहीं है। गुणधर्मों से: \(A\cup A^c = U\) और \(A\cap A^c = \varnothing\)। यदि \(A^c=U\) हो तो ऊपर से स्पष्ट है कि \(A=\varnothing\) होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि यदि \(A=U\) होता तो \(A^c=\varnothing\) होता, न कि \(U\)। परीक्षा टिप: पूरक के गुणधर्म \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\) हमेशा ध्यान में रखें। / If \(A^c=U\), every element of the universal set lies outside \(A\), so \(A\) has no elements; therefore \(A=\varnothing\). Use the identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) to justify this. Option B is incorrect because if \(A=U\) then \(A^c=\varnothing\), not \(U\). Exam tip: recall the complement identities to answer such questions quickly.
आयत के अंदर और (A) के बाहर वाला भाग \(A^c\) होता है। वेन आरेख में (U) की सीमा से बाहर न जाएं। / The part inside the rectangle and outside (A) is \(A^c\). In Venn diagrams, do not go outside the boundary of (U).
स्वरों को (U) से हटाने पर व्यंजन बचते हैं। पूरक हमेशा दिए गए (U) के संदर्भ में समझें। / Removing vowels from (U) leaves consonants. Always understand complement with respect to the given (U).
(A) में (3) के गुणज हैं, इसलिए (U) में बचे हुए तत्व \(A^c\) हैं। जल्दी करने के लिए (U) से (A) को काटें। / (A) contains multiples of (3), so the remaining elements of (U) form \(A^c\). For speed, cross out (A) from (U).
