Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समूह के पूर्णता का सिद्धांत कहता है कि \(A\) और \(A^{c}\) मिलकर सार्वभौमिक समूह \(U\) बनाते हैं। अतः \(A\) वह समूह है जिसमें \(U\) के वे सारे तत्व हैं जो \(A^{c}\) में नहीं हैं। गणितीय रूप से \(A=U\setminus A^{c}\)। यहाँ \(U\setminus A^{c}=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{5,6\}=\{1,2,3,4\}\। इसलिए सही उत्तर \(\{1,2,3,4\}\) है। निकटतम भ्रामक विकल्पों का विश्लेषण: विकल्प B (\(\{5,6\}\)) वास्तव में \(A^{c}\) है न कि \(A\); विकल्प C (\(\{1,5,6\}\)) में \(5,6\) शामिल हैं, जो गलत हैं; विकल्प D तभी सही होता यदि \(A^{c}=U\)। परीक्षा टिप: सीधे सूत्र याद रखें — \(A=U\setminus A^{c}\) और \(A\cup A^{c}=U,\;A\cap A^{c}=\varnothing\)।\) / By definition of complement, \(A\) and \(A^{c}\) partition the universal set \(U\). So \(A\) consists of the elements of \(U\) that are not in \(A^{c}\); i.e. \(A=U\setminus A^{c}\). Here \(U\setminus A^{c}=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{5,6\}=\{1,2,3,4\}\. Thus option A is correct. Why other options are wrong: B is just the complement \(A^{c}\), C incorrectly keeps 5 and 6 which belong to \(A^{c}\), and D (\(\varnothing\)) would be true only if \(A^{c}=U\). Exam tip: use the identities \(A=U\setminus A^{c}\) or \(A\cup A^{c}=U\) to answer quickly.\)
(A) और \(A^c\) के सभी तत्व मिलकर (U) बनाते हैं। यह पूरक का सबसे महत्वपूर्ण गुण है। / All elements of (A) and \(A^c\) together form (U). This is one of the most important properties of complement.
कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) के बाहर नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। / No element can be both in (A) and outside (A) at the same time. Hence \(A\cap A^c=\varnothing\).
दोहरे पूरक का नियम (involution law) कहता है कि किसी भी समुच्चय का पूरक का फिर से पूरक मूल समुच्चय देता है। गणितीय रूप में \((A^c)^c = A\)। विकल्प B (\(A^c\)) सबसे नज़दीकी भ्रम है — वह केवल एक बार का पूरक है, जबकि दो बार का पूरक मूल समुच्चय लौटाता है। विकल्प C और D सामान्य रूप से गलत हैं क्योंकि \(A\) सार्वत्रिक या खाली तभी होगा जब दिया गया समुच्चय वैसे ही हो; यह सब समुच्चयों के लिए सच नहीं है। परिक्षा टिप: इस नियम को याद रखें जैसे एक इनवॉल्यूशन—दो बार लागू करने पर मूल वस्तु लौट आती है; Venn आरेख बनाकर तुरंत सत्यापित कर सकते हैं। / The involution (double-complement) law states that the complement of the complement of a set is the set itself: \((A^c)^c = A\). Option B (\(A^c\)) is a common distractor — it is the single complement, not the double complement. Options C and D are only true in special cases (if \(A=U\) or \(A=\varnothing\) respectively) and are not generally equal to \((A^c)^c\). Exam tip: remember the double-complement law and use a quick Venn diagram to check such statements.
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए क्रम उलट जाता है। \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The complement of the larger set is smaller, so the order reverses. From \(A\subseteq B\), we get \(B^c\subseteq A^c\).
(A) में (U) की सम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में विषम संख्याएं आएंगी। ऐसे प्रश्न में पहले पैटर्न पहचानें। / (A) contains the even numbers of (U), so the complement contains the odd numbers. In such questions, identify the pattern first.
\(A^c\) में (U) के वे अक्षर होंगे जो (A) में नहीं हैं। सूची वाले प्रश्नों में काटकर बचे तत्व लिखें। / \(A^c\) will contain the letters of (U) that are not in (A). In list questions, cross out and write the remaining elements.
(A) में दी हुई अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए बाकी तत्व \(A^c\) में हैं। (1) को अभाज्य न मानें। / (A) contains the given prime numbers, so the remaining elements are in \(A^c\). Do not treat (1) as a prime number.
यदि कोई तत्त्व \(x\) \((A\cup B)^c\) में है तो वह \(A\cup B\) में नहीं है, यानी वह न तो \(A\) में है और न ही \(B\) में। इसलिए \(x\) दोनों के पूरक में होगा, अर्थात् \(x\in A^c\cap B^c\)। इससे पता चलता है कि \((A\cup B)^c = A^c\cap B^c\)। विकल्प B (\(A^c\cup B^c\)) गलत है क्योंकि वह उन तत्त्वों का संघ है जो कम-से-कम एक सेट में नहीं हैं — वास्तव में \((A\cap B)^c = A^c\cup B^c\)। परीक्षा टिप: इसे साबित करने के लिए "तत्त्व-प्रवेशन विधि" (element-wise) या वेन आरेख इस्तेमाल करें। / If an element \(x\) belongs to \((A\cup B)^c\), then \(x\) is not in \(A\cup B\); so \(x\) is neither in \(A\) nor in \(B\). Hence \(x\) lies in both complements, i.e. \(x\in A^c\cap B^c\). Thus \((A\cup B)^c = A^c\cap B^c\). Option B (\(A^c\cup B^c\)) is incorrect — it equals \((A\cap B)^c\), not the complement of a union. Exam tip: use element-wise argument or draw a Venn diagram to remember De Morgan transforms (union ↔ intersection and complement distributes).
(\(A\cap B\)^c) का अर्थ है साझा भाग के बाहर का भाग। डी मॉर्गन नियम से यह \(A^c\cup B^c\) होता है। / (\(A\cap B\)^c) means the part outside the common part. By De Morgan's law, it is \(A^c\cup B^c\).
