Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी भी समुच्चय \(A\) के लिए वैश्विक गुण है कि \(A\cap A^{c}=\varnothing\)। कारण: \(A^{c}\) में वे ही तत्व होंगे जो \(A\) में नहीं हैं, अतः कोई भी तत्व एक साथ दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए प्रतिच्छेद शून्य समुच्चय होगा। निकटतम भ्रांत विकल्प \(\{2,5\}\) (विकल्प B) गलत है क्योंकि वह \(A^{c}\) है — पर प्रश्न दोनों का सामान्य तत्व पूछता है; सामान्य तत्व कोई नहीं है। परीक्षा-सुझाव: जब भी किसी प्रश्न में \(A\) और \(A^{c}\) एक साथ आएँ, तुरंत \(A\cap A^{c}=\varnothing\) याद कर लें। / For any set \(A\), the identity \(A\cap A^{c}=\varnothing\) always holds. Reason: elements of \(A^{c}\) are exactly those not in \(A\), so no element can belong to both simultaneously; hence the intersection is empty. The closest distractor \(\{2,5\}\) (option B) is just \(A^{c}\), not the intersection — the intersection has no elements. Exam tip: whenever a question involves \(A\) and its complement together, immediately use \(A\cap A^{c}=\varnothing\).
किसी सार्वभौमिक सेट \(U\) के सापेक्ष किसी भी सेट \(A\) के लिए मूल गुण है कि \(A\cup A^c=U\)। यहाँ \(A^c=\{2,5\}\) होने पर \(A=U\setminus A^c=\{1,3,4\}\)। इनके योग (यूनियन) से \(\{1,3,4\}\cup\{2,5\}=\{1,2,3,4,5\}=U\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(U\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\{1,3,4\}\) सिर्फ \(A\) है (अलग से), और \(\{2,5\}\) सिर्फ \(A^c\) है; दोनों का यूनियन ही \(U\) बनेगा। परीक्षा-टिप: हमेशा याद रखें कि किसी भी सेट और उसके पूर्णपरक का यूनियन सार्वभौमिक सेट होता है। / For any set \(A\) relative to a universal set \(U\), the identity \(A\cup A^c=U\) holds. Given \(A^c=\{2,5\}\), we have \(A=U\setminus A^c=\{1,3,4\}\). Their union is \(\{1,3,4\}\cup\{2,5\}=\{1,2,3,4,5\}=U\). Thus the correct answer is \(U\). The closest distractors: \(\{1,3,4\}\) is only \(A\), and \(\{2,5\}\) is only \(A^c\); neither alone equals the union. Exam tip: memorize that a set union its complement always gives the universal set.
जो तत्व (U) में है और (A) में नहीं है, वह \(A^c\) में होगा। यह पूरक की मूल सदस्यता शर्त है। / An element in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). This is the basic membership condition of complement.
A. \(4\in U\) और \(4\notin A\)/\(4\in U\) and \(4\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) का तत्व हमेशा (U) में होता है और (A) में नहीं होता। ऐसे प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ लिखें। / An element of \(A^c\) is always in (U) and not in (A). In such questions, write both conditions together.
समंजन: A का परिशिष्ट A^c, सार्वभौमिक समुच्चय U में वे सभी तत्व हैं जो A में नहीं हैं, यानी A^c = U \ A. यहाँ U = {1,2,3,4,5} और A = {x : x<4} = {1,2,3}. अतः U \ A = {4,5}.
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प C ({1,2,3,4}) में A के तत्व (1,2,3) भी शामिल हैं इसलिए यह परिशिष्ट नहीं हो सकता। विकल्प B ({1,2,3}) तो A के बराबर है, जबकि परिशिष्ट A में नहीं होने वाले तत्वों का समूह होता है। विकल्प D ({5}) केवल एक तत्व छोड़कर अधूरा है।
परिक्षात्मक सुझाव: हमेशा पहले U और A को स्पष्ट रूप से लिखकर A^c = U \ A लगाएँ — इससे भूल-चूक कम होती है। / Core idea: The complement A^c means the elements of the universal set U that are not in A, i.e. A^c = U \ A. Here U = {1,2,3,4,5} and A = {x : x < 4} = {1,2,3}. Therefore U \ A = {4,5}.
Why other choices are wrong: Choice C ({1,2,3,4}) wrongly includes elements of A (1,2,3), so it cannot be the complement. Choice B ({1,2,3}) is just A itself, not the complement. Choice D ({5}) omits 4, so it is incomplete.
Exam tip: First list U and A explicitly, then compute A^c = U \ A — writing sets out avoids sign/inequality mistakes.
पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से सेट \(A\) के सदस्य हटा देना। यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) है और \(A=\{1,3,5,7\}\) है। इसलिए \(A^c=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\) — यानी सभी सम संख्या। विकल्प D (\{5,6,7,8\}) गलत है क्योंकि उसमें 2 और 4 नहीं हैं और 5,7 जैसे तत्वों को शामिल करके गलत पूरक दे रहा है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले यूनिवर्सल सेट की सूचि लिखें फिर उससे A के तत्व हटा दें। / Complement means all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) and \(A=\{1,3,5,7\}\), so \(A^c=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\), the even numbers up to 8. Option D (\{5,6,7,8\}) is incorrect because it omits 2 and 4 and wrongly includes 5 and 7. Exam tip: list U explicitly and remove A's elements to find the complement quickly.
(A) में (4) शामिल है, इसलिए पूरक (4) के बाद से शुरू होगा। (10) (U) में शामिल है, इसलिए ((4,10]) सही है। / (4) is included in (A), so the complement starts after (4). Since (10) is included in (U), ((4,10]) is correct.
(A) में (-1) शामिल नहीं है, इसलिए (-1) पूरक में आएगा। (2) (A) में है, इसलिए पूरक (2) के बाद शुरू होगा। / (-1) is not included in (A), so (-1) is in the complement. (2) is in (A), so the complement starts after (2).
A. क्रिकेट न खेलने वाले विद्यार्थी/students who do not play cricket
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह क्रिकेट न खेलने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not play cricket.
सम्पूर्ण सेट के गुण के अनुसार \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अत: \(n(A)=n(U)-n(A^c)=40-15=25\)। विकल्प C (15) गलत है क्योंकि वह A का नहीं बल्कि A का पूरक है। विकल्प B (55) असंभव है क्योंकि किसी भी सबसेट का कार्डिनैलिटी यूनिवर्स से अधिक नहीं हो सकती। विकल्प D (40) तब ही सही होगा जब \(A^c\) का आकार शून्य हो, पर यहां \(n(A^c)=15\) है। परीक्षा टिप: पूरक के साथ काम करते समय हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) सूत्र याद रखें। / By the property of complements, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). So \(n(A)=n(U)-n(A^c)=40-15=25\). Option C (15) is incorrect because it is the size of the complement, not of A. Option B (55) is impossible since a subset cannot have more elements than the universal set. Option D (40) would mean the complement has 0 elements, which contradicts \(n(A^c)=15\). Exam tip: Always use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\) when given a complement.
