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प्रांत वे मान हैं जिन्हें (x) के रूप में फलन में रखा जा सकता है। प्रांत निकालते समय हर और वर्गमूल की शर्त देखें। / The domain is the set of values that can be used as (x) in the function. While finding it, check denominator and square-root conditions.
वर्गमूल के अंदर की राशि वास्तविक होने के लिए \(x+2\ge 0\) होना चाहिए, लेकिन वही वर्गमूल हर में है, इसलिए उसका मान शून्य नहीं हो सकता। अतः \(x+2>0\), अर्थात् \(x>-2\), और प्रांत \((-2,\infty)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें \(x=-2\) शामिल है, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो मूल के अंदर की राशि को हमेशा सख्ती से धनात्मक रखें। / The radicand must be non-negative for a real value, so \(x+2\ge 0\). However, the square root is in the denominator and cannot be zero; therefore, \(x+2>0\), or \(x>-2\). Hence the domain is \((-2,\infty)\). Option A is incorrect because it includes \(x=-2\), which makes the denominator zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, its radicand must be strictly positive.
\(x^2\) हर वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और उसका मान भी वास्तविक होता है। \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\geq0\) चाहिए, जबकि \(1/x\) में \(x=0\) मान्य नहीं है। परीक्षा में मूल के अंदर की राशि और हर को पहले जाँचें। / \(x^2\) is defined and real for every real \(x\). In contrast, \(\sqrt{x}\) needs \(x\geq0\), and \(1/x\) is undefined at \(x=0\). Exam tip: first check the radicand and any denominator when identifying domains.
परिमेय फलन में हर को शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ हर \(x^2+1\) है, और किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1\) तथा यह कभी शून्य नहीं होता। अतः फलन प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और उसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। निकटतम भटकाने वाला विकल्प B है, लेकिन \(x=0\) रखने पर हर \(1\) मिलता है, इसलिए शून्य को हटाने की आवश्यकता नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य करने वाले मानों को ही अस्वीकार करें। / For a rational function, the denominator must not be zero. Here the denominator is \(x^2+1\). Since \(x^2\geq 0\) for every real \(x\), we have \(x^2+1\geq 1\), so it can never be zero. Therefore, the function is defined for every real number and its domain is \(\mathbb{R}\). The closest distractor is B, but at \(x=0\) the denominator equals \(1\), so zero must not be excluded. Exam tip: To find the domain, reject only those values that make the denominator zero.
A के प्रत्येक अवयव के लिए f(x) का मान निकालते हैं: f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5 और f(3)=7। इसलिए फलन का परास {1,3,5,7} है। ध्यान रखें कि परास में फलन से प्राप्त मान लिखे जाते हैं, जबकि दिए गए समुच्चय A के अवयव प्रांत होते हैं। / Evaluate the function at every element of A: f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5, and f(3)=7. Therefore, the range is {1,3,5,7}. Remember that the range contains the output values, whereas the elements of A form the domain.
दिए गए क्रमशः इनपुट −2, −1, 0 और 1 के लिए फलन के मान 5, 2, 1 और 2 हैं। इसलिए अलग-अलग आउटपुट मानों का समुच्चय \(\{1,2,5\}\) है, यही परास है। विकल्प C परिभाषा-समुच्चय है, परास नहीं; जबकि विकल्प B में आउटपुट 1 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए हर डोमेन मान पर फलन का मान निकालकर दोहराए गए मानों को एक ही बार लिखें। / For the inputs −2, −1, 0 and 1, the function values are 5, 2, 1 and 2, respectively. Hence, the set of distinct output values is \(\{1,2,5\}\), which is the range. Option C is the domain, not the range, while option B omits the output 1. Exam tip: Evaluate the function for every domain element and list repeated outputs only once.
\(f(2)=|2-6|=|-4|=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। यहाँ \(-4\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि मॉड्यूलस किसी संख्या का निरपेक्ष मान देता है, जो ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए मान को फलन में रखें और अंत में मॉड्यूलस लगाएँ। / Substituting \(x=2\), we get \(f(2)=|2-6|=|-4|=4\). Therefore, 4 is correct. The closest distractor is \(-4\), but an absolute value represents a non-negative distance from zero. Exam tip: substitute the given input first, then evaluate the modulus.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=3x^2\ge 0\)। साथ ही, \(x=0\) पर \(f(0)=0\), इसलिए शून्य भी परास में शामिल है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है, और विकल्प C में ऐसे ऋणात्मक मान भी हैं जो इस फलन से प्राप्त नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन का न्यूनतम मान पहले निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=3x^2\ge 0\). Also, when \(x=0\), \(f(0)=0\), so zero is included in the range. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option A is incorrect because it excludes zero, while option C includes negative values that the function cannot produce. Exam tip: For a squared function, first identify its minimum value.
\(x^2+1\) एक बहुपद फलन है, इसलिए यह हर वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित और वास्तविक होता है। \(\sqrt{x-3}\) के लिए \(x\ge3\) चाहिए। परीक्षा टिप: मूल, हर और लॉग की शर्तें पहले जाँचें। / \(x^2+1\) is a polynomial, so it is defined and real for every real \(x\). In contrast, \(\sqrt{x-3}\) needs \(x\ge3\). Exam tip: first check restrictions from roots, denominators, and logarithms.
क्योंकि प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(4x^2\ge 0\) और \(f(x)=4x^2-1\ge -1\)। \(x=0\) पर \(f(0)=-1\) प्राप्त होता है, तथा \(x\) का परिमाण बढ़ाने पर फलन का मान अनंत तक बढ़ सकता है। अतः परास \([-1,\infty)\) है। परीक्षा टिप: ऊपर खुले सिरे वाले द्विघात फलन का न्यूनतम मान उसके शीर्ष पर जाँचें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(4x^2\ge 0\) and hence \(f(x)=4x^2-1\ge -1\). The value \(-1\) is attained at \(x=0\), and the function can increase without bound as the magnitude of \(x\) increases. Therefore, the range is \([-1,\infty)\). Exam tip: For an upward-opening quadratic, find the minimum value at its vertex to determine the range.
