Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+1\geq 1\)। \(x=0\) रखने पर \(f(0)=1\) मिलता है, अतः 1 न्यूनतम मान है और इसके बाद सभी बड़े मान प्राप्त हो सकते हैं। इसलिए रेंज \([1,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि फलन का मान 0 कभी नहीं हो सकता। परीक्षा-टिप: \(x^2\) के न्यूनतम मान में स्थिर पद जोड़कर परवलय की रेंज ज्ञात करें। / For every real \(x\), \(x^2\geq 0\). Hence \(f(x)=x^2+1\geq 1\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is the minimum value, and every larger value is possible. Thus, the range is \([1,\infty)\). Option B is wrong because the function can never have the value 0. Exam tip: find the minimum of \(x^2\), then include any constant vertical shift.
मापांक फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित रहता है। परीक्षा में मापांक में डोमेन पर अलग रोक नहीं होती। / A modulus function is defined for every real (x). In exams modulus does not usually create a domain restriction.
अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन सभी वास्तविक आउटपुट दे सकता है। परीक्षा में (ax+b) के लिए \(a \ne 0\) हो तो रेंज \(\mathbb{R}\) होती है। / A linear function with non-zero slope can produce all real outputs. In exams (ax+b) has range \(\mathbb{R}\) when \(a \ne 0\).
स्थिर फलन हमेशा एक ही आउटपुट (7) देता है। परीक्षा में स्थिर फलन की रेंज एकल समुच्चय होती है। / A constant function always gives the same output (7). In exams the range of a constant function is a singleton set.
हर में \(x+4 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -4\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाली वैल्यू हटाएं। / The denominator needs \(x+4 \ne 0\), so \(x \ne -4\). In exams remove the value that makes the denominator zero.
वर्गमूल के लिए \(x+6 \ge 0\) इसलिए \(x \ge -6\)। परीक्षा में सीमा बिंदु शामिल होगा क्योंकि वर्गमूल (0) पर परिभाषित है। / For the square root, \(x+6 \ge 0\), so \(x \ge -6\). In exams the endpoint is included because square root is defined at (0).
क्योंकि \(\sqrt{x} \ge 0\) इसलिए \(\sqrt{x}+3 \ge 3\)। परीक्षा में ऊपर (3) जोड़ने से न्यूनतम वैल्यू (3) हो जाती है। / Since \(\sqrt{x} \ge 0\), \(\sqrt{x}+3 \ge 3\). In exams adding (3) shifts the minimum value to (3).
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता क्योंकि \(x^2 \ge 0\)। परीक्षा में हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें। / The denominator \(x^2+1\) is never (0) because \(x^2 \ge 0\). In exams check the minimum value of the denominator.
फलन के नियम में \(x=3\) रखने पर \(f(3)=2(3)-1=6-1=5\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प C में \(-1\) घटाना भूलकर \(2\times3\) किया गया है। परीक्षा में फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए \(x\) का मान सीधे नियम में रखें। / Substituting \(x=3\) into the function rule gives \(f(3)=2(3)-1=6-1=5\). Therefore, option B is correct. Option C results from forgetting to subtract 1 after calculating \(2\times3\). Exam tip: substitute the given input directly into the function rule and simplify carefully.
इनपुट (0,1,2) पर आउटपुट (2,3,6) मिलते हैं। परीक्षा में सीमित डोमेन हो तो हर इनपुट की वैल्यू निकालें। / For inputs (0,1,2), the outputs are (2,3,6). In exams, for a finite domain, calculate the value for each input.
