Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वास्तविक वर्गमूल तभी परिभाषित होता है जब उसके अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक हो। इसलिए \(3x+12\ge 0\), जिससे \(x\ge -4\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \([-4,\infty)\) है। विकल्प B में असंबंधित दिशा की असमानता है, जबकि \(-4\) को शामिल करना आवश्यक है क्योंकि वहाँ वर्गमूल का मान शून्य होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के लिए मूलांक के अंदर की राशि को \(\ge 0\) रखें। / A real square root is defined only when its radicand is non-negative. Thus, \(3x+12\ge 0\), which gives \(x\ge -4\). Therefore, the domain is \([-4,\infty)\). Option B uses the wrong direction of the inequality, and \(-4\) must be included because the square root is zero there. Exam tip: For a square-root function, set the expression under the root greater than or equal to zero.
\(\frac{2x+1}{3}\) अस्थिर रेखीय फलन है। (x) वास्तविक होने पर इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / \(\frac{2x+1}{3}\) is a non-constant linear function. When (x) is real, its range is \(\mathbb{R}\).
यह एक स्थिर फलन है, इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(f(x)=-4\) ही प्राप्त होता है। अतः फलन का परिसर केवल एक तत्व वाला समुच्चय \(\{-4\}\) है। विकल्प B और D अंतराल हैं, जबकि इस फलन का कोई भी मान \(-4\) से अलग नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन का परिसर हमेशा उसके एकमात्र स्थिर मान का समुच्चय होता है। / This is a constant function, so for every real \(x\), the output is always \(-4\). Therefore, its range is the singleton set \(\{-4\}\). Options B and D are intervals, but this function never produces any value other than \(-4\). Exam tip: the range of a constant function is the set containing its single constant value.
जब \(x\) का मान \([0,9]\) में है, तब \(\sqrt{x}\) का न्यूनतम मान \(\sqrt{0}=0\) और अधिकतम मान \(\sqrt{9}=3\) होता है। इसलिए परास \([0,3]\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि वह \(x\) का प्रांत है, \(f(x)\) का परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल फलन के परास के सिरों के लिए प्रांत के सिरों पर फलन का मान जाँचें। / For \(x\in[0,9]\), the minimum value of \(\sqrt{x}\) is \(\sqrt{0}=0\), and the maximum value is \(\sqrt{9}=3\). Therefore, the range is \([0,3]\). Option B is the domain of \(x\), not the range of \(f(x)\). Exam tip: For a square-root function on a closed interval, evaluate the function at the interval's endpoints to find the range.
अंतराल ([-2,3]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम मान (0) है। सबसे बड़ा वर्ग \(3^2=9\) है, इसलिए परिसर ([0,9]) है। / The interval ([-2,3]) includes (0), so the minimum value is (0). The largest square is \(3^2=9\), so the range is ([0,9]).
रेखीय फलन (f(x)=x+5) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित है। परीक्षा में रेखीय फलन का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) याद रखें। / The linear function (f(x)=x+5) is defined for every real (x). In exams remember that a linear function usually has domain \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्ग फलन की न्यूनतम वैल्यू (0) याद रखें। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). In exams remember that the square function has minimum value (0).
वर्गमूल के लिए \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को \( \ge 0\) रखें। / For a square root, \(x-2 \ge 0\), so \(x \ge 2\). In exams keep the expression under the square root \( \ge 0\).
हर में \(x-3 \ne 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ne 3\)। परीक्षा में हर को कभी (0) न होने दें। / The denominator must satisfy \(x-3 \ne 0\), so \(x \ne 3\). In exams never allow the denominator to become (0).
वर्गमूल के लिए \(5-x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में असमानता हल करते समय चिन्ह ध्यान से बदलें। / For the square root, \(5-x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams handle the inequality sign carefully while solving.
