Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+3) है, पर (x=3) हटने से मान (6) नहीं मिलता। हटाए गए इनपुट का संभावित आउटपुट भी हट सकता है। / On the given domain (f(x)=x+3), but removing (x=3) removes the value (6). The output of an excluded input may also be excluded.
(f(1)<f(2)) के लिए \(\binom{4}{2}=6\) जोड़े हैं और (f(3)=f(4)) के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(6\cdot4=24\) फलन हैं। / There are \(\binom{4}{2}=6\) pairs for (f(1)<f(2)) and (4) choices for (f(3)=f(4)). Total functions are \(6\cdot4=24\).
विकल्प (C) में (0) की दो छवियां (p) और (r) हैं। फलन में हर इनपुट की छवि ठीक एक होनी चाहिए। / In option (C), (0) has two images (p) and (r). In a function each input must have exactly one image.
\(-1\le x\le3\) पर मान (4) है और सिरों (x=-2) तथा (x=4) पर मान (6) है। मापांक के ब्रेक-पॉइंट से परिसर जल्दी मिलता है। / For \(-1\le x\le3\), the value is (4), and at endpoints (x=-2) and (x=4), the value is (6). Breakpoints of modulus help find the range quickly.
रिक्त प्रांत से एक खाली फलन होता है, और उसके ग्राफ में कोई ordered pair नहीं होता। फलनों की संख्या और ग्राफ के युग्मों की संख्या अलग बातें हैं। / There is one empty function from the empty domain, and its graph has no ordered pair. The number of functions and the number of graph pairs are different facts.
C. (f\(a_1\)) और (f\(a_2\)) दोनों (B) में हैं/Both (f\(a_1\)) and (f\(a_2\)) lie in (B)
Explanation
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फलन में हर इनपुट की छवि सहप्रांत (B) में होती है। अलग इनपुटों की छवियां समान भी हो सकती हैं। / In a function the image of every input lies in the codomain (B). Different inputs may also have the same image.
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं। वृत्तीय संबंध में एक (x) पर दो (y) आ सकते हैं। / At (x=0), both (y=2) and (y=-2) are possible. In a circular relation, one (x) may give two (y)-values.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+4}) से परिभाषित करना हो, तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
हर कभी शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए विविक्तिका \(a^2-16<0\) चाहिए। अतः (|a|<4) सही है। / The denominator must never be zero, so the discriminant must satisfy \(a^2-16<0\). Hence (|a|<4) is correct.
छह इनपुटों में से ठीक 3 इनपुट चुनने हैं जिन्हें 1 पर भेजा जाएगा; शेष 3 इनपुट स्वतः 0 पर जाएंगे। इसलिए फलनों की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। विकल्प 64 सभी संभावित फलनों की संख्या है, लेकिन उनमें 1 की छवि वाले इनपुटों की संख्या निश्चित रूप से 3 नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: जब किसी द्विआधारी फलन में ठीक \(r\) इनपुटों की छवि 1 हो, तो फलनों की संख्या \(\binom{n}{r}\) होती है। / Choose exactly 3 of the 6 inputs to map to 1; the remaining 3 inputs must map to 0. Hence, the number of functions is \(\binom{6}{3}=20\). The value 64 counts all functions from a 6-element set to a 2-element set, without fixing how many inputs map to 1. Exam tip: for a function into \(\{0,1\}\) with exactly \(r\) inputs mapping to 1, the count is \(\binom{n}{r}\).
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Explanation
Simple Explanation
नियम (x) को (6-x) पर भेजता है और दोबारा वही नियम मूल मान लौटा देता है। इसलिए उल्टा संबंध भी वही फलन है। / The rule sends (x) to (6-x), and applying the same rule again returns the original value. Thus the inverse relation is the same function.
