Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल \(2^5=32\) फलन हैं और विपरीत स्थिति (f(1)=b), (f(5)=a) में \(2^3=8\) फलन हैं। अतः (32-8=24) है। / There are \(2^5=32\) total functions, and the opposite case (f(1)=b), (f(5)=a) gives \(2^3=8\) functions. Hence (32-8=24).
\(-2\le x\le4\) पर मान (6) है और बाहर मान बढ़ता है। इसलिए न्यूनतम (6) और परिसर \([6,\infty\)) है। / For \(-2\le x\le4\), the value is (6), and outside this interval the value increases. Hence the minimum is (6) and the range is \([6,\infty\)).
हर दिए गए (x) का वास्तविक पंचममूल अद्वितीय है और (Y) में है। विषम घात का उल्टा वास्तविक मानों में एकमात्र होता है। / Each given (x) has a unique real fifth root in (Y). The inverse of an odd power is unique over real values.
B. नहीं, क्योंकि \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\)/No, because \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(3)=9-6+1=4) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में हर मान को सहप्रांत से मिलाएं। / Here (f(3)=9-6+1=4), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
दिया गया संबंध \(R=\{(x,y): |x+y|=2,\ x\in\{-2,0,2\},\ y\in\{-4,-2,0,2,4\}\}\) प्रांत \(\{-2,0,2\}\) से सहप्रांत \(\{-4,-2,0,2,4\}\) में माना गया है। यह संबंध फलन क्यों नहीं है?
A. क्योंकि \(x=0\) की दो छवियां \(y=2\) और \(y=-2\) हैं/Because \(x=0\) has two images, \(y=2\) and \(y=-2\)
Explanation
Simple Explanation
\(x=0\) रखने पर \(|y|=2\) मिलता है, इसलिए \(y=2\) और \(y=-2\) दोनों के लिए ordered pairs संबंध में आते हैं। फलन में प्रत्येक प्रांत-तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए; एक ही \(x\) की दो छवियां होने पर संबंध फलन नहीं रहता। वास्तव में \(x=2\) के लिए \(y=0,-4\) और \(x=-2\) के लिए \(y=0,4\) भी दो-दो छवियां मिलती हैं, इसलिए B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की जांच करते समय हर domain element से निकलने वाली images की संख्या देखें—ठीक एक होनी चाहिए। / Putting \(x=0\) into \(|x+y|=2\) gives \(|y|=2\), so both \(y=2\) and \(y=-2\) form ordered pairs in the relation. A function must assign exactly one image to each domain element; two images for the same \(x\) violate this condition. In fact, \(x=2\) gives \(y=0,-4\), and \(x=-2\) gives \(y=0,4\), so options B and C are also incorrect. Exam tip: to test a relation for being a function, check that every domain element has exactly one image.
(f(x)=1+\frac{3}{x-2+1}), इसलिए अधिकतम (4) है और (1) कभी नहीं मिलता। परिसर ((1,4]) है। / Since (f(x)=1+\frac{3}{x-2+1}), the maximum is (4) and (1) is never reached. The range is ((1,4]).
पहले इनपुट के लिए (5), फिर (4), फिर (3), फिर (2) विकल्प हैं। कुल \(5\cdot4\cdot3\cdot2=120\) फलन हैं। / There are (5), then (4), then (3), then (2) choices for the four inputs. Total functions are \(5\cdot4\cdot3\cdot2=120\).
विकल्प (B) में हर इनपुट की एक छवि है, इसलिए (R) फलन है। उल्टे संबंध में (4) की दो छवियां (1) और (2) होंगी। / In option (B), every input has one image, so (R) is a function. In the inverse relation, (4) has two images (1) and (2).
(x=1) पहले भाग में आता है, इसलिए (f(1)=12=1) है। सीमा चिह्न से तय करें कि कौन सा नियम लगेगा। / The input (x=1) belongs to the first part, so (f(1)=12=1). Use the boundary sign to decide which rule applies.
कुल \(2^5=32\) फलन हैं। (0) या (1) बार (1) आने वाले (1+5=6) फलन हटाने पर (26) बचते हैं। / There are \(2^5=32\) total functions. Excluding cases with (0) or (1) occurrence of (1), namely (1+5=6), leaves (26).
