Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(2+5=7) और (3+4=7), इसलिए यही युग्म आते हैं। संबंध बनाने से पहले पूरा \(A\times B\) सोचें। / Since (2+5=7) and (3+4=7), these pairs belong to (R). Think of all pairs in \(A\times B\) before filtering.
\(x\) के तीनों मान जाँचें: \((-1)^2=1\), इसलिए \((-1,1)\); \(0^2=0\), इसलिए \((0,0)\); और \(1^2=1\), इसलिए \((1,1)\) मिलता है। अतः कुल 3 क्रमित युग्म हैं। विकल्प 6 पूरे \(A\times B\) के युग्मों की संख्या है, लेकिन उनमें से सभी \(x^2=y\) को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक \(x\) के लिए \(x^2\) निकालकर जाँचें कि प्राप्त \(y\), \(B\) में है या नहीं। / Check all three values of \(x\): \((-1)^2=1\) gives \((-1,1)\), \(0^2=0\) gives \((0,0)\), and \(1^2=1\) gives \((1,1)\). Thus, there are 3 ordered pairs. Option 6 is the total number of pairs in \(A\times B\), but not all of them satisfy \(x^2=y\). Exam tip: For this type of question, compute \(x^2\) for each \(x\) and verify whether the resulting \(y\) belongs to \(B\).
(a=2,3,4) के लिए क्रमशः (1,2,3) मान मिलते हैं, कुल (6)। असमानता में पहले अवयव को आधार बनाकर गिनें। / For (a=2,3,4), the counts are (1,2,3), giving (6). For inequalities, count using the first component.
समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल के लिए |A×B|=|A|×|B| होता है। यहाँ |A|=3 और |A×B|=12, इसलिए 3×|B|=12 तथा |B|=12÷3=4। विकल्प 12 केवल दिए गए गुणनफल की संख्या है, B की कार्डिनैलिटी नहीं। परीक्षा में पहले |A| ज्ञात करके गुणनफल की कार्डिनैलिटी को उससे भाग दें। / For the Cartesian product, |A×B|=|A|×|B|. Here, |A|=3 and |A×B|=12, so 3×|B|=12 and hence |B|=12÷3=4. The value 12 is the cardinality of the product, not of B. In an exam, first find |A| and divide the product cardinality by it.
\(|A\times B|=mn\), इसलिए इसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{mn}\) होगी। पहले मूल समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / \(|A\times B|=mn\), so the number of subsets is \(2^{mn}\). First find the cardinality of the base set.
संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=6\)। इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। / A relation is any subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=6\). Hence the number of relations is \(2^6=64\).
\(|A\times B|=3\cdot2=6\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), so non-empty subsets are \(2^6-1=63\). Do not forget to subtract the empty set.
((4,3)) में पहला अवयव (4) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((4,3)), the first component (4) is not in (A). Check both positions separately for membership.
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(B=\{a,b\}\) है। कार्तीय गुणनफल से मूल समुच्चय पहचानते समय स्थान देखें। / The set of second components is \(B=\{a,b\}\). When identifying original sets, observe the positions.
यदि (A) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), तो \(B=\varnothing\) होना चाहिए। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / If (A) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), then \(B=\varnothing\). A Cartesian product is empty if at least one set is empty.
