Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(B-C={3,9}), इसलिए (A) के हर अवयव के साथ (3) और (9) जुड़ेंगे। पहले अंतर निकालें फिर युग्म लिखें। / (B-C={3,9}), so each element of (A) pairs with (3) and (9). Find the difference first and then write the pairs.
कार्तीय गुणन क्रमित युग्मों का समुच्चय है। सही रूप में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / Cartesian product is a set of ordered pairs. In the correct form, the first component is from (A) and the second is from (B).
(y=2) के लिए (2) युग्म, (y=3) के लिए (3) युग्म और (y=4) के लिए (4) युग्म हैं। कुल (2+3+4=9) युग्म मिलते हैं। / For (y=2), there are (2) pairs; for (y=3), (3) pairs; and for (y=4), (4) pairs. Total pairs are (2+3+4=9).
सही युग्म ((3,1),(6,2),(9,3)) हैं। शर्त लगाते समय दोनों समुच्चयों की सीमा याद रखें। / The valid pairs are ((3,1),(6,2),(9,3)). While applying the condition, remember the limits of both sets.
A\(\times\)B के युग्मों में x=1 के लिए योग 3, 5 और 7 होते हैं, इसलिए कोई युग्म मान्य नहीं है। x=2 के लिए केवल (2,6) का योग 8 है, तथा x=5 के लिए (5,4) और (5,6) के योग क्रमशः 9 और 11 हैं। इसलिए कुल 3 युग्म मान्य हैं। ध्यान रखें कि शर्त x+y>7 है, अतः x+y=7 वाले युग्म शामिल नहीं किए जाते। / For x=1, the sums with elements of B are 3, 5, and 7, so none qualifies. For x=2, only (2,6) has a sum greater than 7. For x=5, the pairs (5,4) and (5,6) have sums 9 and 11. Thus, there are 3 valid ordered pairs. Exam tip: a strict inequality such as x+y>7 excludes pairs whose sum is exactly 7.
पहला घटक (A) से आना चाहिए पर \(A=\varnothing\) है। इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। / The first component must come from (A), but \(A=\varnothing\). Therefore no ordered pair is formed.
यदि (A=B), तो दोनों तरफ वास्तव में \(A\times A\) ही है। इसलिए दोनों कार्तीय गुणन समान होंगे। / If (A=B), then both sides are actually \(A\times A\). Therefore both Cartesian products are equal.
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
कार्तीय गुणनफल \(A \times B\) के क्रमित युग्म हैं \((1,2),(1,5),(2,2),(2,5)\)। इनके घटकों के योग क्रमशः \(3,6,4,7\) हैं, इसलिए योगों का समुच्चय \(\{3,4,6,7\}\) है। विकल्प D केवल \(3\) और \(7\) देता है तथा \(4\) और \(6\) छोड़ देता है। परीक्षा-टिप: कार्तीय गुणनफल में पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करें। / The ordered pairs in \(A \times B\) are \((1,2),(1,5),(2,2),(2,5)\). Their component sums are \(3,6,4,7\), so the set of sums is \(\{3,4,6,7\}\). Option D includes only \(3\) and \(7\), omitting \(4\) and \(6\). Exam tip: In a Cartesian product, pair every element of the first set with every element of the second set.
(B) के सभी (3) अवयव सम हैं और (A) के (4) अवयवों से जुड़ते हैं। इसलिए \(4\times3=12\) युग्म बनेंगे। / All (3) elements of (B) are even and pair with (4) elements of (A). Hence \(4\times3=12\) pairs are formed.
