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B. रेखा \(y=3\) पर \(2\le x\le5\) वाला रेखाखंड/A line segment on \(y=3\) with \(2\le x\le5\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में पहला निर्देशांक \(A\) से और दूसरा निर्देशांक \(B\) से लिया जाता है। इसलिए \(A\times B=\{(x,3):2\le x\le5\}\), जो \(y=3\) पर स्थित क्षैतिज रेखाखंड है। विकल्प A में निर्देशांकों की भूमिकाएँ उलट दी गई हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: यदि दूसरा समुच्चय एकल अवयव \(\{c\}\) हो, तो गुणनफल \(y=c\) पर रेखाखंड देता है। / In the Cartesian product \(A\times B\), the first coordinate comes from \(A\) and the second coordinate comes from \(B\). Thus, \(A\times B=\{(x,3):2\le x\le5\}\), which is a horizontal line segment on \(y=3\). Option A incorrectly interchanges the roles of the coordinates. Exam tip: when the second set is a singleton \(\{c\}\), the Cartesian product lies on the line \(y=c\).
पहला घटक हमेशा (2) है और दूसरा ([-1,4]) में बदलता है। यह (x=2) पर ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है। / The first component is always (2), and the second varies in ([-1,4]). This is a vertical line segment on (x=2).
\(A\) में 3, \(B\) में 2 और \(C\) में 1 अवयव है। इसलिए \(A\times B\) में \(3\times2=6\) क्रमित युग्म होंगे। अब \((A\times B)\times C\) में प्रत्येक ऐसे युग्म को \(C\) के एकमात्र अवयव 6 के साथ जोड़ा जाएगा, अतः अवयवों की संख्या \(6\times1=6\) होगी। 12 चुनना \(C\) के एक से अधिक अवयव मान लेने की भूल है। परीक्षा-युक्ति: \(n(X\times Y)=n(X)\times n(Y)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) has 3 elements, \(B\) has 2, and \(C\) has 1. Thus, \(A\times B\) contains \(3\times2=6\) ordered pairs. Each of these pairs is combined with the only element of \(C\), so \((A\times B)\times C\) has \(6\times1=6\) elements. Choosing 12 incorrectly treats \(C\) as if it had more than one element. Exam tip: use \(n(X\times Y)=n(X)\times n(Y)\).
क्योंकि (B) अरिक्त है, (A) का हर अवयव पहले घटक के रूप में आएगा। इसलिए पहले घटकों का समुच्चय (A) है। / Since (B) is non-empty, every element of (A) appears as a first component. Therefore the set of first components is (A).
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। क्योंकि (A) अरिक्त है, (B) का हर अवयव दूसरे घटक के रूप में आता है। / Second components always come from (B). Since (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक समान सम-विषम प्रकृति के हों। यहां ऐसे \(2\times2+2\times1=6\) युग्म हैं। / The sum is even when both components have the same parity. Here such pairs are \(2\times2+2\times1=6\).
शर्त x+y=7 के अनुसार x=2 पर y=5, x=4 पर y=3 और x=6 पर y=1 मिलता है। इसलिए मान्य क्रमित युग्म (2,5), (4,3) और (6,1) हैं, कुल 3। x=0 के लिए y=7 चाहिए, लेकिन 7, B का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक x के लिए y=7−x निकालें और फिर जाँचें कि y, B में है या नहीं। / Using x+y=7, we get y=5 for x=2, y=3 for x=4, and y=1 for x=6. Thus the valid ordered pairs are (2,5), (4,3), and (6,1), giving a total of 3. For x=0, y would be 7, but 7 is not in B. Exam tip: calculate y=7−x for each x and then check whether y belongs to B.
सबसे बड़ा पहला घटक (8) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (7) है। इसलिए ((8,7)) का योग सबसे बड़ा होगा। / The greatest first component is (8) and the greatest second component is (7). Therefore ((8,7)) has the greatest sum.
शर्त x−y=2 से x=y+2 प्राप्त होता है। B के प्रत्येक मान के लिए युग्म मिलते हैं: y=1 पर (3,1), y=2 पर (4,2), और y=3 पर (5,3)। ये तीनों युग्म A×B में हैं, इसलिए सही उत्तर 3 है। 4 चुनना गलत है, क्योंकि A में चार अवयव होने मात्र से सभी के लिए उपयुक्त युग्म नहीं बनते। परीक्षा-युक्ति: ऐसी शर्त में पहले छोटे समुच्चय के प्रत्येक मान को रखकर दूसरा मान जाँचें। / From x−y=2, we get x=y+2. For each value of y in B, the valid pairs are (3,1), (4,2), and (5,3). All three first components belong to A, so there are 3 ordered pairs. Choosing 4 is incorrect because the number of elements in A alone does not determine the number of valid pairs. Exam tip: substitute each value from the smaller set and check whether the resulting value belongs to the other set.
सही युग्म ((1,6),(2,3),(3,2),(6,1)) हैं। क्रमित युग्मों में ((2,3)) और ((3,2)) अलग हैं। / The valid pairs are ((1,6),(2,3),(3,2),(6,1)). In ordered pairs, ((2,3)) and ((3,2)) are different.
