Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), पर (x=1) मूल हर को शून्य करता है। रद्द करने के बाद भी हटाए गए बिंदु याद रखें। / \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), but (x=1) makes the original denominator zero. After cancellation, remember the removed point.
जब \(x\ge2\), तब (|x-2|=x-2), इसलिए (f-g=0)। मापांक वाले फलन में केस बनाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / When \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so (f-g=0). For modulus functions, making cases is the safest method.
यहाँ
(fg)(x)
का अर्थ दोनों फलनों का गुणनफल है, अर्थात्
(fg)(x)=f(x)g(x)=x-2(2x+1)
। इसलिए
(fg)(-2)=(-2)2[2(-2)+1]=4(-3)=-12
। विकल्प C केवल
g(-2)
का मान है, जबकि प्रश्न में
f(-2)
और
g(-2)
का गुणनफल माँगा गया है। परीक्षा-युक्ति:
(fg)
को
f\circ g
से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन होता है। / Here,
(fg)(x)
denotes the product of the two functions:
(fg)(x)=f(x)g(x)=x-2(2x+1)
. Thus,
(fg)(-2)=(-2)2[2(-2)+1]=4(-3)=-12
. Option C is only the value of
g(-2)
, whereas the question asks for the product of
f(-2)
and
g(-2)
. Exam tip: distinguish
(fg)
, which means product, from
f\circ g
, which means composition.
\(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) के लिए (x>1) और \(\sqrt{4-x}\) के लिए \(x\le4\) चाहिए। अतः साझा डोमेन ( (1,4] ) है। / For \(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\), (x>1), and for \(\sqrt{4-x}\), \(x\le4\). Thus the common domain is ( (1,4] ).
पहले योग और अंतर निकालते हैं: \(f+g=(x^2+1)+(x^2-1)=2x^2\) तथा \(f-g=(x^2+1)-(x^2-1)=2\)। इसलिए \(\frac{f+g}{f-g}=\frac{2x^2}{2}=x^2\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में हर \(2\) से भाग देना छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग या अंतर का भाग लेने से पहले अंश और हर को अलग-अलग सरल करें। / First calculate the sum and difference: \(f+g=(x^2+1)+(x^2-1)=2x^2\) and \(f-g=(x^2+1)-(x^2-1)=2\). Hence, \(\frac{f+g}{f-g}=\frac{2x^2}{2}=x^2\), so option A is correct. Option B is incorrect because it omits division by the denominator \(2\). Exam tip: simplify the numerator and denominator separately before forming the quotient of functions.
पहले फलन में \(x\neq-1\) और दूसरे में \(x\neq2\) चाहिए। जोड़ का डोमेन इन दोनों शर्तों का साझा भाग है। / The first function needs \(x\neq-1\), and the second needs \(x\neq2\). The domain of the sum is the common part of these conditions.
फलनों के योग से \(g(x)\) प्राप्त करने के लिए \(f(x)\) को घटाएँ: \(g(x)=(f+g)(x)-f(x)=(x^2+x)-(3x-2)=x^2-2x+2\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(3x\) को सही ढंग से घटाया नहीं गया है। परीक्षा में संकेत: फलनों के योग में प्रत्येक \(x\) के लिए मानों का जोड़ होता है, इसलिए अज्ञात फलन पाने के लिए ज्ञात फलन घटाएँ। / Subtract the known function from the sum: \(g(x)=(f+g)(x)-f(x)=(x^2+x)-(3x-2)=x^2-2x+2\). Hence, option A is correct. Option D results from failing to subtract the \(3x\) term correctly. Exam tip: For the sum of functions, subtract the known function term by term to obtain the unknown function.
फलनों के घटाव से \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\), इसलिए \(g(x)=f(x)-(f-g)(x)\)। मान रखने पर \(g(x)=(x^2+3x)-(2x^2-x)=-x^2+4x\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में पूरे परिणाम का चिह्न उलट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(f-g\) दिया हो, तो अज्ञात फलन निकालने के लिए \(g=f-(f-g)\) लिखें। / Since \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\), we get \(g(x)=f(x)-(f-g)(x)\). Substituting the given functions, \(g(x)=(x^2+3x)-(2x^2-x)=-x^2+4x\), so option A is correct. Option B results from reversing the overall sign. Exam tip: when \(f-g\) is given, use \(g=f-(f-g)\) before substituting.
(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), पर (h(x)\neq0) से \(x\neq\pm2\) है। सरलीकरण के बाद भी मूल हर की रोक बनी रहती है। / (\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), but (h(x)\neq0) gives \(x\neq\pm2\). The original denominator restriction remains after simplification.
\(\sqrt{9-x^2}\) के लिए \(-3\le x\le3\) और \(\frac{1}{x}\) के लिए \(x\neq0\) है। अतः डोमेन ( [-3,3]-{0} ) है। / For \(\sqrt{9-x^2}\), \(-3\le x\le3\), and for \(\frac{1}{x}\), \(x\neq0\). Hence the domain is ( [-3,3]-{0} ).
