Class 11 Mathematics Combinations MCQ

Question 111/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(9) अलग-अलग फाइलों में से (6) फाइलें चुनने के कितने तरीके हैं?

How many ways are there to choose (6) files from (9) different files?

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Correct Answer

D. 84

Explanation

Simple Explanation

यह क्रम की नहीं, केवल चयन की स्थिति है; इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा। आवश्यक तरीके \(\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!3!}=84\) हैं। इसे \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\) भी लिख सकते हैं, क्योंकि 6 फाइलें चुनना 3 फाइलें छोड़ने के बराबर है। \(126\) निकट का भ्रामक विकल्प है, पर वह \(\binom{9}{4}\) का मान है। परीक्षा टिप: जब चयन का क्रम महत्वपूर्ण न हो, तो \(nCr\) लगाएँ। / This is a selection problem, not an arrangement problem, so combinations are used. The required number of ways is \(\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!3!}=84\). Equivalently, \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\), because choosing 6 files is the same as leaving out 3 files. The nearby distractor \(126\) is the value of \(\binom{9}{4}\), not \(\binom{9}{6}\). Exam tip: use \(nCr\) when the order of selection does not matter.

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Question 112/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(6) लड़कों और (5) लड़कियों में से (3) लड़के और (1) लड़की कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?

From (6) boys and (5) girls, in how many ways can (3) boys and (1) girl be selected?

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Correct Answer

A. (100)

Explanation

Simple Explanation

तरीके \(\binom{6}{3}\binom{5}{1}=20\cdot5=100\) हैं। अलग वर्गों से चयन में गुणा करें। / The ways are \(\binom{6}{3}\binom{5}{1}=20\cdot5=100\). Multiply selections from different groups.

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Question 113/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(8) लाल और (7) सफेद फूलों में से (2) लाल और (2) सफेद फूल कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?

From (8) red and (7) white flowers, in how many ways can (2) red and (2) white flowers be selected?

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Correct Answer

B. (588)

Explanation

Simple Explanation

चयन \(\binom{8}{2}\binom{7}{2}=28\cdot21=588\) है। हर रंग के लिए अलग संयोजन लगाएं। / The selection is \(\binom{8}{2}\binom{7}{2}=28\cdot21=588\). Use a separate combination for each color.

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Question 114/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(7) डॉक्टरों और (4) नर्सों में से (2) डॉक्टर और (1) नर्स की टीम कितने तरीकों से बनेगी?

In how many ways can a team of (2) doctors and (1) nurse be formed from (7) doctors and (4) nurses?

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Correct Answer

C. 84

Explanation

Simple Explanation

2 डॉक्टरों का चयन \(\binom{7}{2}=21\) तरीकों से और 1 नर्स का चयन \(\binom{4}{1}=4\) तरीकों से किया जा सकता है। स्वतंत्र चयन होने के कारण गुणन नियम से कुल तरीके \(\binom{7}{2}\binom{4}{1}=21\times4=84\) होंगे। \(56\) जैसा विकल्प डॉक्टरों और नर्सों के चयन को सही ढंग से संयोजित नहीं करता। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से निश्चित संख्या में सदस्य चुनने पर उनके संयोजनों का गुणन करें। / Two doctors can be selected in \(\binom{7}{2}=21\) ways, and one nurse can be selected in \(\binom{4}{1}=4\) ways. Since these selections are independent, the multiplication principle gives \(\binom{7}{2}\binom{4}{1}=21\times4=84\) teams. The option \(56\) does not correctly combine the selections of doctors and nurses. Exam tip: when fixed numbers are chosen from separate groups, multiply the corresponding combinations.

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Question 115/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(5) हिंदी और (6) संस्कृत पुस्तकों में से (2) हिंदी और (3) संस्कृत पुस्तकें कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं?

From (5) Hindi and (6) Sanskrit books, in how many ways can (2) Hindi and (3) Sanskrit books be selected?

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Correct Answer

D. (200)

Explanation

Simple Explanation

तरीके \(\binom{5}{2}\binom{6}{3}=10\cdot20=200\) हैं। अलग विषयों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{5}{2}\binom{6}{3}=10\cdot20=200\). Multiply selections from different subjects.

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Question 116/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

एक समिति में 8 सदस्य हैं। इनमें से अध्यक्ष और सचिव के दो अलग-अलग पद भरने हैं। यदि किसी सदस्य को दोनों पद नहीं दिए जा सकते, तो अध्यक्ष और सचिव चुनने के कितने तरीके हैं?

A committee has 8 members. Two distinct posts, chairperson and secretary, are to be filled. If no member can hold both posts, in how many ways can the chairperson and secretary be chosen?

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Correct Answer

C. \(56\)

Explanation

Simple Explanation

पद अलग-अलग हैं, इसलिए चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण है। अध्यक्ष के लिए 8 और फिर सचिव के लिए शेष 7 विकल्प हैं। अतः तरीके \(8\times7=56\) होंगे। \(\binom{8}{2}=28\) केवल दो सदस्यों का क्रमरहित चयन है। परीक्षा टिप: अलग पद हों तो क्रमचय लगाएँ। / Because the posts are distinct, order matters. There are 8 choices for chairperson and then 7 remaining choices for secretary, so \(8\times7=56\). \(\binom{8}{2}=28\) counts an unordered pair only. Exam tip: use permutations when positions are different.

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Question 117/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(11) टीमों की लीग में हर टीम दूसरी टीम से एक बार खेले तो कुल मैच कितने होंगे?

In a league of (11) teams, if each team plays every other team once, how many matches will be played?

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Correct Answer

B. 55

Explanation

Simple Explanation

प्रत्येक मैच दो अलग-अलग टीमों की एक जोड़ी से बनता है। अतः 11 टीमों में से 2 टीमों को चुनने के तरीकों की संख्या ही कुल मैचों की संख्या होगी: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2}=55\)। इसलिए विकल्प B सही है। 110 गिनने पर प्रत्येक मैच को दो बार गिना जाएगा, जैसे A बनाम B और B बनाम A। परीक्षा टिप: एक बार खेलने वाली लीग के लिए कुल मैच \(\binom{n}{2}\) होते हैं। / Each match is determined by a pair of distinct teams. Therefore, the number of matches equals the number of ways to choose 2 teams from 11: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2}=55\). Hence, option B is correct. Counting 110 would count every match twice, such as A versus B and B versus A. Exam tip: for a single round-robin league with \(n\) teams, total matches are \(\binom{n}{2}\).

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Question 118/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(14) बिंदुओं में से (3) बिंदु चुनकर कितने त्रिभुज बन सकते हैं यदि कोई (3) बिंदु एक सीध में नहीं हैं?

How many triangles can be formed by choosing (3) points from (14) points if no (3) points are collinear?

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Correct Answer

C. 364

Explanation

Simple Explanation

एक त्रिभुज बनाने के लिए 14 बिंदुओं में से कोई भी 3 बिंदु चुने जाते हैं। चूँकि कोई भी 3 बिंदु एक सीध में नहीं हैं, इसलिए चुना गया प्रत्येक समूह एक त्रिभुज बनाएगा। अतः त्रिभुजों की संख्या \(\binom{14}{3}=\frac{14\times13\times12}{3\times2\times1}=364\) है। विकल्प 1092 क्रमचय जैसी गणना से आ सकता है, पर त्रिभुज में बिंदुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। परीक्षा टिप: जब केवल वस्तुओं का चयन हो और क्रम का प्रभाव न हो, तो संयोजन का प्रयोग करें। / A triangle is formed by selecting any 3 of the 14 points. Since no 3 points are collinear, every selected group of 3 points forms a triangle. Therefore, the number of triangles is \(\binom{14}{3}=\frac{14\times13\times12}{3\times2\times1}=364\). The value 1092 can result from an arrangement-based calculation, but the order of vertices does not matter for a triangle. Exam tip: use combinations when objects are selected and their order is irrelevant.

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Question 119/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(12) बिंदुओं से कितनी सीधी रेखाएं बनेंगी यदि कोई (3) बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं?

How many straight lines can be formed from (12) points if no (3) points lie on the same line?

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Correct Answer

B. 66

Explanation

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प्रत्येक सीधी रेखा दो भिन्न बिंदुओं को मिलाने पर बनती है। चूँकि कोई तीन बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं, इसलिए प्रत्येक बिंदु-युग्म एक अलग रेखा देगा। अतः रेखाओं की संख्या \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\) है। \(132\) लेने पर एक ही बिंदु-युग्म की व्यवस्था को दो बार गिना जाएगा। परीक्षा टिप: बिंदुओं से बनने वाली रेखाओं के लिए, जब कोई तीन बिंदु समरेखीय न हों, \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A straight line is determined by a pair of distinct points. Since no three points are collinear, every pair of points gives a different line. Therefore, the number of lines is \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\). The value \(132\) would count each pair in two orders. Exam tip: when no three of \(n\) points are collinear, use \(\binom{n}{2}\) to find the number of lines.

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Question 120/609 Easy Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(10) बिंदुओं में से कोई (3) एक सीध में नहीं हैं। उनसे कितने वृत्त निर्धारित होंगे?

There are (10) points, no (3) of which are collinear. How many circles will be determined?

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Correct Answer

C. 120

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तीन असंरेख बिंदु एक अद्वितीय वृत्त निर्धारित करते हैं। चूँकि दिए गए किसी भी तीन बिंदु एक ही सीध में नहीं हैं, इसलिए 10 बिंदुओं में से किसी भी 3 बिंदुओं का चयन किया जा सकता है। अतः वृत्तों की संख्या \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\) होगी। विकल्प 90 क्रमित चयन जैसा परिणाम है, जबकि यहाँ बिंदुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: जब चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण न हो, तब संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Any three non-collinear points determine one unique circle. Since no three of the given points are collinear, any set of 3 points can be chosen. Therefore, the number of circles is \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\). The value 90 does not represent the required unordered selection; the order of chosen points is irrelevant here. Exam tip: Use combinations \(\binom{n}{r}\) when the order of selection does not matter.

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(9) अलग-अलग फाइलों में से (6) फाइलें चुनने के कितने तरीके हैं?

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(6) लड़कों और (5) लड़कियों में से (3) लड़के और (1) लड़की कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?

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(8) लाल और (7) सफेद फूलों में से (2) लाल और (2) सफेद फूल कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?

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(5) हिंदी और (6) संस्कृत पुस्तकों में से (2) हिंदी और (3) संस्कृत पुस्तकें कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं?

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(11) टीमों की लीग में हर टीम दूसरी टीम से एक बार खेले तो कुल मैच कितने होंगे?

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(14) बिंदुओं में से (3) बिंदु चुनकर कितने त्रिभुज बन सकते हैं यदि कोई (3) बिंदु एक सीध में नहीं हैं?

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(12) बिंदुओं से कितनी सीधी रेखाएं बनेंगी यदि कोई (3) बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं?

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(10) बिंदुओं में से कोई (3) एक सीध में नहीं हैं। उनसे कितने वृत्त निर्धारित होंगे?

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