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\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (U) से (A) के तत्व काट दें। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, cross out the elements of (A) from (U).
(A) में (p,s,t) हैं, इसलिए (q,r) बचे हैं। पूरक हमेशा दिए हुए (U) के अंदर ही लिखें। / (A) has (p,s,t), so (q,r) are left. Always write the complement only inside the given (U).
A. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक का तत्व (U) में होता है पर (A) में नहीं होता। सदस्यता वाले प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ जांचें। / An element of the complement is in (U) but not in (A). In membership questions, check both conditions together.
जब (A=U) हो, तो (U) में (A) से बाहर कोई तत्व नहीं बचता। इसलिए \(A^c=\varnothing\) होता है। / When (A=U), no element of (U) remains outside (A). Hence \(A^c=\varnothing\).
\(\varnothing\) से कोई तत्व नहीं हटता, इसलिए पूरा (U) पूरक में आता है। याद रखें कि \(\varnothing^c=U\) होता है। / No element is removed from \(\varnothing\), so the whole (U) comes in the complement. Remember that \(\varnothing^c=U\).
(A) में (U) के वे तत्व होंगे जो \(A^c\) में नहीं हैं। इसलिए (1) और (7) हटाकर बाकी तत्व लिखें। / (A) contains the elements of (U) that are not in \(A^c\). So remove (1) and (7) and write the remaining elements.
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए \(A^c\) में सम संख्याएं आएंगी। पैटर्न पहचानकर उत्तर जल्दी मिलता है। / (A) contains odd numbers, so \(A^c\) contains even numbers. Identifying the pattern gives the answer quickly.
(A) में (U) के वर्ग संख्याएं (1,4,9) हैं। पूरक में बाकी तत्व आते हैं। / (A) contains the square numbers (1,4,9) from (U). The complement contains the remaining elements.
(A) में (4) के गुणज हैं, इसलिए (U) के बाकी तत्व \(A^c\) में होंगे। हमेशा (U) की सीमा तक ही उत्तर दें। / (A) contains multiples of (4), so the remaining elements of (U) are in \(A^c\). Always answer only within the boundary of (U).
(0,3,6) हटाने पर (1,2,4,5) बचते हैं। (0) को भी समुच्चय का वैध तत्व मानें। / After removing (0,3,6), the elements (1,2,4,5) remain. Treat (0) as a valid element of the set.
दिए गए (U) में सम संख्याओं के बाहर विषम संख्याएं बचती हैं। सेट-बिल्डर रूप को पहले सूची रूप में बदलें। / In the given (U), odd numbers remain outside the even numbers. First convert set-builder form into roster form.
उपसमुच्चय लेने पर पूरक में क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
पूरक का पूरक मूल समुच्चय होता है। इसलिए (\(A^c\)^c=A) हमेशा सही है। / The complement of the complement is the original set. Hence (\(A^c\)^c=A) is always true.
A. (U) के अंदर (A) के बाहर का भाग/the region inside (U) but outside (A)
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) हमेशा (U) के अंदर लेकिन (A) के बाहर होता है। वेन आरेख में आयत से बाहर का भाग न गिनें। / \(A^c\) is always inside (U) but outside (A). In a Venn diagram, do not count the region outside the rectangle.
A. बस से न आने वाले विद्यार्थी/students who do not come by bus
Explanation
Simple Explanation
\(A^c\) में (U) के वे विद्यार्थी आएंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह बस से न आने वालों का समुच्चय है। / \(A^c\) contains the students of (U) who are not in (A). So it is the set of students who do not come by bus.
(A) के रंग हटाने पर (नीला) और (हरा) बचते हैं। शब्दों वाले समुच्चय में भी वही नियम लगता है। / After removing the colors of (A), blue and green remain. The same rule applies to word sets.
(U) में सभी अंक हैं और (A) में सम अंक हैं। इसलिए \(A^c\) में विषम अंक होंगे। / (U) contains all digits and (A) contains even digits. Therefore \(A^c\) contains odd digits.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं और दोनों बराबर हैं। इसलिए \(24\div 2=12\) होगा। / (A) and \(A^c\) together form (U), and both have equal size. Hence \(24\div 2=12\).
(A) और \(A^c\) में कोई साझा तत्व नहीं होता। इसलिए \(A\cap A^c=\varnothing\) सीधे मिलता है। / (A) and \(A^c\) have no common element. Therefore \(A\cap A^c=\varnothing\) directly.
जो तत्व (U) में है लेकिन (A) में नहीं है, वह \(A^c\) में होगा। यही पूरक की सदस्यता शर्त है। / An element that is in (U) but not in (A) belongs to \(A^c\). This is the membership condition of complement.
(U) का कोई तत्व या तो (A) में होगा या \(A^c\) में। यदि वह \(A^c\) में नहीं है, तो वह (A) में होगा। / An element of (U) belongs either to (A) or to \(A^c\). If it is not in \(A^c\), then it is in (A).
(5) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए (5) पूरक में आएगा। (9) (U) में शामिल है, इसलिए ([5,9]) सही है। / (5) is not included in (A), so (5) comes in the complement. Since (9) is included in (U), ([5,9]) is correct.
(1) (A) में शामिल है, इसलिए पूरक (1) के बाद से शुरू होगा। (4) (U) में शामिल है। / (1) is included in (A), so the complement starts after (1). (4) is included in (U).
\(9\in U\) है और \(9\notin A\), इसलिए \(9\in A^c\)। विकल्पों में वही तत्व चुनें जो (A) में न हो। / \(9\in U\) and \(9\notin A\), so \(9\in A^c\). Choose the option that is not in (A).
\(A^c={1,3,4}\), इसलिए \(4\in A^c\) सही है। पहले पूरक लिखने से भ्रम कम होता है। / \(A^c={1,3,4}\), so \(4\in A^c\) is correct. Writing the complement first reduces confusion.
चार दिशाओं में (उत्तर) और (दक्षिण) हटाने पर (पूर्व) और (पश्चिम) बचते हैं। पूरक संदर्भ समुच्चय पर निर्भर करता है। / Among the four directions, removing north and south leaves east and west. Complement depends on the reference set.
A. (A) में न आने वाले विद्यार्थियों की संख्या/number of students not in (A)
Explanation
Simple Explanation
(n\(A^c\)) उन तत्वों की संख्या है जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। इसका मान यहां (45-28=17) होगा। / (n\(A^c\)) is the number of elements in (U) but not in (A). Its value here is (45-28=17).
वास्तविक उपसमुच्चय में (U) का कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होता है। इसलिए \(A^c\) खाली नहीं होगा। / In a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\) will not be empty.
A. क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय बदल गया है/because the universal set has changed
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा चुने गए (U) पर निर्भर करता है। (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / Complement always depends on the chosen (U). When (U) changes, \(A^c\) may also change.
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)/\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक होने के लिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं होना चाहिए और दोनों मिलकर (U) बनाने चाहिए। यही परीक्षा में सबसे सुरक्षित जांच है। / For (B) to be the complement of (A), they must have no common element and together form (U). This is the safest exam check.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (11,13,15) हटाने पर (10,12,14) बचते हैं। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). So after removing (11,13,15), (10,12,14) remain.
\(A=\{5,10,15\}\) है। (U) से इन्हें हटाने पर बाकी तत्व \(A^c\) बनाते हैं। / \(A=\{5,10,15\}\). Removing these from (U) gives the remaining elements of \(A^c\).
(A) में स्वर हैं, इसलिए (U) में बचे (b,c,d) पूरक में होंगे। पूरक हमेशा (U) के आधार पर निकाला जाता है। / (A) contains vowels, so the remaining elements (b,c,d) of (U) are in the complement. Complement is always found with respect to (U).
(3) (A) में शामिल नहीं है, इसलिए वह पूरक में आएगा। (8) (A) में है, इसलिए पूरक (8) के बाद से शुरू होगा। / (3) is not included in (A), so it comes in the complement. (8) is in (A), so the complement starts after (8).
\(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। इसमें से (A) के तत्व हटाने पर (-3,-1,1,3) बचते हैं। / \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). Removing the elements of (A) leaves (-3,-1,1,3).
गणित पसंद न करने वाले विद्यार्थी \(A^c\) में हैं। इसलिए संख्या (55-37=18) होगी। / Students who do not like mathematics are in \(A^c\). Therefore the number is (55-37=18).
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(A\cup B=U\)/\(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक समुच्चय (A) से असंबद्ध होता है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। यही पूरक जांचने का सबसे सरल नियम है। / A complement set is disjoint from (A), and together they form (U). This is the simplest rule to check complement.
