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सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) लगाएं। परीक्षा में साझा भाग को दो बार गिनने की गलती न करें। / Use (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)). In exams, do not count the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=95-20=75), फिर (n\(A\cap B\)=48+39-75=12)। ऐसे प्रश्नों में बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=95-20=75), then (n\(A\cap B\)=48+39-75=12). In such questions, if the outside part is given, find the union first.
(n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)=35+30-50=15)। दिए गए तीन मानों से चौथा मान सीधे निकाला जा सकता है। / (n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)=35+30-50=15). The fourth value can be found directly from the three given values.
पहले (n\(A\cup B\)=45+37-18=64), इसलिए बाहर (80-64=16)। वेन आरेख में बाहर का क्षेत्र (U-\(A\cup B\)) होता है। / First (n\(A\cup B\)=45+37-18=64), so outside is (80-64=16). In a Venn diagram, the outside region is (U-\(A\cup B\)).
केवल (A) का भाग (n(A)-n\(A\cap B\)=32-14=18) है। आरेख बनाकर मध्य भाग घटाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Only (A) is (n(A)-n\(A\cap B\)=32-14=18). Drawing the diagram and subtracting the middle part is the safest method.
संघ में तीन अलग-अलग क्षेत्र जुड़ते हैं, इसलिए (12+9+6=27)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे जोड़ें। / The union is the sum of three separate regions, so (12+9+6=27). In Venn diagrams, add non-overlapping regions directly.
जब \(A\subseteq B\), तब (A) पूरा (B) के अंदर होता है, इसलिए (45-18=27)। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर बनता है। / When \(A\subseteq B\), all of (A) lies inside (B), so (45-18=27). In a subset Venn diagram, the smaller circle is inside the larger one.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (26+19=45)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (26+19=45). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
A. दोनों (A) और (B) में आने वाला साझा भाग/Common part in both (A) and (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) वे तत्व हैं जो दोनों समुच्चयों में साथ-साथ होते हैं। वेन आरेख में यह ओवरलैप क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\) contains elements that are in both sets together. In a Venn diagram, it is the overlap region.
(n\(A\cup B\)=52+44-21=75), इसलिए पूरक (100-75=25)। पूरक के लिए सार्वत्रिक समुच्चय से घटाएं। / (n\(A\cup B\)=52+44-21=75), so the complement is (100-75=25). For complement, subtract from the universal set.
किसी समुच्चय और उसके पूरक का योग (U) के बराबर होता है। वेन आरेख में वृत्त और उसके बाहर का भाग मिलकर पूरा आयत बनाते हैं। / A set and its complement together equal (U). In a Venn diagram, the circle and the outside part together form the whole rectangle.
किसी में भी नहीं (5) हैं, इसलिए (n\(A\cup B\)=55)। तब (n\(A\cap B\)=25+30-55=0)। / Neither is (5), so (n\(A\cup B\)=55). Then (n\(A\cap B\)=25+30-55=0).
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (40+32-18=54)। ऐसे प्रश्नों में दोनों पसंद करते हैं को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (40+32-18=54). In such questions, count those who like both only once.
केवल गणित (27-12=15) है। वेन आरेख में पहले बीच का भाग लिखें और फिर बचे हुए भाग निकालें। / Only Mathematics is (27-12=15). In a Venn diagram, write the middle part first and then find the remaining parts.
पूरा (A) दो भागों (A-B) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n(A)=16+11=27)। / Whole (A) is made of two parts (A-B) and \(A\cap B\). Hence (n(A)=16+11=27).
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए साझा भाग (48-20-13=15) होगा। अलग-अलग क्षेत्रों को मिलाना वेन आरेख का मुख्य नियम है। / The union has three separate parts, so the common part is (48-20-13=15). Combining separate regions is the main rule of Venn diagrams.
A. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) में वे तत्व होते हैं जो तीनों में मौजूद हों। तीन वृत्तों में यह सबसे बीच का साझा क्षेत्र है। / \(A\cap B\cap C\) contains elements present in all three sets. In three circles, it is the central common region.
सूत्र (30+28+24-10-8-6+4=62) देता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ना याद रखें। / The formula gives (30+28+24-10-8-6+4=62). For three sets, remember to add back the final common part.
A. (n(A)-n\(A\cap B\)-n\(A\cap C\)+n\(A\cap B\cap C\))
Explanation
Simple Explanation
केवल (A) निकालते समय \(A\cap B\) और \(A\cap C\) घटते हैं, लेकिन केंद्रीय भाग दो बार घट जाता है इसलिए एक बार जोड़ते हैं। यही समावेशन-बहिष्करण का प्रयोग है। / While finding only (A), subtract \(A\cap B\) and \(A\cap C\), but the central part is subtracted twice, so add it once. This is inclusion-exclusion in use.
केवल (A=42-15-18+7=16)। तीन वृत्तों में केंद्रीय भाग का समायोजन जरूरी है। / Only (A=42-15-18+7=16). In three circles, adjustment of the central part is necessary.
केवल (A) और (B) के लिए केंद्रीय भाग घटाएं, (14-5=9)। जोड़ी वाले क्षेत्र में तीनों का साझा भाग शामिल होता है। / For only (A) and (B), subtract the central part, (14-5=9). A pairwise intersection includes the common part of all three.
किसी में नहीं (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=90-76=14) है। बाहर का भाग हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाकर मिलता है। / None is (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=90-76=14). The outside part is always found by subtracting the union from the universal set.
A. (A) का वह भाग जो (B) में नहीं है/Part of (A) that is not in (B)
Explanation
Simple Explanation
(A-B) का अर्थ (A) में मौजूद लेकिन (B) में अनुपस्थित तत्व हैं। वेन आरेख में यह केवल (A) वाला क्षेत्र है। / (A-B) means elements present in (A) but absent in (B). In a Venn diagram, it is the only (A) region.
A. (A-B) और (B-A) का संयुक्त क्षेत्र/Combined region of (A-B) and (B-A)
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे तत्व होते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. So the common part is not included.
सममित अंतर \(A\triangle B\) दो अलग क्षेत्रों (A-B) और (B-A) का योग है। इसलिए (23+31=54)। / The symmetric difference \(A\triangle B\) is the sum of the two separate regions (A-B) and (B-A). Hence (23+31=54).
ठीक एक समुच्चय (n\(A\cup B\)-n\(A\cap B\)=63-17=46) है। संघ में साझा भाग भी शामिल होता है, इसलिए उसे हटाएं। / Exactly one set is (n\(A\cup B\)-n\(A\cap B\)=63-17=46). The union includes the common part, so remove it.
यदि \(A\subseteq B\), तो (B) में (A) पहले से शामिल है। इसलिए संघ केवल (B) बनता है। / If \(A\subseteq B\), then (B) already contains (A). Hence the union is just (B).
जब (A) पूरी तरह (B) में है, तो साझा भाग (A) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानकर सूत्र के बिना उत्तर मिल सकता है। / When (A) is fully inside (B), the common part is (A) itself. Recognizing subset relation can give the answer without formula.
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। वेन आरेख में उनके वृत्त अलग-अलग बनते हैं। / Disjoint sets have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). In a Venn diagram, their circles are separate.
असंबद्ध समुच्चयों में हर तत्व ठीक एक ही समुच्चय में होता है, इसलिए (20+25=45)। यहां साझा भाग शून्य है। / In disjoint sets, every element is in exactly one of the sets, so (20+25=45). Here the common part is zero.
दोनों समुच्चयों में केवल (2) समान है। प्रतिच्छेद में वही तत्व लिखें जो दोनों में हों। / Only (2) is common to both sets. In intersection, write only the elements that are in both.
संघ में (A) और (B) के सभी अलग तत्व आते हैं। दोहराए गए (c) को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of (A) and (B). Write the repeated (c) only once.
पूरक \(A^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए उत्तर ({2,4,6}) है। / The complement \(A^c\) contains elements of (U) that are not in (A). Hence the answer is ({2,4,6}).
(A-B) में (A) के वे तत्व होते हैं जो (B) में नहीं हैं। (4) और (5) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). (4) and (5) are common, so they are removed.
(B-A) में (B) के वे तत्व हैं जो (A) में नहीं हैं। यहां केवल (t) ऐसा तत्व है। / (B-A) contains elements of (B) that are not in (A). Here only (t) is such an element.
A. \(A\cap B\) को छोड़कर (U) का बाकी भाग/All of (U) except \(A\cap B\)
Explanation
Simple Explanation
(\(A\cap B\)^c) का अर्थ साझा भाग का पूरक है। इसलिए (U) में साझा भाग को छोड़कर सब शामिल होगा। / (\(A\cap B\)^c) means the complement of the common part. So it includes everything in (U) except the common part.
संघ के पूरक में दोनों से बाहर का भाग आता है, इसलिए (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c)। वेन आरेख से यह नियम आसानी से दिखता है। / The complement of a union is the region outside both sets, so (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c). This rule is easy to see from a Venn diagram.
साझा भाग के बाहर का क्षेत्र \(A^c\cup B^c\) होता है। पूरक लेते समय संघ और प्रतिच्छेद आपस में बदल जाते हैं। / The region outside the common part is \(A^c\cup B^c\). While taking complements, union and intersection interchange.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। (n\(A\cup B\)=65+58-29=94), इसलिए उत्तर (120-94=26)। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). (n\(A\cup B\)=65+58-29=94), so the answer is (120-94=26).
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (75-18=57)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (75-18=57). Here the complement of only the common part is asked.
केवल एक (=(36-20)+(42-20)=38)। सीधे (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) भी लगा सकते हैं। / Exactly one (=(36-20)+(42-20)=38). You can also use (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)).
कम से कम एक (31+29-11=49) है, इसलिए कोई नहीं (65-49=16)। सर्वे प्रश्नों में पहले संघ निकालना उपयोगी है। / At least one is (31+29-11=49), so neither is (65-49=16). In survey questions, finding the union first is useful.
\(A\cup B\) में पूरा (A) और (B-A) शामिल है, इसलिए (46+26=72)। अतः साझा भाग पहले से (A) में है और अतिरिक्त मान (0) निकलता है। / \(A\cup B\) contains all of (A) and (B-A), so (46+26=72). Thus the common part is already inside (A), and the extra value is (0).
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+12+22+8=60)। वेन आरेख में कोई क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+12+22+8=60). In a Venn diagram, no region should be missed.
संघ (14+9+17=40) है, इसलिए बाहर (55-40=15)। बाहर का क्षेत्र संघ का पूरक होता है। / The union is (14+9+17=40), so outside is (55-40=15). The outside region is the complement of the union.
तीन समुच्चयों के वेन आरेख में (n\(A\cap B\)=12), (n\(B\cap C\)=13), (n\(C\cap A\)=10) और (n\(A\cap B\cap C\)=4) है। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
ठीक दो (=(12-4)+(13-4)+(10-4)=23)। हर जोड़ी से केंद्रीय भाग घटाना जरूरी है। / Exactly two (=(12-4)+(13-4)+(10-4)=23). The central part must be subtracted from each pair.
यदि (n(A)=25), (n(B)=22), (n(C)=19), (n\(A\cap B\)=7), (n\(B\cap C\)=6), (n\(C\cap A\)=5), (n\(A\cap B\cap C\)=2) और (n(U)=60) है, तो किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (25+22+19-7-6-5+2=50) है, इसलिए कोई नहीं (60-50=10)। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ें। / The union is (25+22+19-7-6-5+2=50), so none is (60-50=10). In three sets, add back the final common part.
यदि केवल (A=11), केवल (B=13), केवल (C=9), केवल \(A\cap B=5\), केवल \(B\cap C=4\), केवल \(C\cap A=6\) और \(A\cap B\cap C=3\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सभी सात अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (11+13+9+5+4+6+3=51)। अलग-अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (11+13+9+5+4+6+3=51). Add each separate region only once.
\(A\cap B^c\) का अर्थ (A) में और (B) के बाहर है, इसलिए यह (A-B) है। पूरक चिन्ह देखकर बाहर वाले भाग को पहचानें। / \(A\cap B^c\) means inside (A) and outside (B), so it is (A-B). Notice the complement sign to identify the outside part.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (46+38-16=68) मिलता है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (46+38-16=68). Avoid counting the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=42+36-14=64), इसलिए बाहर (85-64=21) होगा। बाहर का भाग हमेशा (U) से संघ घटाकर मिलता है। / First (n\(A\cup B\)=42+36-14=64), so outside is (85-64=21). The outside region is always found by subtracting the union from (U).
(n\(A\cap B\)=52+47-79=20) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद के लिए दोनों समुच्चयों का योग घटाएं। / (n\(A\cap B\)=52+47-79=20). When the union is given, subtract it from the sum of both sets.
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=74-28-19=27)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=74-28-19=27). In a Venn diagram, subtracting separate regions is easy.
पहले (n\(A\cup B\)=61+54-25=90), इसलिए बाहर (120-90=30) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=61+54-25=90), so outside is (120-90=30). The outside region is the complement of the union.
केवल (A=38-16-13+5=14) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए उसे एक बार वापस जोड़ें। / Only (A=38-16-13+5=14). The central part is subtracted twice, so add it back once.
केवल (B) के लिए (57-23=34) होगा। वेन आरेख में मध्य भाग पहले लिखना आसान रहता है। / For only (B), (57-23=34). In a Venn diagram, writing the middle part first is helpful.
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+14+21+7=60)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+14+21+7=60). Do not miss any region.
अंदर का संघ (24+13+26=63) है, इसलिए बाहर (88-63=25) है। बाहरी क्षेत्र हमेशा (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (24+13+26=63), so outside is (88-63=25). The outside region is always found by subtracting the inside part from (U).
क्योंकि (A) पूरा (B) के अंदर है, इसलिए (n(B-A)=73-28=45)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर बनता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=73-28=45). In subset cases, the smaller circle lies inside the larger circle.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (33+41=74)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य है। / Disjoint sets have common part (0), so (33+41=74). When \(A\cap B=\varnothing\), the subtracted part is zero.
ठीक एक समुच्चय (86-31=55) है। संघ में साझा भाग शामिल होता है, इसलिए उसे हटाएं। / Exactly one set is (86-31=55). The union includes the common part, so remove it.
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (29+17=46)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (29+17=46). The common part is not included.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (105-37=68)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (105-37=68). Here the complement of only the common part is asked.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
दोनों समुच्चयों में समान तत्व (b,d,h) हैं। प्रतिच्छेद में केवल सामान्य तत्व आते हैं। / The common elements in both sets are (b,d,h). Intersection contains only common elements.
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (6,8,12) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (6,8,12) are common, so they are removed.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए उत्तर ({q,s,u}) है। / \(A^c\) contains elements of (U) that are not in (A). Hence the answer is ({q,s,u}).
तीन समुच्चयों का संघ (35+32+29-12-10-9+4=69) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (35+32+29-12-10-9+4=69). Adding back the final common part is necessary.
ठीक दो (=(18-6)+(16-6)+(14-6)=30) है। हर जोड़ी से तीनों का साझा भाग घटाएं। / Exactly two (=(18-6)+(16-6)+(14-6)=30). Subtract the common part of all three from each pair.
केवल (A=50-21-19+8=18) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए एक बार जोड़ा जाता है। / Only (A=50-21-19+8=18). The central part is subtracted twice, so it is added once.
केवल (A) और (B) के लिए (24-9=15) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (24-9=15). A pairwise intersection includes the common part of all three.
किसी में नहीं (110-92=18) है। बाहर का क्षेत्र (U) से संघ घटाकर मिलता है। / None is (110-92=18). The outside region is found by subtracting the union from (U).
C. (A-B) और (B-A) का संयुक्त भाग/Combined part of (A-B) and (B-A)
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे तत्व आते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. Therefore the common part is not included.
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (64-27=37)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (64-27=37). The common part is not included.
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (58+49-22=85)। दोनों सीखने वालों को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (58+49-22=85). Count those who learn both only once.
कम से कम एक (34+31-13=52) है, इसलिए कोई नहीं (72-52=20)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (34+31-13=52), so neither is (72-52=20). Finding the union first is the easy method.
क्योंकि (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), अतिरिक्त जानकारी से प्रतिच्छेद (0) नहीं निकलता बल्कि निर्धारित नहीं होता। दिए गए विकल्पों में यह प्रश्न जाल है और सही निष्कर्ष यह है कि (n\(A\cap B\)) निर्धारित नहीं किया जा सकता। / Since (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), the intersection is not found from this data. This is a trap question, and the correct conclusion should be that (n\(A\cap B\)) cannot be determined.
जब (A) पूरा (B) में होता है, तब संघ (B) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानने से उत्तर जल्दी मिलता है। / When (A) is completely inside (B), the union is (B). Recognizing a subset helps answer quickly.
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता। इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) होता है। / Disjoint sets have no common element. Therefore \(A\cap B=\varnothing\).
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (36+42=78)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (36+42=78). The common part is zero.
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (70-26-19=25)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को जोड़ना या घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (70-26-19=25). In Venn diagrams, adding or subtracting separate regions is easy.
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
यदि केवल (A=14), केवल (B=18), केवल (C=16), केवल \(A\cap B=7\), केवल \(B\cap C=6\), केवल \(C\cap A=5\) और \(A\cap B\cap C=4\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (14+18+16+7+6+5+4=70)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (14+18+16+7+6+5+4=70). Add each region only once.
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (20+8+6+5=39)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (20+8+6+5=39). The total of a set is the sum of all its inside regions.
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (17+9+11+6=43) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (17+9+11+6=43). Total (B) includes all regions inside (B).
(n(U)=140), (n(A)=60), (n(B)=55), (n(C)=50), (n\(A\cap B\)=24), (n\(B\cap C\)=21), (n\(C\cap A\)=19) और (n\(A\cap B\cap C\)=8) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (60+55+50-24-21-19+8=109) है, इसलिए बाहर (140-109=31)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (60+55+50-24-21-19+8=109), so outside is (140-109=31). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
सूत्र में (82=40+36+34-12-10-9+x) होगा, इसलिए (x=3)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (82=40+36+34-12-10-9+x), so (x=3). Find the unknown central part by forming an equation.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=95-48=47)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=95-48=47). In complement questions, always check the universal set.
(A-B) और \(A\cap B\) मिलकर पूरा (A) बनाते हैं। यह क्षेत्रीय विभाजन का अच्छा उदाहरण है। / (A-B) and \(A\cap B\) together form the whole of (A). This is a good example of region partitioning.
संघ से (A) हटाने पर केवल (B) का वह भाग बचता है जो (A) में नहीं है। इसलिए उत्तर (B-A) है। / Removing (A) from the union leaves the part of (B) that is not in (A). Hence the answer is (B-A).
साझा भाग (58-22-20=16) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (58-22-20=16). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
प्रतिच्छेद शून्य है, इसलिए (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B))। अतः (n(B)=76-31=45)। / The intersection is zero, so (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)). Hence (n(B)=76-31=45).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (57+49-21=85) मिलता है। साझा भाग को दो बार न गिनें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (57+49-21=85). Do not count the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=150-32=118), फिर (n\(A\cap B\)=70+62-118=14)। बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=150-32=118), then (n\(A\cap B\)=70+62-118=14). If the outside part is given, find the union first.
(n\(A\cap B\)=68+53-91=30) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद निकालने के लिए योग में से संघ घटाएं। / (n\(A\cap B\)=68+53-91=30). When the union is given, subtract it from the sum to get the intersection.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए (24+31+16=71)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of three separate parts, so (24+31+16=71). In a Venn diagram, add each separate region only once.
पहले (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), इसलिए बाहर (140-108=32) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), so outside is (140-108=32). The outside region is the complement of the union.
पहले (n\(A\cap B\)=58-29=29), फिर (n(B-A)=96-29-29=38)। कुल (A) से केवल (A) घटाकर साझा भाग निकालें। / First (n\(A\cap B\)=58-29=29), then (n(B-A)=96-29-29=38). Subtract only (A) from total (A) to get the common part.
तीन समुच्चयों में केवल (A=19), केवल (B=23), केवल (C=17), केवल \(A\cap B=8\), केवल \(B\cap C=10\), केवल \(C\cap A=6\) और \(A\cap B\cap C=5\) हैं। (n\(B\cup C\)) कितना होगा?
\(B\cup C\) में (B) या (C) के अंदर आने वाले भाग जुड़ेंगे, (23+17+8+10+6+5=69)। ध्यान दें कि केवल (A) इसमें नहीं आएगा। / \(B\cup C\) includes parts inside (B) or (C), (23+17+8+10+6+5=69). Notice that only (A) is not included.
केवल (B) के लिए (66-31=35) होगा। वेन आरेख में मध्य भाग पहले लिखना आसान रहता है। / For only (B), (66-31=35). In a Venn diagram, writing the middle part first is helpful.
सूत्र में (91=46+40+37-14-12-11+x) होगा, इसलिए (x=5)। तीन समुच्चयों में केंद्रीय भाग अंत में जोड़ा जाता है। / In the formula (91=46+40+37-14-12-11+x), so (x=5). In three sets, the central part is added at the end.
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (26+18+33+12=89)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (26+18+33+12=89). Do not miss any region.
अंदर का संघ (29+17+22=68) है, इसलिए बाहर (96-68=28) है। बाहरी क्षेत्र (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (29+17+22=68), so outside is (96-68=28). The outside region is found by subtracting the inside part from (U).
(B) पूरा (C) के अंदर है, इसलिए (n(C-B)=95-61=34)। nested वेन आरेख में बड़े से अंदर वाले भाग को घटाएं। / (B) lies completely inside (C), so (n(C-B)=95-61=34). In a nested Venn diagram, subtract the inner part from the larger set.
क्योंकि (A) पूरा (B) में है, इसलिए (n(B-A)=82-34=48)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=82-34=48). In a subset case, the smaller circle lies inside the larger one.
केवल एक (=(80-29)+(64-29)=86) है। सीधे (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) भी लगा सकते हैं। / Exactly one (=(80-29)+(64-29)=86). You can also use (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) directly.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (45+37=82)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (45+37=82). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
क्योंकि (52+47=99), जो (100) से अधिक नहीं है, इसलिए प्रतिच्छेद (0) भी हो सकता है। न्यूनतम के लिए देखें कि दोनों कुल (U) से अधिक हो रहे हैं या नहीं। / Since (52+47=99), which is not greater than (100), the intersection can be (0). For the minimum, check whether the two totals exceed (U).
ठीक एक समुच्चय (98-42=56) है। संघ में साझा भाग शामिल होता है, इसलिए उसे हटाएं। / Exactly one set is (98-42=56). The union includes the common part, so remove it.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13) है। जब कुल (U) से अधिक हो जाए तो अतिरिक्त भाग अनिवार्य साझा होता है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13). When the total exceeds (U), the extra part must be common.
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (38+27=65)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (38+27=65). The common part is not included.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (130-46=84)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (130-46=84). Here the complement of only the common part is asked.
दोनों समुच्चयों में समान तत्व (4,6,12) हैं। प्रतिच्छेद में केवल सामान्य तत्व आते हैं। / The common elements in both sets are (4,6,12). Intersection contains only common elements.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (10,20,30) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (10,20,30) are common, so they are removed.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए उत्तर ({n,p,r,t}) है। / \(A^c\) contains elements of (U) that are not in (A). Hence the answer is ({n,p,r,t}).
तीन समुच्चयों का संघ (42+39+35-15-13-11+5=87) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (42+39+35-15-13-11+5=87). Adding back the final common part is necessary.
ठीक दो (=(21-7)+(19-7)+(16-7)=35) है। हर जोड़ी से तीनों का साझा भाग घटाएं। / Exactly two (=(21-7)+(19-7)+(16-7)=35). Subtract the common part of all three from each pair.
केवल (A=63-26-24+9=22) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए एक बार जोड़ा जाता है। / Only (A=63-26-24+9=22). The central part is subtracted twice, so it is added once.
केवल (A) और (B) के लिए (29-12=17) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (29-12=17). A pairwise intersection includes the common part of all three.
किसी में नहीं (160-127=33) है। बाहर का क्षेत्र (U) से संघ घटाकर मिलता है। / None is (160-127=33). The outside region is found by subtracting the union from (U).
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (78-34=44)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (78-34=44). The common part is not included.
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (63+58-26=95)। दोनों सीखने वालों को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (63+58-26=95). Count those who learn both only once.
कम से कम एक (43+39-18=64) है, इसलिए कोई नहीं (90-64=26)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (43+39-18=64), so neither is (90-64=26). Finding the union first is the easy method.
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (49+52=101)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (49+52=101). The common part is zero.
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (88-31-29=28)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (88-31-29=28). In Venn diagrams, subtracting separate regions is easy.
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
यदि केवल (A=18), केवल (B=22), केवल (C=19), केवल \(A\cap B=9\), केवल \(B\cap C=8\), केवल \(C\cap A=7\) और \(A\cap B\cap C=6\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (18+22+19+9+8+7+6=89)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (18+22+19+9+8+7+6=89). Add each region only once.
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (27+10+12+8=57)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (27+10+12+8=57). The total of a set is the sum of all its inside regions.
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (24+11+13+9=57) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (24+11+13+9=57). Total (B) includes all regions inside (B).
(n(U)=180), (n(A)=76), (n(B)=69), (n(C)=62), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=27), (n\(C\cap A\)=24) और (n\(A\cap B\cap C\)=10) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (76+69+62-30-27-24+10=136) है, इसलिए बाहर (180-136=44)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (76+69+62-30-27-24+10=136), so outside is (180-136=44). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
सूत्र में (99=48+43+41-17-14-13+x) होगा, इसलिए (x=11)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (99=48+43+41-17-14-13+x), so (x=11). Find the unknown central part by forming an equation.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=132-58=74)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=132-58=74). In complement questions, always check the universal set.
साझा भाग (73-28-32=13) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (73-28-32=13). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
प्रतिच्छेद शून्य है, इसलिए (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B))। अतः (n(B)=92-40=52)। / The intersection is zero, so (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)). Hence (n(B)=92-40=52).
