Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सम संख्याएँ वे होती हैं जो 2 से पूर्णतया विभाज्य हों। दिए गए सेट \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में ऐसे अवयव 2, 4 और 6 हैं, अतः \(B=\{2,4,6\}\) और \(B\subset A\)। विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 6 गायब है; विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें विषम संख्याएँ भी शामिल हैं। परीक्षा टिप: किसी संख्या की समता जल्दी देखने के लिए उसे 2 से भाग दें — बाकी 0 होना चाहिए। / Even elements are those divisible by 2. For \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) the even elements are 2, 4 and 6, so \(B=\{2,4,6\}\) and \(B\subset A\). Option C is incorrect because it omits 6; option D is incorrect because it includes odd numbers. Exam tip: quickly test evenness by checking divisibility by 2 (remainder 0).
D. न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर D है क्योंकि \(A=\{a,b,c\}\) में तत्व \(a\) है जबकि वह \(B\) में नहीं है (\(a\notin B\))—इसलिए \(A\subseteq B\) गलत है। उसी तरह \(B=\{b,c,d\}\) में तत्व \(d\) है पर \(A\) में नहीं है (\(d\notin A\))—इसलिए \(B\subseteq A\) भी गलत है। विकल्प B और C इसलिए गलत हैं क्योंकि वे एक सेट के दूसरे में पूर्ण समावेशन का दावा करते हैं, जिसे एक भी बाहरी तत्व न होने से झुठला दिया जा सकता है। परीक्षा-सुझाव: उपसमुच्चय सत्यापित करने के लिए हर तत्व की सदस्यता जाँचें; एक भी विरोधाभासी तत्व पर्याप्त है। / Answer D is correct because \(A=\{a,b,c\}\) contains element \(a\) which is not in \(B\) (\(a\notin B\)), so \(A\subseteq B\) is false. Similarly, \(B=\{b,c,d\}\) contains \(d\) which is not in \(A\) (\(d\notin A\)), so \(B\subseteq A\) is false. Options B and C are incorrect because each asserts one set is entirely contained in the other, which fails due to the missing element \(a\) or \(d\). Exam tip: To check subset relations, verify every element; a single counterexample disproves the subset claim.
हर अवयव अपने ही समुच्चय में होता है, इसलिए \(A\subseteq A\) सत्य है। इसे reflexive property की तरह याद रखें। / Every element of a set is in the same set, so \(A\subseteq A\) is true. Remember it like a reflexive property.
\(A\subset B\) उचित उपसमुच्चय को दर्शाता है, इसलिए बराबरी संभव नहीं। प्रतीक \(\subset\) और \(\subseteq\) में अंतर रखें। / \(A\subset B\) denotes a proper subset, so equality is not possible. Distinguish \(\subset\) from \(\subseteq\).
कुल 16 उपसमुच्चय हैं और जिनमें न 1 है न 2, वे ({3,4}) के \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are 16 total subsets, and those containing neither 1 nor 2 are the \(2^2=4\) subsets of ({3,4}). Hence (16-4=12).
1 निश्चित है और 2 नहीं लेना है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / 1 is fixed and 2 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Thus \(2^3=8\) subsets.
चार से कम धनात्मक अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में गुण बताने वाली भाषा को रोस्टर रूप में बदलें। / The positive primes less than four are only (2) and (3) so the sets are equal. In exams convert descriptive form into roster form.
यहां ({3}) एक तत्व है जबकि (3) अलग तत्व है इसलिए समुच्चय बराबर नहीं हैं। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें। / Here ({3}) is one element while (3) is a different element so the sets are not equal. In exams distinguish an element from a subset.
({}) वही रिक्त समुच्चय है इसलिए (A) और (B) दोनों में एक ही तत्व है। परीक्षा में \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) को अलग पहचानें। / The symbol ({}) is the empty set so both (A) and (B) contain the same single element. In exams identify \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) separately.
समीकरण के मूल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं। परीक्षा में पहले समीकरण हल करें फिर तुलना करें। / The roots of the equation are (2) and (3) so both sets have the same elements. In exams solve the equation first and then compare the sets.
