Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
असमानता \\(4x+6>22\\) में दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \\(4x>16\\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर \\(x>4\\) मिलता है; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \\(x=4\\) रखने पर \\(4x+6=22\\) होता है, जबकि असमानता में 22 से बड़ा होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता, लेकिन ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलट जाता है। / Starting with \\(4x+6>22\\), subtracting 6 from both sides gives \\(4x>16\\). Dividing by the positive number 4 gives \\(x>4\\), so option A is correct. Option C is incorrect because including \\(x=4\\) would make the left side equal to 22, not greater than 22. Exam tip: dividing or multiplying an inequality by a negative number reverses its sign; a positive number does not.
दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(5x\leq 20\) मिलता है। अब 5 से भाग देने पर, क्योंकि 5 धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलती और \(x\leq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=4\) भी हल में शामिल है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; धनात्मक संख्या के लिए ऐसा नहीं होता। / Adding 3 to both sides gives \(5x\leq 20\). Dividing by the positive number 5 does not reverse the inequality, so \(x\leq 4\). Thus, the boundary value \(x=4\) is included. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
दोनों पक्षों को −6 से भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए 18 को −6 से भाग देने पर x<−3 प्राप्त होता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की गलती है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by −6 reverses the inequality sign. Since 18÷(−6)=−3, the result is x<−3, so option A is correct. Option B results from forgetting to reverse the sign. In an exam, always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से समान संख्या घटाने पर दिशा नहीं बदलती। ऋणात्मक गुणा और वर्ग के मामलों में विशेष सावधानी चाहिए। / Subtracting the same number from both sides does not change the direction. Negative multiplication and squares need extra care.
([-4,3)) में (-4) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। कोष्ठक देखकर सही असमानता लिखें। / In ([-4,3)), (-4) is included and (3) is not included. Write the inequality by checking the brackets.
\(x\geq -7\) मिलता है इसलिए अंतराल \([-7,\infty\)) होगा। बराबरी होने पर बायां सिरा बंद रहेगा। / We get \(x\geq -7\), so the interval is \([-7,\infty\)). With equality, the left endpoint is closed.
\(-4x\leq -12\) और (-4) से भाग देने पर \(x\geq 3\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह पलटना न भूलें। / \(-4x\leq -12\), and dividing by (-4) gives \(x\geq 3\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
असमानता \(3x-2<13\) को हल करने पर \(3x<15\), अतः \(x<5\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=5\) हल नहीं है, क्योंकि रखने पर \(3(5)-2=13\) मिलता है और \(13<13\) असत्य है। इसके विपरीत \(x=4\) रखने पर \(10<13\) सत्य है। परीक्षा-टिप: '<' या '>' जैसी कठोर असमानताओं में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Solving \(3x-2<13\) gives \(3x<15\), hence \(x<5\). Therefore, \(x=5\) is not a solution because substitution gives \(3(5)-2=13\), and \(13<13\) is false. In contrast, \(x=4\) satisfies the inequality since \(10<13\). Exam tip: In strict inequalities such as '<' or '>', the boundary value is not included.
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय \(\mathbb{W}=\{0,1,2,3,\ldots\}\) होता है। इसलिए \(x\leq 4\) को संतुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,3,4\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है, जबकि \(0\) पूर्ण संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पहले चर का समुच्चय पहचानें; यहाँ हल वास्तविक संख्याओं का अंतराल नहीं, बल्कि पूर्ण संख्याओं का सीमित समुच्चय है। / The whole-number set is \(\mathbb{W}=\{0,1,2,3,\ldots\}\). Hence the whole numbers satisfying \(x\leq 4\) are \(0,1,2,3,4\). Option B is incorrect because it excludes \(0\), which is a whole number. Exam tip: identify the domain of the variable first; here the solution is a finite set of whole numbers, not an interval of real numbers.
दोनों पक्षों में 11 जोड़ने पर \(8x\geq 5x+21\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(3x\geq 21\), अतः 3 से भाग देने पर \(x\geq 7\) प्राप्त होता है। चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता; अतः \(x\leq 7\) सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Adding 11 to both sides gives \(8x\geq 5x+21\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(3x\geq 21\), and dividing by the positive number 3 yields \(x\geq 7\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive, so \(x\leq 7\) is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(\frac{x}{4}>3\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(x>12\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=12\) रखने पर असमानता में बराबरी आती है, जबकि यहाँ सख्त चिन्ह \(>\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Adding 1 to both sides gives \(\frac{x}{4}>3\). Multiplying both sides by the positive number 4 yields \(x>12\), so option A is correct. Option C is incorrect because \(x=12\) gives equality, whereas the inequality requires a strict greater-than sign. Exam tip: Multiplication or division by a positive number does not reverse the inequality sign.
असमानता \(\frac{x+3}{2}>6\) में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(x+3>12\), अर्थात् \(x>9\) प्राप्त होता है। 9 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 10 है, इसलिए सही उत्तर 10 है। ध्यान रखें कि ‘>’ में 9 शामिल नहीं होता; यदि चिह्न ‘\(\geq\)’ होता, तो 9 भी मान्य होता। / Multiplying \(\frac{x+3}{2}>6\) by 2 gives \(x+3>12\), so \(x>9\). The smallest integer greater than 9 is 10. Therefore, the correct answer is 10. Remember that the strict sign ‘>’ excludes 9; with ‘\(\geq\)’, 9 would also be included.
\((-\infty,2]\) का अर्थ है कि 2 से छोटी या उसके बराबर प्रत्येक वास्तविक संख्या हल है। कोष्ठक ] यह दर्शाता है कि 2 भी शामिल है, इसलिए सही असमिकता \(x\leq 2\) है। विकल्प B में 2 शामिल नहीं होता, क्योंकि \(x<2\) में केवल 2 से छोटी संख्याएँ आती हैं। परीक्षा-टिप: बंद कोष्ठक ] को \(\leq\) और खुली कोष्ठक ) को \(<\) से जोड़कर याद रखें। / The interval \((-\infty,2]\) contains every real number less than or equal to 2. The square bracket ] shows that 2 is included, so the correct inequality is \(x\leq 2\). Option B, \(x<2\), excludes 2 and is therefore not equivalent. Exam tip: a square bracket indicates inclusion, while a parenthesis indicates exclusion.
सभी भागों में (1) जोड़ने पर \(3\leq 3x<15\), इसलिए \(1\leq x<5\)। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Adding (1) to all parts gives \(3\leq 3x<15\), so \(1\leq x<5\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
सभी भागों से (4) घटाकर (2) से भाग देने पर \(-6<x\leq 4\) मिलता है। खुली और बंद सीमा अलग पहचानें। / Subtracting (4) from all parts and dividing by (2) gives \(-6<x\leq 4\). Identify open and closed boundaries separately.
असमता \(x>-5\) में \(-5\) शामिल नहीं है, इसलिए -5 पर खुला कोष्ठक लगेगा। इसके बाद सभी बड़ी संख्याएँ दाईं ओर आती हैं, इसलिए अंतराल \((-5,\infty)\) है। विकल्प B में \(-5\) शामिल है, इसलिए वह \(x\geq -5\) को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: > और < के लिए खुला कोष्ठक, जबकि ≥ और ≤ के लिए बंद कोष्ठक प्रयोग करें। / In the inequality \(x>-5\), \(-5\) is not included, so an open bracket is used at \(-5\). All greater values lie to its right, giving the interval \((-5,\infty)\). Option B includes \(-5\), so it represents \(x\geq -5\). Exam tip: use open brackets for > or < and closed brackets for ≥ or ≤.
\(6x+5<4x+19\) में दोनों पक्षों से \(4x\) और \(5\) घटाने पर \(2x<14\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। \(x>7\) चुनना असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदलने की गलती है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी हल को मूल असमानता में रखकर जाँच लें। / Subtracting \(4x\) and \(5\) from the respective sides of \(6x+5<4x+19\) gives \(2x<14\). Dividing both sides by the positive number \(2\) yields \(x<7\), so option A is correct. The inequality sign does not reverse because the divisor is positive; reversal is required only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: Verify the result by testing a value such as \(x=0\) in the original inequality.
किसी भी वास्तविक संख्या \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(x^2+1\geq 1\), अतः \(x^2+1>0\) सदैव सत्य है। विकल्प B, C और D सभी कुछ विशेष मानों पर असत्य हो सकते हैं; जैसे \(x=0\) रखने पर B और D असत्य हो जाते हैं, जबकि C कभी सत्य नहीं होता। परीक्षा में याद रखें कि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। / For every real number \(x\), we have \(x^2\geq 0\). Therefore, \(x^2+1\geq 1\), which proves that \(x^2+1>0\) is always true. Options B, C and D can be false for particular values; for example, at \(x=0\), B and D are false, while C is never true for a real number. Exam tip: the square of a real number is never negative.
\(\geq\) का अर्थ ‘बड़ा या बराबर’ होता है। इसमें किसी संख्या के उससे बड़ी होने के साथ-साथ उसके बराबर होने की स्थिति भी शामिल होती है, इसलिए यह सीमा मान को स्वीकार करता है। \(>\) केवल ‘बड़ा’ दर्शाता है और बराबरी को शामिल नहीं करता। परीक्षा में geq को ‘greater than or equal to’ के रूप में याद रखें। / \(\geq\) means ‘greater than or equal to’. It includes both values greater than a number and the number itself, so the boundary value is included. In contrast, \(>\) means only ‘greater than’ and excludes equality. For exams, remember \(\geq\) as ‘greater than or equal to’.
दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(4x-4\leq 20\) मिलता है। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(4x\leq 24\), अतः \(x\leq 6\)। इसलिए सभी पूर्णांक \(6\) या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 6 है। परीक्षा-युक्ति: असमानता हल करने के बाद पूर्णांक हलों की सीमा में सबसे बड़ा मान चुनें। / Subtracting \(5x\) from both sides gives \(4x-4\leq 20\). Adding 4 and dividing by 4 yields \(x\leq 6\). Thus every integer less than or equal to 6 is a solution, and the greatest integer solution is 6. Exam tip: after solving an inequality, identify the largest integer included in the solution set.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से विभाजित करने पर \(x+1>7\) मिलता है। अब दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x>6\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 7 को घटाने की गलती हुई है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Dividing both sides by the positive number 4 gives \(x+1>7\). Subtracting 1 from both sides yields \(x>6\), so option A is correct. Option C results from incorrectly treating 7 as the value of \(x\). Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(6x-15\geq x+10\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(5x-15\geq 10\), अर्थात \(5x\geq 25\), इसलिए \(x\geq 5\)। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the bracket gives \(6x-15\geq x+10\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(5x-15\geq 10\), or \(5x\geq 25\), so \(x\geq 5\). Remember that dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
किसी असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। इसलिए \(p<q\) को \(-3\) से गुणा करने पर \(-3p>-3q\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह नहीं बदला गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य पलटता है। / When both sides of an inequality are multiplied by a negative number, the inequality sign reverses. Thus, multiplying \(p<q\) by \(-3\) gives \(-3p>-3q\). Option B is incorrect because it leaves the sign unchanged. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमीकरण में \(-3 \le x\) होने के कारण \(-3\) शामिल है, जबकि \(x<2\) होने के कारण 2 शामिल नहीं है। 3 और \(-4\) क्रमशः ऊपरी और निचली सीमा से बाहर हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) या \(\ge\) सीमा मान को शामिल करते हैं, जबकि \(<\) या \(>\) सीमा मान को शामिल नहीं करते। / Because the inequality includes \(-3 \le x\), the value \(-3\) is allowed. The value 2 is not allowed because the condition is strictly \(x<2\). The values 3 and \(-4\) lie outside the given interval. Exam tip: \(\le\) and \(\ge\) include the endpoint, whereas \(<\) and \(>\) exclude it.
(-5x<-15) और (-5) से भाग देने पर (x>3) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह अवश्य बदलता है। / (-5x<-15), and dividing by (-5) gives (x>3). The sign must change when dividing by a negative.
\(x\leq -4\) में (-4) शामिल है और सभी छोटे मान शामिल हैं। इसलिए (\(-\infty,-4]\) सही है। / In \(x\leq -4\), (-4) is included and all smaller values are included. Hence (\(-\infty,-4]\) is correct.
\(4x-1>15\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(4x>16\) और 4 से भाग देने पर \(x>4\) मिलता है। 4 स्वयं हल नहीं है, क्योंकि असमानता सख्त है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) या \(<\) वाली सख्त असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 1 to both sides gives \(4x>16\), and dividing by 4 gives \(x>4\). Since the inequality is strict, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: In a strict inequality such as \(>\) or \(<\), the boundary value is excluded.
से बड़ा का अर्थ (>) होता है। वाक्य आधारित प्रश्न में सही असमानता चिह्न पहचानना पहला कदम है। / Greater than means (>). In a word-based question, identifying the correct inequality sign is the first step.
A. (1) पर बंद वृत्त और बाईं ओर छाया/Closed circle at (1) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 1\) में (1) शामिल है और छोटे मान चाहिए। इसलिए बंद वृत्त और बाईं ओर छाया सही है। / In \(x\leq 1\), (1) is included and smaller values are needed. So a closed circle and left-side shading are correct.
दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(9 \geq 3x\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से विभाजित करने पर \(3 \geq x\), अर्थात् \(x \leq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि यहाँ 3 से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting 3 from both sides gives \(9 \geq 3x\). Dividing both sides by the positive number 3 gives \(3 \geq x\), which is equivalent to \(x \leq 3\). Option B incorrectly reverses the inequality sign; division by a positive number does not change its direction. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
धनात्मक (4) से गुणा करने पर \(3x-2\geq 16\), इसलिए \(x\geq 6\)। धनात्मक हर से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (4) gives \(3x-2\geq 16\), so \(x\geq 6\). A positive denominator does not reverse the sign.
(-2) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक और (5) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक लगेगा। दोनों सीमाओं को अलग जांचें। / (-2) is not included, so use a round bracket, and (5) is included, so use a square bracket. Check both boundaries separately.
दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(10<2x\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \(5<x\), अर्थात \(x>5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 4 from both sides gives \(10<2x\). Dividing both sides by the positive number 2 gives \(5<x\), which is equivalent to \(x>5\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality does not include equality. Exam tip: The inequality sign remains unchanged when both sides are multiplied or divided by a positive number.
असमानता \(x-2<5\) में दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \(x<7\) मिलता है। साथ ही \(x\geq 2\) और \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(x\) के मान 2 से 6 तक होंगे: \(\{2,3,4,5,6\}\)। विकल्प B में 7 शामिल है, लेकिन \(x<7\) के कारण 7 मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) या \(>\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 2 to both sides of \(x-2<5\) gives \(x<7\). Since \(x\geq 2\) and \(x\) is an integer, the possible values are the integers from 2 through 6: \(\{2,3,4,5,6\}\). Option B is incorrect because 7 is not allowed by the strict inequality \(x<7\). Exam tip: a strict inequality, such as \(<\) or \(>\), excludes its boundary value.
A. (-2) हल में शामिल नहीं है/(-2) is not included in the solution
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमानता (<) सीमा मान को शामिल नहीं करती। संख्या रेखा पर (-2) पर खुला वृत्त बनेगा। / The strict inequality (<) does not include the boundary value. On the number line, an open circle is drawn at (-2).
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(3x+1>16\) मिलता है। फिर 1 घटाने पर \(3x>15\), और 3 से भाग देने पर \(x>5\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल असमानता में ‘>’ है, इसलिए \(x=5\) शामिल नहीं है; अतः \(x\geq5\) गलत है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, लेकिन यहाँ 3 धनात्मक है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(3x+1>16\). Subtracting 1 and then dividing by the positive number 3 gives \(x>5\). Since the original inequality is strict, \(x=5\) is not included; therefore, \(x\geq5\) is incorrect. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 3 is positive.
धनात्मक (x) को ऋणात्मक (-2) से गुणा करने पर परिणाम ऋणात्मक होता है। इसलिए (-2x<0) सही है। / Multiplying positive (x) by negative (-2) gives a negative result. Therefore (-2x<0) is correct.
सीमा मान बराबरी लगाकर मिलता है: (3x+7=x+19), इसलिए (x=6)। सीमा मान से अंतिम अंतराल तय होता है। / The boundary value is found by using equality: (3x+7=x+19), so (x=6). The boundary value decides the final interval.
विकल्प A में दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\) प्राप्त होता है। विकल्प C से \(x\leq -1\) मिलता है, इसलिए वह विपरीत दिशा का हल है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता में धनात्मक संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / In option A, subtracting 1 from both sides gives \(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\). Option C gives \(x\leq -1\), which has the opposite direction. Exam tip: adding or subtracting a positive number does not reverse the inequality sign.
असमानता \\(7x\geq -21\\) में दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 7 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। इसलिए \\(x\geq -3\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलट दिया गया है, जो केवल ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर होता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / In \\(7x\geq -21\\), dividing both sides by the positive number 7 does not reverse the inequality sign. Thus, \\(x\geq -3\\). Option B is incorrect because the sign would reverse only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को \(-7\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग देने के कारण असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(x\geq \frac{28}{-7}=-4\)। अतः सही उत्तर \(x\geq -4\) है। विकल्प B में चिह्न उलटने की इस आवश्यकता को नहीं माना गया है। परीक्षा-टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न अवश्य उलटें। / Dividing both sides by \(-7\) reverses the inequality sign because the divisor is negative: \(x\geq \frac{28}{-7}=-4\). Hence, \(x\geq -4\) is correct. Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
असमानता \(x\leq 8\) में 8 शामिल है, इसलिए 8 के बाद बंद कोष्ठक \(]\) लगाया जाता है। 8 से छोटे सभी वास्तविक मान \(-\infty\) तक लिए जाते हैं, इसलिए अंतराल \((-�infty,8]\) है। विकल्प B में 8 शामिल नहीं है, क्योंकि वहाँ खुला कोष्ठक है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर संबंधित सीमा पर बंद कोष्ठक लगाएँ। / The inequality \(x\leq 8\) includes 8, so a closed bracket \(]\) is used at 8. All real numbers smaller than 8 are included, extending toward \(-\infty\); hence the interval is \((-�infty,8]\). Option B excludes 8 because it uses an open parenthesis. Exam tip: use a closed bracket at a boundary included by \(\leq\) or \(\geq\).
असमानता \(0<x\leq 4\) में \(x\), 0 से बड़ा और 4 से कम या उसके बराबर होना चाहिए। इसलिए \(x=4\) मान्य है, क्योंकि 4 ऊपरी सीमा में शामिल है। \(x=0\) मान्य नहीं है, क्योंकि 0 के साथ सख्त असमानता \(x>0\) है। परीक्षा में याद रखें: \(<\) और \(>\) में सीमा शामिल नहीं होती, जबकि \(\leq\) और \(\geq\) में सीमा शामिल होती है। / In the inequality \(0<x\leq 4\), \(x\) must be greater than 0 and less than or equal to 4. Thus, \(x=4\) is valid because the upper endpoint is included. \(x=0\) is invalid because the lower condition is the strict inequality \(x>0\). Exam tip: the signs \(<\) and \(>\) exclude the endpoint, whereas \(\leq\) and \(\geq\) include it.
\(-\frac{x}{3}\geq -4\) से ऋणात्मक गुणक हटाने पर \(x\leq 12\) मिलता है। चिन्ह बदलने की स्थिति पहचानें। / \(-\frac{x}{3}\geq -4\), and removing the negative factor gives \(x\leq 12\). Identify when the sign must be reversed.
संख्या में (8) जोड़ना (x+8) है और से कम का अर्थ (<) होता है। शब्द प्रश्नों में मुख्य क्रिया पहचानें। / Increasing a number by (8) is (x+8), and less than means (<). Identify the main operation in word problems.
A. \(x\geq 9\) में (9) शामिल है/\(x\geq 9\) includes (9)
Explanation
Simple Explanation
(>) सीमा को शामिल नहीं करता लेकिन \(\geq\) सीमा को शामिल करता है। इसी से खुला या बंद वृत्त तय होता है। / (>) does not include the boundary, but \(\geq\) includes it. This decides the open or closed circle.
सभी भागों से (2) घटाने पर \(3\leq x<9\) मिलता है। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Subtracting (2) from all parts gives \(3\leq x<9\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
एक कोचिंग योजना में प्रवेश शुल्क (150) रुपये और मासिक शुल्क (80m) रुपये है। यदि कुल खर्च (550) रुपये से अधिक नहीं होना चाहिए, तो (m) के लिए सही हल क्या है?
खर्च की असमानता \(150+80m\leq 550\) होगी, जिससे \(m\leq 5\) मिलता है। अधिक नहीं का अर्थ \(\leq\) याद रखें। / The cost inequality is \(150+80m\leq 550\), which gives \(m\leq 5\). Remember that not exceed means \(\leq\).
धनात्मक (3) से गुणा करने के बाद \(-6<5-x\leq 12\) मिलता है, फिर ऋणात्मक भाग के कारण दिशा बदलती है। सही हल \(-7\leq x<11\) है। / After multiplying by positive (3), we get \(-6<5-x\leq 12\), then the direction changes because of the negative part. The correct solution is \(-7\leq x<11\).
