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दिया है \(3x-7>11\)। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(3x>18\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर असमीका की दिशा नहीं बदलती, इसलिए \(x>6\)। \(x\geq6\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमीका में बराबरी का चिह्न नहीं है और \(x=6\) रखने पर \(11>11\) असत्य होता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता। / Given \(3x-7>11\), add 7 to both sides to get \(3x>18\). Dividing by the positive number 3 does not reverse the inequality, so \(x>6\). The option \(x\geq6\) is incorrect because equality is not included; substituting \(x=6\) gives \(11>11\), which is false. Exam tip: an inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
\(-2x\le 8\) और ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है इसलिए \(x\ge -4\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें। / \(-2x\le 8\) and dividing by a negative reverses the sign so \(x\ge -4\). Watch the sign reversal in exams.
दिया है \(\frac{x}{3}+4<7\)। दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(\frac{x}{3}<3\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता और \(x<9\) प्राप्त होता है। \(x\leq 9\) गलत है, क्योंकि मूल असमीका में चिह्न कठोर \(<\) है। परीक्षा टिप: किसी असमीका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Given \(\frac{x}{3}+4<7\), subtracting 4 from both sides gives \(\frac{x}{3}<3\). Multiplying both sides by the positive number 3 does not change the inequality sign, so \(x<9\). The option \(x\leq 9\) is incorrect because the original inequality is strict. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(2x-5\ge 12\) से \(2x\ge 17\), इसलिए \(x\ge \frac{17}{2}\)। परीक्षा में धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(2x-5\ge 12\), \(2x\ge 17\), so \(x\ge \frac{17}{2}\). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
सरलीकरण से \(4x-5\le 2x+9\), इसलिए \(2x\le 14\) और \(x\le 7\)। परीक्षा में कोष्ठक सही खोलें। / Simplifying gives \(4x-5\le 2x+9\), so \(2x\le 14\) and \(x\le 7\). Open brackets carefully in exams.
पहले कोष्ठक खोलने पर \(7-3x-3>2x-6\), अर्थात \(4-3x>2x-6\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(3x\) और \(6\) जोड़ने पर \(10>5x\) होगा। 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से भाग देने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलेगा और \(x<2\) प्राप्त होगा। \(x\leq2\) गलत है क्योंकि दी गई असमीका में चिह्न \(>\) है, बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमीका का चिह्न उलटता है। / On expanding the bracket, \(7-3x-3>2x-6\), so \(4-3x>2x-6\). Adding \(3x\) and \(6\) to both sides gives \(10>5x\). Since 5 is positive, dividing by 5 does not reverse the inequality sign, giving \(x<2\). The option \(x\leq2\) is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमीकरण में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(5<x-4\) मिलता है। अब दोनों पक्षों में \(4\) जोड़ने पर \(9<x\), अर्थात \(x>9\) प्राप्त होता है। \(x\geq 9\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमीकरण में चिह्न \(<\) है और \(x=9\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमीकरण में केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलटता है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(5<x-4\). Adding \(4\) to both sides gives \(9<x\), or \(x>9\). The option \(x\geq 9\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=9\), both sides are equal. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(6x-1\ge 4x+14\) से \(2x\ge 15\), इसलिए \(x\ge \frac{15}{2}\)। परीक्षा में दोनों पक्षों को पहले सरल करें। / \(6x-1\ge 4x+14\) gives \(2x\ge 15\), so \(x\ge \frac{15}{2}\). Simplify both sides first in exams.
(3(x-2)\le 5(x+4)) से \(3x-6\le 5x+20\), इसलिए \(x\ge -13\)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं। / (3(x-2)\le 5(x+4)) gives \(3x-6\le 5x+20\), hence \(x\ge -13\). Use the LCM to clear denominators.
(2(3x+1)>x-5) से (6x+2>x-5), इसलिए \(x>-\frac{7}{5}\)। परीक्षा में हर हटाते समय हर पक्ष पर सही गुणा करें। / (2(3x+1)>x-5) gives (6x+2>x-5), so \(x>-\frac{7}{5}\). Multiply both sides correctly while clearing denominators.
\(0.4x\le 2.4\), इसलिए \(x\le 6\)। परीक्षा में दशमलव को भिन्न में बदलना गणना आसान कर सकता है। / \(0.4x\le 2.4\), so \(x\le 6\). Converting decimals to fractions can simplify exam calculations.
(-0.3x<-0.9) और ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर (x>3)। परीक्षा में दशमलव के साथ भी चिन्ह पलटने का नियम वही रहता है। / (-0.3x<-0.9), and division by a negative gives (x>3). The sign reversal rule also applies with decimals.
\(-4x\ge 16\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\le -4\)। परीक्षा में अंतिम चरण में असमीका चिन्ह जांचें। / \(-4x\ge 16\), and dividing by a negative gives \(x\le -4\). Check the inequality sign in the final step.
(-5x<-10), इसलिए चिन्ह पलटकर (x>2) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग देने पर चिन्ह अवश्य पलटें। / (-5x<-10), so reversing the sign gives (x>2). Always reverse the sign when dividing by a negative.
\(6x-7\ge 4x+7\) से \(2x\ge 14\), इसलिए \(x\ge 7\)। परीक्षा में कोष्ठक और स्थिर पद दोनों ध्यान से सरल करें। / \(6x-7\ge 4x+7\) gives \(2x\ge 14\), so \(x\ge 7\). Simplify brackets and constants carefully.
\(7-8x\le 3x-4\) से \(11\le 11x\), इसलिए \(x\ge 1\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणा से कोष्ठक खोलते समय चिन्ह ध्यान रखें। / \(7-8x\le 3x-4\) gives \(11\le 11x\), hence \(x\ge 1\). Be careful with signs while expanding a negative multiple.
सभी पक्षों से (1) घटाने पर \(-4<2x\le 8\), इसलिए \(-2<x\le 4\)। परीक्षा में द्वि-असमीका में तीनों पक्षों पर समान क्रिया करें। / Subtracting (1) from all parts gives \(-4<2x\le 8\), so \(-2<x\le 4\). Apply the same operation to all three parts.
तीनों पक्षों में (2) जोड़ने पर \(6\le 3x<15\), इसलिए \(2\le x<5\)। परीक्षा में खुले और बंद सिरों को सही रखें। / Adding (2) to all parts gives \(6\le 3x<15\), so \(2\le x<5\). Keep open and closed endpoints correct.
हर (6) से गुणा करने पर (3(x+3)-2(x-1)<24), इसलिए (x<13)। परीक्षा में भिन्नों को हटाने के बाद कोष्ठक जरूर खोलें। / Multiplying by (6) gives (3(x+3)-2(x-1)<24), hence (x<13). After clearing fractions, expand brackets carefully.
हर (6) से गुणा करने पर (2(2x-1)+(x+5)\ge 12), इसलिए \(5x+3\ge 12\) और \(x\ge \frac{9}{5}\)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं। / Multiplying by (6) gives (2(2x-1)+(x+5)\ge 12), so \(5x+3\ge 12\) and \(x\ge \frac{9}{5}\). Use the LCM to clear denominators.
हर (4) से गुणा करने पर (5x+2\le 2(3x-1)+4), इसलिए \(x\ge 0\)। परीक्षा में पूरे दाएं पक्ष पर हर का गुणा करें। / Multiplying by (4) gives (5x+2\le 2(3x-1)+4), hence \(x\ge 0\). Multiply the entire right side while clearing denominators.
\(\frac{x}{4}>7\) मिलता है, इसलिए (x>28)। परीक्षा में चर पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ रखें। / We get \(\frac{x}{4}>7\), so (x>28). Keep variable terms on one side and constants on the other.
\(10-5x\ge 13+3x\) से \(-8x\ge 3\), इसलिए \(x\le -\frac{3}{8}\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / \(10-5x\ge 13+3x\) gives \(-8x\ge 3\), so \(x\le -\frac{3}{8}\). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
हर (12) से गुणा करने पर \(6x+6+4x+8\le 3x+9\), इसलिए \(x\le -\frac{5}{7}\)। परीक्षा में समान हर हटाकर रैखिक पद मिलाएं। / Multiplying by (12) gives \(6x+6+4x+8\le 3x+9\), so \(x\le -\frac{5}{7}\). Clear denominators and combine linear terms.
हर (10) से गुणा करने पर (8x-14>x+2), इसलिए \(x>\frac{16}{7}\)। परीक्षा में भिन्न हटाते समय पूरा अंश गुणा करें। / Multiplying by (10) gives (8x-14>x+2), hence \(x>\frac{16}{7}\). Multiply the complete numerator while clearing fractions.
हर (6) से गुणा करने पर \(4x-5\ge 3x+6\), इसलिए \(x\ge 11\)। परीक्षा में छोटे हरों का लघुत्तम समापवर्त्य जल्दी लिखें। / Multiplying by (6) gives \(4x-5\ge 3x+6\), so \(x\ge 11\). Quickly identify the LCM of small denominators.
हर (6) से गुणा करने पर \(14-4x\le x+1\), इसलिए \(x\ge \frac{13}{5}\)। परीक्षा में चर को दाईं तरफ ले जाना कभी-कभी आसान होता है। / Multiplying by (6) gives \(14-4x\le x+1\), hence \(x\ge \frac{13}{5}\). Moving the variable to the right can sometimes simplify the work.
दिया है \(1<\frac{x-2}{3}\le4\)। चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए तीनों भागों को 3 से गुणा करने पर असमीका-चिह्न नहीं बदलते: \(3<x-2\le12\)। अब तीनों भागों में 2 जोड़ने पर \(5<x\le14\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x=5\) शामिल है, जबकि मूल असमीका में बायाँ चिह्न \(<\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न वही रहते हैं; ऋणात्मक संख्या होने पर चिह्न उलटते हैं। / Given \(1<\frac{x-2}{3}\le4\), multiply all three parts by 3. Since 3 is positive, the inequality signs do not change: \(3<x-2\le12\). Adding 2 throughout gives \(5<x\le14\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly includes \(x=5\), although the left inequality in the original statement is strict. Exam tip: inequality signs reverse only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले (5) से गुणा करके \(-10\le 3x+1<20\) मिलता है, इसलिए \(-\frac{11}{3}\le x<\frac{19}{3}\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (5) gives \(-10\le 3x+1<20\), so \(-\frac{11}{3}\le x<\frac{19}{3}\). A positive multiplier does not change the signs.
\(-3x\le -9\) से \(x\ge 3\), इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (3) है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग देने के बाद सीमा जांचें। / \(-3x\le -9\) gives \(x\ge 3\), so the least integer is (3). Check the boundary after division by a negative.
पूर्णांक (-1,0,1,2,3,4) हैं, इसलिए कुल (6) समाधान हैं। परीक्षा में खुले सिरे को शामिल न करें। / The integers are (-1,0,1,2,3,4), so there are (6) solutions. Do not include an open endpoint in exams.
पहली असमीका से \(x\ge -2\) और दूसरी से (x<5)। पूर्णांक समाधान (-2) से (4) तक हैं। / The first inequality gives \(x\ge -2\) and the second gives (x<5). The integer solutions run from (-2) to (4).
\(2x\le 12\) से \(x\le 6\), इसलिए अंतराल (\(-\infty,6]\) है। परीक्षा में \(\le\) के लिए बंद सिरा लगाएं। / \(2x\le 12\) gives \(x\le 6\), so the interval is (\(-\infty,6]\). Use a closed endpoint for \(\le\).
हर (12) से गुणा करने पर (6x-9>4x+2), इसलिए \(x>\frac{11}{2}\)। परीक्षा में छोटे भिन्नों को हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiplying by (12) gives (6x-9>4x+2), hence \(x>\frac{11}{2}\). Use the LCM to remove small fractions.
हर (4) से गुणा करने पर \(10-6x\ge x+1\), इसलिए \(x\le \frac{9}{7}\)। परीक्षा में चर पदों को मिलाने के बाद ही भाग दें। / Multiplying by (4) gives \(10-6x\ge x+1\), so \(x\le \frac{9}{7}\). Combine variable terms before dividing.
शर्त के अनुसार असमीका \(x+5\geq 75\) होगी। दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x\geq 70\) मिलता है। इसलिए मूल अंकों का न्यूनतम मान 70 है। विकल्प 75 लेने पर भी शर्त पूरी होती है, लेकिन वह न्यूनतम मान नहीं है। परीक्षा टिप: “कम से कम” के लिए \(\geq\) चिह्न प्रयोग करें। / The condition is represented by \(x+5\geq 75\). Subtracting 5 from both sides gives \(x\geq 70\). Hence, the minimum original score is 70. Although 75 also satisfies the condition, it is not the minimum value. Exam tip: use \(\geq\) for the phrase “at least.”
आयत का परिमाप \(2[(x+3)+5]\) है। अतः \(2x+16\leq30\), जिससे \(2x\leq14\) और \(x\leq7\) मिलता है। साथ ही, लंबाई \(x+3\) धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(x>-3\)। दोनों शर्तों को मिलाने पर \(-3<x\leq7\) प्राप्त होता है। विकल्प \(x\leq7\) परिमाप की शर्त तो बताता है, पर ऋणात्मक या शून्य लंबाई वाले मानों को नहीं हटाता। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्नों में असमानता हल करने के बाद राशि के व्यावहारिक प्रतिबंध, जैसे लंबाई का धनात्मक होना, अवश्य जाँचें। / The perimeter is \(2[(x+3)+5]\). Therefore, \(2x+16\leq30\), which gives \(2x\leq14\) and hence \(x\leq7\). Also, the length \(x+3\) must be positive, so \(x>-3\). Combining both conditions gives \(-3<x\leq7\). The option \(x\leq7\) satisfies only the perimeter condition and still includes values that give a non-positive length. Exam tip: after solving an inequality in a word problem, always check practical restrictions such as a length being positive.
हर (10) से गुणा करने पर (2(2x+3)-5(x-4)\le 10), इसलिए \(x\ge 16\)। परीक्षा में घटाव के बाद आने वाले कोष्ठक के चिन्ह ध्यान रखें। / Multiplying by (10) gives (2(2x+3)-5(x-4)\le 10), so \(x\ge 16\). Watch the signs after a subtraction before a bracket.
हर (14) से गुणा करने पर (2(3x-2)+(x+1)>28), इसलिए \(x>\frac{31}{7}\)। परीक्षा में असमीका में भी सामान्य समीकरण जैसी सरलीकरण प्रक्रिया अपनाएं। / Multiplying by (14) gives (2(3x-2)+(x+1)>28), hence \(x>\frac{31}{7}\). Use the same simplification process as equations while tracking the sign.
हर (12) से गुणा करने पर (3x-15\ge 4(2x+1)-24), इसलिए \(x\le 1\)। परीक्षा में हर हटाने के बाद स्थिर पदों को सावधानी से मिलाएं। / Multiplying by (12) gives (3x-15\ge 4(2x+1)-24), so \(x\le 1\). Combine constants carefully after clearing denominators.
हर (6) से गुणा करने पर (12-2x<3x-6), इसलिए \(x>\frac{18}{5}\)। परीक्षा में दोनों तरफ के चर पदों को सही दिशा में ले जाएं। / Multiplying by (6) gives (12-2x<3x-6), hence \(x>\frac{18}{5}\). Move variable terms in the correct direction.
\(-7\le -3x<9\) मिलता है और (-3) से भाग देने पर क्रम पलटता है, इसलिए \(-3<x\le \frac{7}{3}\)। परीक्षा में ऋणात्मक भाग से द्वि-असमीका की दिशा बदलती है। / We get \(-7\le -3x<9\), and dividing by (-3) reverses the order, so \(-3<x\le \frac{7}{3}\). Division by a negative changes the direction of a compound inequality.
पहले (2) से गुणा करने पर \(-8<x+2\le 2\), इसलिए \(-10<x\le 0\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा से असमीका का चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying first by (2) gives \(-8<x+2\le 2\), so \(-10<x\le 0\). A positive multiplier does not change the inequality sign.
हर (6) से गुणा करने पर (4x+3-2(x-2)\ge 3(x+5)), इसलिए \(x\le -8\)। परीक्षा में हर हटाने के बाद कोष्ठक और चिन्ह ध्यान से सरल करें। / Multiplying by (6) gives (4x+3-2(x-2)\ge 3(x+5)), so \(x\le -8\). After clearing denominators, simplify brackets and signs carefully.
\(-6<5-2x\le 9\) से \(-11<-2x\le 4\), इसलिए \(-2\le x<\frac{11}{2}\)। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर द्वि-असमीका की दिशा बदलती है। / From \(-6<5-2x\le 9\), we get \(-11<-2x\le 4\), so \(-2\le x<\frac{11}{2}\). In compound inequalities, division by a negative reverses the direction.
