Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f(1)=f(2)) के लिए (3) विकल्प और (f(3)\ne f(4)) के लिए \(3\cdot2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3\cdot2=18\) हैं। / There are (3) choices for (f(1)=f(2)) and \(3\cdot2\) choices for (f(3)\ne f(4)). Total is \(3\cdot3\cdot2=18\).
संबंध \(R=\{(x,y):y^2=x+1,\ x\in{0,3,8},\ y\in{-3,-2,-1,1,2,3}\}\) को \(X=\{0,3,8\}\) से \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) में माना गया है। सही निष्कर्ष क्या है?
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (0) की दो छवियां हैं/It is not a function because (0) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां फलन को अस्वीकार करती हैं। / At (x=0), both (y=1) and (y=-1) occur. Two images for one input reject a function.
\(ax^2+4\) सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए अऋण तभी रहता है जब \(a\ge0\) हो। मूल वाले फलन में भीतर की राशि अऋण चाहिए। / The expression \(ax^2+4\) stays non-negative for all \(x\in\mathbb{R}\) only when \(a\ge0\). In square-root functions the radicand must be non-negative.
मान केवल (1) और (2) से आने चाहिए और दोनों आने चाहिए। इसलिए संख्या \(2^4-2=14\) है। / Values must come only from (1) and (2), and both must appear. Hence the count is \(2^4-2=14\).
B. यह फलन है क्योंकि (n(n+1)) हमेशा सम होता है/It is a function because (n(n+1)) is always even
Explanation
Simple Explanation
लगातार दो पूर्णांकों (n) और (n+1) में से एक सम होता है। इसलिए \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\) है। / Among consecutive integers (n) and (n+1), one is even. So \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\).
A. यह फलन है और परिसर ({1,2,3,6}) है/It is a function and range is ({1,2,3,6})
Explanation
Simple Explanation
हर (x) के लिए \(y=\frac{6}{x}\) अद्वितीय है और दिए गए समुच्चय में है। सीमित समुच्चय में प्रत्येक इनपुट की छवि अलग से जांचें। / For each (x), \(y=\frac{6}{x}\) is unique and lies in the given set. In finite sets check the image of every input separately.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+2) है लेकिन (x=2) हटने से मान (4) नहीं मिलता। हटे हुए बिंदु का प्रभाव परिसर पर देखें। / On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=2) removes the value (4). Check how a removed point affects the range.
सख्त बढ़ते क्रम के लिए केवल ((0,1,2)) संभव है। इसलिए केवल (1) फलन बनता है। / For a strictly increasing order, only ((0,1,2)) is possible. Hence exactly (1) function exists.
विकल्प (C) में (3) की दो छवियां (a) और (c) हैं। फलन के लिए पूर्णता के साथ अद्वितीयता भी जरूरी है। / In option (C), (3) has two images (a) and (c). A function requires both existence and uniqueness.
\(x\in[1,3]\) पर मान (2) है और (x=-1) पर अधिकतम (4) मिलता है। खंडों में मापांक खोलकर परिसर निकालें। / For \(x\in[1,3]\), the value is (2), and the maximum (4) occurs at (x=-1). Open moduli in intervals to find range.
