Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f(1)=4), (f(2)=2), (f(3)=2), (f(4)=4), इसलिए परिसर ({2,4}) है। खंडित नियम में हर इनपुट का मान लिखें। / Here (f(1)=4), (f(2)=2), (f(3)=2), and (f(4)=4), so the range is ({2,4}). For a piecewise rule list every input value.
फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^5=32\) होती है। कुल संबंधों और कुल फलनों के सूत्र अलग रखें। / The number of functions is \(|B|^{|A|}=2^5=32\). Keep the formulas for all relations and all functions separate.
B. फलन नहीं है क्योंकि (1) की छवियां (-1) और (1) हैं/It is not a function because (1) has images (-1) and (1)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) के लिए (y=-1) और (y=1) दोनों संभव हैं। एक (x) के दो (y) होने से संबंध फलन नहीं है। / For (x=1), both (y=-1) and (y=1) are possible. Two (y)-values for one (x) mean the relation is not a function.
(x-2+2x+2=(x+1)2+1), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। वर्ग पूरा करना परिसर निकालने का उपयोगी तरीका है। / Since (x-2+2x+2=(x+1)2+1), the minimum value is (1). Completing the square is useful for finding range.
(0,1,2,3) के शेषफल क्रमशः (0,1,2,0) हैं। शेषफल अद्वितीय होता है, इसलिए यह फलन है। / The remainders of (0,1,2,3) are (0,1,2,0). The remainder is unique, so this is a function.
A. यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर कभी फलन नहीं होगा/It will never be a function on all of \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-4\) शून्य होता है जब \(x=\pm2\), इसलिए मूल सूत्र वहां अपरिभाषित है। हर की शून्यता को घटाने से पूरी तरह नहीं हटाया जा सकता। / The denominator \(x^2-4\) is zero at \(x=\pm2\), so the original formula is undefined there. A zero denominator cannot be fully removed for all real inputs.
B. \((R={(x,y):y=0\) यदि \(x<3,\ y=1\) यदि \(x\ge3})\)/\((R={(x,y):y=0\) if \(x<3,\ y=1\) if \(x\ge3})\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प (B) हर (x) को ठीक एक मान देता है। बाकी विकल्पों में कुछ इनपुट छूटते हैं या कई मान मिलते हैं। / Option (B) assigns exactly one value to every (x). The other options miss some inputs or give multiple values.
A. यह फलन है और परिसर ({1,3,5}) है/It is a function and range is ({1,3,5})
Explanation
Simple Explanation
मान (1,3,5) मिलते हैं और सभी सहप्रांत में हैं। सहप्रांत के सभी अवयवों का आना आवश्यक नहीं होता। / The values obtained are (1,3,5), and all lie in the codomain. Not every element of the codomain needs to occur.
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (A) के अवयवों की छवि नहीं है/It is not a function because elements of (A) have no images
Explanation
Simple Explanation
जब \(A\ne\emptyset\) हो, तो खाली संबंध (A) के किसी अवयव को छवि नहीं देता। फलन के लिए हर इनपुट की छवि आवश्यक है। / When \(A\ne\emptyset\), the empty relation gives no image to any element of (A). A function requires an image for every input.
रिक्त प्रांत से किसी भी समुच्चय में एक ही खाली फलन होता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=3^0=1\) भी यही देता है। / From the empty domain to any set, there is exactly one empty function. The formula \(|B|^{|A|}=3^0=1\) gives the same result.
