Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पिछला कर्ण \(\sqrt{2}\) नई भुजा बनता है और (1) इकाई लंब जोड़ी जाती है। नया कर्ण \(\sqrt{3}\) होता है। / The previous hypotenuse \(\sqrt{2}\) becomes one side and a (1) unit perpendicular is added. The new hypotenuse is \(\sqrt{3}\).
A. \(\sqrt{121}=11\) और \(\sqrt{122}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{121}=11\) and \(\sqrt{122}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
(121) पूर्ण वर्ग है, लेकिन (122) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{122}\) अपरिमेय है। / (121) is a perfect square, but (122) is not. Therefore \(\sqrt{122}\) is irrational.
A. हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण और (1) इकाई लंब से बनता है/Each new triangle is made from the previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल समकोण त्रिभुजों की श्रृंखला है। पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब नया त्रिभुज बनाते हैं। / A square root spiral is a chain of right triangles. The previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular form the new triangle.
हर चरण में संख्या (1) बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{99}\) के बाद \(\sqrt{100}\) आएगा। / The number increases by (1) at each step. Therefore \(\sqrt{100}\) comes after \(\sqrt{99}\).
A. क्योंकि \(1^2\) की जगह \(2^2\) जुड़ जाएगा/Because \(2^2\) will be added instead of \(1^2\)
Explanation
Simple Explanation
सामान्य सर्पिल में हर बार \(1^2\) जुड़कर अगला वर्गमूल देता है। (2) इकाई लेने पर वृद्धि (4) की होगी। / In the usual spiral \(1^2\) is added each time to give the next square root. Taking (2) units will add (4).
B. \(\sqrt{36}\) पूर्ण संख्या है और \(\sqrt{37}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{36}\) is a whole number and \(\sqrt{37}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{36}=6\) है, लेकिन (37) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{37}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{36}=6\), but (37) is not a perfect square. Therefore \(\sqrt{37}\) is irrational.
कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचते हैं। इससे संख्या रेखा पर सही स्थान मिलता है। / Taking the hypotenuse length in the compass, an arc is drawn from the origin. This gives the correct point on the number line.
C. पिछले कर्ण के वर्ग में \(1^2\) जुड़ता है/\(1^2\) is added to the square of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है। / By Pythagoras theorem (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1). Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\).
A. ताकि समकोण त्रिभुज बने और पाइथागोरस प्रमेय लागू हो सके/So that a right triangle is formed and Pythagoras theorem can be applied
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज में लागू होता है। इसलिए \(90^\circ\) कोण जरूरी है। / Pythagoras theorem applies only to a right triangle. Therefore a \(90^\circ\) angle is necessary.
B. \(\sqrt{49}\) पूर्ण संख्या और \(\sqrt{50}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{49}\) is a whole number and \(\sqrt{50}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{49}=7\) है, लेकिन (50) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{49}=7\), but (50) is not a perfect square. Therefore \(\sqrt{50}\) is irrational.
नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) हो तो पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{31}\) से पहले \(\sqrt{30}\) था। / If the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), the previous one is \(\sqrt{n}\). Therefore before \(\sqrt{31}\), it was \(\sqrt{30}\).
A. \(\sqrt{3}+1=\sqrt{4}\) मानना/Assuming \(\sqrt{3}+1=\sqrt{4}\)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण सीधे जोड़ से नहीं बनता। पाइथागोरस में भुजाओं के वर्गों का योग लिया जाता है। / The new hypotenuse is not formed by direct addition. In Pythagoras theorem the squares of sides are added.
हर नए चरण में \(1^2\) जुड़ता है। इसलिए \(\sqrt{24}\) के बाद \(\sqrt{25}\) मिलता है। / At every new step \(1^2\) is added. Therefore \(\sqrt{25}\) comes after \(\sqrt{24}\).
\(\sqrt{16}\) के साथ (1) इकाई लंब जोड़ने पर नया कर्ण \(\sqrt{17}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या एक कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{16}\) forms the new hypotenuse \(\sqrt{17}\). The previous hypotenuse has one less number.
पिछला कर्ण \(\sqrt{11}\) और नई लंब (1) इकाई होती है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{12}\) बनेगा। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{11}\) and the new perpendicular is (1) unit. So the new hypotenuse will be \(\sqrt{12}\).
(1) इकाई की लंबाई सही लेने के लिए मापक पट्टी उपयोगी है। गलत माप से सर्पिल की लंबाइयाँ गलत हो सकती हैं। / A ruler is useful for taking the (1) unit length correctly. Wrong measurement can make the spiral lengths incorrect.
हर नए चरण में (1) इकाई लंब जुड़ती है। इसलिए \(\sqrt{43}\) के बाद \(\sqrt{44}\) बनेगा। / At each new step, a (1) unit perpendicular is added. Therefore \(\sqrt{44}\) will be formed after \(\sqrt{43}\).
\(\sqrt{56}\) के साथ (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{57}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या हमेशा (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{56}\) forms \(\sqrt{57}\). The previous hypotenuse number is always (1) less.
\(\sqrt{121}=11\) होता है। (121) पूर्ण वर्ग है, इसलिए उसका वर्गमूल पूर्ण संख्या है। / \(\sqrt{121}=11\). Since (121) is a perfect square, its square root is a whole number.
A. समकोण त्रिभुजों से क्रमिक वर्गमूल लंबाइयाँ बनाना/Making successive square root lengths using right triangles
Explanation
Simple Explanation
हर नया समकोण त्रिभुज अगला वर्गमूल देता है। यही वर्गमूल सर्पिल का मूल विचार है। / Each new right triangle gives the next square root. This is the basic idea of a square root spiral.
कंपास की नोक मूल बिंदु पर रखकर चाप खींचते हैं। इससे \(\sqrt{2}\) का स्थान मिलता है। / The compass point is kept at the origin and an arc is drawn. This locates \(\sqrt{2}\).
A. पिछले कर्ण और (1) इकाई लंब के वर्गों का योग लिया जाता है/The sum of squares of previous hypotenuse and (1) unit perpendicular is taken
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय में वर्गों का योग आता है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है। / Pythagoras theorem uses the sum of squares. Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\).
\(\sqrt{5}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{5}\) is not the square root of a perfect square. Therefore it is irrational.
