Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(R^{-1}\) परावर्ती और संक्रामक होगा/\(R^{-1}\) will be reflexive and transitive
Step 1
Concept
स्वयुग्म उलटने पर वही रहते हैं, इसलिए \(R^{-1}\) परावर्ती रहेगा। / Self-pairs remain the same after reversal, so \(R^{-1}\) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (R) में उल्टी दिशा की शृंखला संक्रामक है, तो विलोम में भी शृंखला का परिणाम मिलेगा। / Transitive chains in (R) reverse into transitive chains in the inverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परावर्तन और संक्रामकता दोनों विलोम में सुरक्षित रहते हैं। / Therefore reflexivity and transitivity are both preserved in the inverse.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2-a^2=0\), इसलिए परावर्तन है। / \(a^2-a^2=0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2-1^2\ge0\) सही है, पर \(1^2-2^2\ge0\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2^2-1^2\ge0\) is true, but \(1^2-2^2\ge0\) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\ge b^2\) और \(b^2\ge c^2\) से \(a^2\ge c^2\), इसलिए संक्रामकता है। / \(a^2\ge b^2\) and \(b^2\ge c^2\) imply \(a^2\ge c^2\), so it is transitive.
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। / No self-pair has been removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं, पर ((1,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, but ((1,4)) is missing, so transitivity fails.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
हर तत्व का अपने साथ सबसे बड़ा समापवर्तक वही तत्व है, इसलिए परावर्तन है। / The greatest common divisor of each element with itself is the element, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The greatest common divisor does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
B. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
आगे बढ़ने वाली हर जरूरी शृंखला का परिणाम जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है। / Every needed forward-chain result such as ((1,3),(2,4),(1,4)) is present, so transitivity holds.
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म अभी भी मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are still present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,2)) मौजूद हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,3)) and ((3,2)) are present but ((1,2)) is missing, so transitivity fails.
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। / No self-pair is removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हटे हैं, इसलिए सममितता बनी है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are removed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
बचे हुए वर्ग ({1},{2},{3}) नहीं, बल्कि जांचने पर ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए जो नहीं है; इसलिए यह संक्रामक नहीं है। / But ((1,3)) and ((3,2)) are present while ((1,2)) is missing, so it is not transitive.
C. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\) और \(a-a=0\le2\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a\le a\) and \(a-a=0\le2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so it is not transitive either.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,3)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म दिए गए हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive.
A. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((2,3)) and ((3,4)) are present but ((2,4)) is missing, so transitivity also fails.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
अपने आप से अंतर (0) है, इसलिए परावर्ती है। / The difference of an element from itself is (0), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अंतर क्रम बदलने पर समान रहता है, इसलिए सममितता है। / Difference remains the same when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R3) और (3R4) सही हैं, पर (1R4) गलत है क्योंकि अंतर (3) है, इसलिए संक्रामकता नहीं। / (1R3) and (3R4) are true, but (1R4) is false because the difference is (3), so it is not transitive.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए परावर्तन है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, और बाकी जरूरी शृंखलाएं भी टूटती नहीं हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, and other required chains also do not fail.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs for ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), इसलिए परावर्ती है।
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R0.6) and (0.6R1.2) are true, but (0R1.2) is false, so it is not transitive.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs for ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity fails.
