Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
real-valued-functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दोनों वर्गमूलों से \(4\le x\le10\) और हर से \(x\ne6\) चाहिए। परीक्षा में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The two square roots give \(4\le x\le10\) and the denominator gives \(x\ne6\). In exams take the intersection of all conditions.
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) और \(x\ne1\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) and \(x\ne1\). A sign table gives ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)).
दिए गए inputs पर (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), और (f(17)=4) हैं। परीक्षा में finite domain में केवल दिए गए inputs लें। / For the given inputs, (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), and (f(17)=4). In exams use only the given inputs in a finite domain.
(f(-3)=8), (f(-1)=0), और (f(2)=3) हैं। परीक्षा में set में repeated output हो तो एक बार ही लिखें। / (f(-3)=8), (f(-1)=0), and (f(2)=3). In exams write a repeated output only once in a set.
A. रेंज \([7,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([7,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([7,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain अलग रखें। / In the given notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([7,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-12\ge-12\)। परीक्षा में square function की minimum value (0) याद रखें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-12\ge-12\). In exams remember the minimum value of the square function is (0).
(f(-5)=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3) है। परीक्षा में वर्गमूल की principal value non-negative होती है। / (f(-5)=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3). In exams the principal value of square root is non-negative.
(f(1)=\frac{1-3}{1+2}=-\frac{2}{3}) है। परीक्षा में numerator और denominator अलग-अलग सावधानी से रखें। / (f(1)=\frac{1-3}{1+2}=-\frac{2}{3}). In exams handle the numerator and denominator separately with care.
(f(-2)=(-2)2+3(-2)-2=-4) है। परीक्षा में ऋणात्मक input डालते समय brackets लगाएं। / (f(-2)=(-2)2+3(-2)-2=-4). In exams use brackets while substituting a negative input.
(|x+6|=9) से (x+6=9) या (x+6=-9) मिलता है। परीक्षा में modulus equation की दोनों शाखाएं लें। / (|x+6|=9) gives (x+6=9) or (x+6=-9). In exams take both branches of a modulus equation.
\(\sqrt{x-3}=5\) से (x-3=25), इसलिए (x=28)। परीक्षा में वर्ग करने के बाद original equation में जांच लें। / \(\sqrt{x-3}=5\) gives (x-3=25), so (x=28). In exams check the answer in the original equation after squaring.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-4\) तब (0) होगा जब (x=-2) या (x=2)। परीक्षा में denominator की zero values हटाएं। / The denominator \(x^2-4\) becomes (0) when (x=-2) or (x=2). In exams remove zero values of the denominator.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([4,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([4,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2+16\ge16\), इसलिए वर्गमूल कम से कम (4) है। अंदर की राशि हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। / Since \(x^2+16\ge16\), the square root is at least (4). The inside expression is defined for every real (x).
\(\frac{2}{x}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-3) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal function की vertical shift पहचानें। / \(\frac{2}{x}\) is never (0), so output (-3) cannot occur. In exams identify the vertical shift of a reciprocal function.
बहुपद \(x^2+8\) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में polynomial functions का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) होता है। / The polynomial \(x^2+8\) is defined for every real (x). In exams polynomial functions usually have domain \(\mathbb{R}\).
हर (|x-3|+1) की न्यूनतम वैल्यू (1) है और यह अनंत तक जा सकता है। इसलिए output (0) से बड़ा और (1) तक है। / The denominator (|x-3|+1) has minimum value (1) and can grow without bound. Hence the output is greater than (0) and up to (1).
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\) है। (x=0) पर न्यूनतम \(\frac{2}{5}\) मिलता है और (1) नहीं मिलता। / \(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\). At (x=0), the minimum \(\frac{2}{5}\) is attained and (1) is not attained.
(f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), इसलिए (0) मिलता है पर (1) नहीं मिलता। परीक्षा में ऐसे rational expressions को (1-) रूप में लिखना उपयोगी है। / (f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), so (0) is attained but (1) is not. In exams writing such rational expressions in (1-) form is useful.
अंदर (x-2-2x+10=(x-1)2+9) है, इसलिए न्यूनतम (9) है। वर्गमूल लेने पर रेंज \([3,\infty\)) होगी। / Inside, (x-2-2x+10=(x-1)2+9), so the minimum is (9). Taking square root gives the range \([3,\infty\)).
अंदर की अधिकतम वैल्यू (36) है और न्यूनतम (0) हो सकती है। इसलिए (f(x)) की रेंज ([0,6]) है। / The maximum inside value is (36) and the minimum can be (0). Therefore the range of (f(x)) is ([0,6]).
डोमेन पर अंदर की वैल्यू (0) से (9) तक हो सकती है। इसलिए वर्गमूल की रेंज ([0,3]) है। / On the domain, the inside value can vary from (0) to (9). Hence the square-root range is ([0,3]).
\(\frac{5}{x-2}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (1) आउटपुट नहीं मिलता। परीक्षा में vertical shift से excluded value बदलती है। / \(\frac{5}{x-2}\) is never (0), so output (1) is not obtained. In exams a vertical shift changes the excluded value.
\(\frac{1}{x+6}\) कभी (0) नहीं हो सकता। परीक्षा में horizontal shift से reciprocal की excluded range value नहीं बदलती। / \(\frac{1}{x+6}\) can never be (0). In exams a horizontal shift does not change the excluded range value of a reciprocal.
धनात्मक अंतराल पर \(\frac{1}{x+1}\) घटता है। (x=1) और (x=3) से \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{4}\) मिलते हैं। / On the positive interval, \(\frac{1}{x+1}\) decreases. At (x=1) and (x=3), values are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{1}{4}\).
\(\sqrt{x-1}\) बढ़ता है, इसलिए endpoints पर वैल्यू (0) और (3) हैं। परीक्षा में बंद अंतराल के endpoints शामिल करें। / \(\sqrt{x-1}\) is increasing, so endpoint values are (0) and (3). In exams include endpoints of a closed interval.
इस डोमेन पर (x+2) धनात्मक है, इसलिए (|x+2|=x+2)। endpoints से रेंज ([3,7]) मिलती है। / On this domain, (x+2) is positive, so (|x+2|=x+2). Endpoint values give the range ([3,7]).
डोमेन में (0) शामिल है, इसलिए minimum (0) है और सबसे बड़ा मापांक (7) है। परीक्षा में interval में (0) है या नहीं देखें। / The domain contains (0), so the minimum is (0) and the largest modulus is (7). In exams check whether the interval contains (0).
फलन घटता है, इसलिए (x=1) पर (2) और \(x\to6\) पर (-8) मिलता है पर शामिल नहीं होता। परीक्षा में decreasing function में endpoints का क्रम बदलें। / The function is decreasing, so at (x=1) it gives (2) and as \(x\to6\) it approaches (-8), not included. In exams reverse endpoint order for a decreasing function.
(3x-2) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है। खुले endpoint (-1) से (-5) खुलेगा और (5) से (13) शामिल होगा। / (3x-2) is an increasing linear function. The open endpoint (-1) gives open (-5) and (5) gives included (13).
ऋणात्मक अंतराल पर \(x^2\) की वैल्यू (36) से (4) तक आती है। इसलिए रेंज ([4,36]) है। / On the negative interval, \(x^2\) values go from (36) to (4). Therefore the range is ([4,36]).
