Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. ऐसे युग्म ढूंढना जिनमें पहले का दूसरा तत्व और दूसरे का पहला तत्व समान हो/Finding pairs where the second element of the first pair equals the first element of the second pair
Step 1
Concept
संक्रमणीयता दो युग्मों की कड़ी पर आधारित है। / Transitivity is based on a chain of two pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कड़ी तभी बनती है जब एक युग्म का दूसरा तत्व दूसरे युग्म का पहला तत्व हो। / A chain is formed when the second element of one pair equals the first element of another pair.
Step 3
Exam Tip
संख्या नहीं, सही कड़ी पहचानना जरूरी है। / Identifying the correct chain matters more than counting pairs.
((2,4)) और ((4,6)) में बीच का तत्व (4) समान है। / In ((2,4)) and ((4,6)), the middle element (4) matches.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले तत्व (2) और अंतिम तत्व (6) का युग्म ((2,6)) चाहिए। / Therefore the pair from the first element (2) to the last element (6), namely ((2,6)), is required.
Step 3
Exam Tip
बीच वाला तत्व हटाकर बाहरी तत्वों का क्रमित युग्म बनाइए। / Remove the middle element and form the ordered pair of the outer elements.
((1,2)) और ((2,3)) के कारण ((1,3)) होना जरूरी है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) संबंध में पहले से मौजूद है, इसलिए संक्रमणीयता की मुख्य शर्त पूरी है। / ((1,3)) is already in the relation, so the key transitivity condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में बीच वाले तत्व को ध्यान से मिलाइए। / In such questions, match the middle element carefully.
दोनों युग्मों में बीच का तत्व (4) समान है। / The common middle element in the two pairs is (4).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी नियम के अनुसार ((1,6)) होना जरूरी है। / By the transitive rule, ((1,6)) must be present.
Step 3
Exam Tip
पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व मिलाकर उत्तर बनाइए। / Form the answer using the first element of the first pair and the second element of the second pair.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) है, और ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी है। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
सभी जरूरी शृंखला युग्म मौजूद हों तो संबंध संक्रामी होता है। / A relation is transitive when all required chain pairs are present.
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) जुड़े हुए युग्म हैं। / Here ((1,2)) and ((2,3)) are connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,3)) होना चाहिए, और वह संबंध में मौजूद है। / They require ((1,3)), and it is already present in the relation.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी जाँच में जरूरी बने युग्म को सूची में ढूँढना सबसे आसान तरीका है। / For transitivity checks, find the pair that is forced and then look for it in the list.
यदि \(a+b\le6\), तो \(b+a\le6\) भी होगा। / If \(a+b\le6\), then \(b+a\le6\) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair is also included.
Step 3
Exam Tip
योग पर आधारित असमिका में भी सममितता बनी रह सकती है। / Even inequality conditions based on a sum can be symmetric.
कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं। / There are (6) independent choices for symmetric relations on a (3)-element set.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी अनिवार्य है, इसलिए यह एक गैर-विकर्ण जोड़ा निश्चित हो गया। / If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), so one off-diagonal block is fixed.
Step 3
Exam Tip
शेष (5) स्वतंत्र चुनावों में से एक जोड़ा निश्चित होने के बाद (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है। / Therefore (4) independent choices remain, giving \(2^4\).
(|a-b|=2) होने पर (|b-a|=|-(a-b)|=2) होता है। / If (|a-b|=2), then (|b-a|=|-(a-b)|=2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए जिस युग्म में अंतर (2) है, उसका उल्टा युग्म भी यही अंतर देगा। / So every pair with difference (2) has its reverse pair satisfying the same condition.
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाले संबंधों में उल्टा करने पर मान नहीं बदलता, इसे याद रखें। / Absolute value conditions usually remain unchanged under reversal.
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) दिया है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि ((a,b)) है, तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) मौजूद है, लेकिन ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing, while ((1,2)) and ((2,1)) already form a pair.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा युग्म अवश्य जाँचें। / In exams, always check the reverse of every non-diagonal ordered pair.
A. हर युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में है/The reverse pair of every pair is also in the relation
Step 1
Concept
सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\), तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। / Here ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर अलग-अलग तत्वों वाले युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check reverse pairs for pairs with different elements.
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, और विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होते हैं। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and diagonal pairs are their own reverses.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध सममित है, पर ((3,3)) नहीं होने से यह स्वतुल्य नहीं है। / Hence the relation is symmetric, but it is not reflexive because ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
सममितता में हर विकर्ण युग्म का होना जरूरी नहीं है। / Symmetry does not require every diagonal pair to be present.
सममित विस्तार में दिए गए सभी युग्म बने रहते हैं और जिनके उल्टे नहीं हैं, वे जोड़े जाते हैं। / A symmetric extension keeps all given pairs and adds only the missing reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) का उल्टा ((4,2)) अनुपस्थित है, जबकि बाकी गैर-समान युग्मों के उल्टे मौजूद हैं। / The reverse of ((2,4)) is ((4,2)), and it is missing, while other unequal pairs already have reverses.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा विस्तार पूछे जाने पर केवल आवश्यक उल्टे युग्म ही जोड़ें। / For the smallest extension, add only the compulsory reverse pairs.
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) मौजूद हैं। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((1,3)) has ((3,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) अपना उल्टा खुद ही है, इसलिए वह समस्या नहीं बनाता। / ((2,2)) is its own reverse, so it creates no issue.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे जाँचें, अनुपस्थित युग्मों की चिंता न करें। / For symmetry, check reverses of existing pairs only, not pairs that are absent.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4)\}\) है, तो (R) को सममित बनाने के लिए कम से कम कौन-सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\) हो, तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, लेकिन ((2,4)) है और ((4,2)) नहीं है। / ((1,3)) and ((3,1)) are paired, but ((2,4)) is missing its reverse ((4,2)).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में हर गैर-समान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check the reverse of each unequal ordered pair.
सममित संबंध में \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। / Here ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में केवल गायब उल्टे युग्म खोजें, सभी युग्म दोबारा न गिनें। / For such questions, look only for missing reverse pairs instead of recounting all pairs.
