Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a\le b+2\) और \(b\le c+2\) से केवल \(a\le c+4\) मिलता है। / From \(a\le b+2\) and \(b\le c+2\), we only get \(a\le c+4\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a\le c+2\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=0) लें। / Transitivity requires \(a\le c+2\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=0).
Step 3
Exam Tip
असमानता जोड़ने पर सीमा बदल सकती है। / When adding inequalities, the bound may change.
(a=0), (b=0.6), (c=1.2) लें। / Take (a=0), (b=0.6), and (c=1.2).
Step 2
Why this answer is correct
(|0-0.6|<1) और (|0.6-1.2|<1), पर (|0-1.2|<1) नहीं है।
Step 3
Exam Tip
दूरी आधारित संबंधों में दो छोटी दूरियां मिलकर बड़ी दूरी बना सकती हैं। / In distance-based relations, two small distances may combine into a larger one.
दो समुच्चय अलग-अलग हो सकते हैं और दूसरा तीसरे से भी अलग हो सकता है। / Two sets can be disjoint, and the second can be disjoint from the third.
Step 2
Why this answer is correct
फिर भी पहला और तीसरा आपस में अलग हों, यह जरूरी नहीं है। जैसे ({1}) और ({2}) अलग हैं, ({2}) और ({1}) अलग हैं, पर ({1}) और ({1}) अलग नहीं हैं। / Still, the first and third need not be disjoint. For example, ({1}) and ({2}) are disjoint, ({2}) and ({1}) are disjoint, but ({1}) and ({1}) are not disjoint.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय संबंधों में छोटा विरोधी उदाहरण बनाएं। / For set relations, build a small counterexample.
(a+b) विषम होने पर (a) और (b) अलग सम-विषमता के होते हैं। / If (a+b) is odd, (a) and (b) have opposite parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) भी विषम हो, तो (a) और (c) समान सम-विषमता के होंगे, इसलिए (a+c) सम होगा। / If (b+c) is also odd, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
दो लगातार विषम-योग शर्तें तीसरी विषम-योग शर्त नहीं देतीं। / Two consecutive odd-sum conditions do not give the third odd-sum condition.
यदि (1) संख्या (2) से अलग है और (2) संख्या (1) से अलग है, तो (1) संख्या (1) से अलग नहीं है। / (1) is different from (2), and (2) is different from (1), but (1) is not different from (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए से अलग है संबंध संक्रमण नहीं है। / So the different-from relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
विरोधी उदाहरण बनाने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / A counterexample is the fastest way to disprove transitivity.
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) दोनों संबंध में हैं। / Both ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर यह नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती जोड़ी की कमी हर बार संक्रमण को नहीं तोड़ती; जरूरी श्रृंखला देखें। / Missing reflexive pairs do not always break transitivity; focus on required chains.
A. \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), पर \((a,c)\notin R\)/\((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), but \((a,c)\notin R\)
Step 1
Concept
असंक्रामी सिद्ध करने के लिए संक्रामी नियम का टूटना दिखाना होता है। / To prove non-transitivity, we must show the transitive rule fails.
Step 2
Why this answer is correct
यानी दो जुड़े युग्म (R) में हों, पर उनसे बनने वाला तीसरा युग्म (R) में न हो। यही स्थिति सही है। / That means two connected pairs are in (R), but the required third pair is not in (R). This is the correct situation.
Step 3
Exam Tip
विरोधी उदाहरण हमेशा स्पष्ट युग्मों से लिखें। / Always write a counterexample using clear ordered pairs.
यदि (a), (b) का पिता है और (b), (c) का पिता है, तो (a), (c) का पिता नहीं बल्कि दादा हो सकता है। / If (a) is the father of (b), and (b) is the father of (c), then (a) may be the grandfather of (c), not the father.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) उसी सम्बन्ध में जरूरी नहीं आएगा। अतः यह संक्रामी नहीं है। / So ((a,c)) need not belong to the same relation. Hence it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
रिश्तों वाले प्रश्नों में सम्बन्ध का नाम ठीक-ठीक पढ़ें। / In family relation questions, read the exact relation name carefully.
