Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. मूल बिंदु हल-क्षेत्र में नहीं है/The origin is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0>1) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाले पक्ष को छायांकित नहीं करेंगे। / Substituting ((0,0)) gives (0>1), which is false. Therefore, the side containing the origin is not shaded.
((2,1)) रखने पर \(1\leq 1\) सत्य है। बराबरी वाले बिंदु \(\leq\) में हल में शामिल होते हैं। / Substituting ((2,1)) gives \(1\leq 1\), which is true. Boundary points are included for \(\leq\).
सीमा रेखा के लिए असमानता चिह्न को बराबर में बदलते हैं। (<) होने से रेखा टूटी हुई बनेगी। / For the boundary line, replace the inequality sign with equality. Since the sign is (<), the line will be dashed.
\(-y\leq 4-2x\) में (-1) से भाग देने पर चिह्न बदलता है। परीक्षा में ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिह्न जरूर बदलें। / In \(-y\leq 4-2x\), dividing by (-1) reverses the sign. In exams, always reverse the sign when multiplying or dividing by a negative number.
((6,7)) रखने पर \(13\leq 10\) असत्य है। बाहर वाला बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करता। / Substituting ((6,7)) gives \(13\leq 10\), which is false. An outside point does not satisfy the inequality.
A. हल में है और सीमा पर है/In solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((8,0)) रखने पर \(8\leq 8\) सत्य है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर भी है। / Substituting ((8,0)) gives \(8\leq 8\), which is true. Equality means the point is on the boundary.
((2,3)) रखने पर (6+3=9) सत्य है। बिंदु जाँच में सीधे मान रखें। / Substituting ((2,3)) gives (6+3=9), which is true. Substitute coordinates directly in point testing.
((2,1)) रखने पर (2+2=4) मिलता है। रेखा पर बिंदु के लिए बराबरी सत्य होनी चाहिए। / Substituting ((2,1)) gives (2+2=4). A point on the line must satisfy equality.
रेखा के नीचे (y) का मान (4) से कम या बराबर होता है। इसलिए \(y\leq 4\) सही है। / Below the line, (y) is less than or equal to (4). Hence, \(y\leq 4\) is correct.
(>) में सीमा रेखा हल में शामिल नहीं होती। इसलिए टूटी हुई रेखा खींची जाती है। / For (>), the boundary line is not included in the solution. So a dashed line is drawn.
B. मूल बिंदु हल में नहीं है/Origin is not in solution
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 2\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष नहीं चुना जाएगा। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 2\), which is false. So the side with the origin is not chosen.
((0,0)) रखने पर \(0\geq -3\) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु हल-क्षेत्र में है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq -3\), which is true. So the origin is in the solution region.
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 1\) सत्य मिलता है। इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष हल है। / Substituting the origin gives \(0\leq 1\), which is true. Hence, the side with the origin is the solution.
(<) और (>) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती। इसलिए टूटी हुई रेखा बनाई जाती है। / For (<) and (>), the boundary line is not included. So a dashed line is drawn.
\(\leq\) और \(\geq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। प्रश्न में चिह्न देखकर उत्तर चुनें। / The boundary line is included for \(\leq\) and \(\geq\). Choose by checking the inequality sign.
((3,1)) रखने पर \(6+1\leq 7\) सत्य है। यह सीमा रेखा पर स्थित है। / Substituting ((3,1)) gives \(6+1\leq 7\), which is true. It lies on the boundary line.
((2,4)) रखने पर (2+8>8) सत्य है। कठोर असमानता में बराबर वाला बिंदु न चुनें। / Substituting ((2,4)) gives (2+8>8), which is true. Do not choose an equal boundary point in a strict inequality.
((2,3)) रखने पर (2+6>8) अर्थात (8>8) नहीं, इसलिए ध्यान दें। सही जाँच में कोई बराबरी नहीं चाहिए। / Substitution must make the expression strictly greater than (8). Here no equality is allowed in a strict inequality.
((1,2)) रखने पर \(3\leq 5\) सत्य है। विकल्पों में बिंदु रखकर जाँचें। / Substituting ((1,2)) gives \(3\leq 5\), which is true. Check options by substitution.
y-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए x=0 रखें, क्योंकि y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। तब 0+3y=12, इसलिए y=4। अतः y-अंतःखंड 4 है। विकल्प 3 केवल y के गुणांक को दर्शाता है, अंतःखंड को नहीं। परीक्षा टिप: x-अंतःखंड के लिए y=0 और y-अंतःखंड के लिए x=0 रखें। / To find the y-intercept, set x=0 because every point on the y-axis has an x-coordinate of 0. Then 0+3y=12, giving y=4. Therefore, the y-intercept is 4. Option 3 is only the coefficient of y, not the intercept. Exam tip: set y=0 for the x-intercept and x=0 for the y-intercept.
बिंदु (4, 0) के लिए \(4+0=4\) और बिंदु (0, 4) के लिए \(0+4=4\), इसलिए दोनों बिंदु रेखा पर स्थित हैं। विकल्प B में (1, 1) के लिए योग 2 है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। रेखा बनाने की परीक्षा-युक्ति: समीकरण में \(x=0\) और \(y=0\) रखकर क्रमशः अक्ष-अंतःखंड प्राप्त करें। / For (4, 0), \(4+0=4\), and for (0, 4), \(0+4=4\); hence both points lie on the line. In option B, the point (1, 1) gives a sum of 2, so it does not lie on the line. Exam tip: Put \(x=0\) and \(y=0\) in the equation to obtain the two intercepts quickly.
सीमा रेखा \(y=2x-1\) है। असमानता \(y>2x-1\) में \(y\) का मान सीमा रेखा के संगत मान से अधिक होना चाहिए, इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के ऊपर होगा। चूँकि असमानता में \(>\) है, सीमा रेखा स्वयं हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होगी। परीक्षा में दिशा जाँचने के लिए किसी बिंदु, जैसे \((0,0)\), को असमानता में रखकर भी सत्यापन किया जा सकता है। / The boundary line is \(y=2x-1\). In \(y>2x-1\), the value of \(y\) must be greater than the corresponding value on the boundary line, so the solution region lies above the line. Since the inequality is strict (\(>\)), the boundary line itself is not included. As an exam tip, you can verify the shaded side by testing a point such as \((0,0)\) in the inequality.
B. रेखा के नीचे, सीमा रेखा सहित/Below the line, including the boundary line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\leq x+1\) का अर्थ है कि \(y\) का मान रेखा \(y=x+1\) के मान से कम या उसके बराबर है। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के नीचे होता है और \(\leq\) के कारण सीमा रेखा भी इसमें शामिल होती है, जिसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। परीक्षा में \(\leq\) या \(\geq\) देखकर सीमा रेखा को शामिल करना याद रखें। / The inequality \(y\leq x+1\) means that the value of \(y\) is less than or equal to the corresponding value on the line \(y=x+1\). Therefore, the solution region lies below the line, and the boundary line is included because of \(\leq\); it is drawn as a solid line. In an exam, remember that \(\leq\) and \(\geq\) include the boundary.
समीकरण \(y=-3\) में प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(-3\) समान रहता है, जबकि \(x\) का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होती है। लंबवत रेखा में \(x\)-निर्देशांक स्थिर रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का आलेख हमेशा क्षैतिज और \(x=c\) का आलेख हमेशा लंबवत रेखा होता है। / In the equation \(y=-3\), the \(y\)-coordinate remains fixed at \(-3\), while \(x\) can take any real value. Therefore, its graph is a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. A vertical line has a constant \(x\)-coordinate, so option A is incorrect. Exam tip: \(y=c\) represents a horizontal line, whereas \(x=c\) represents a vertical line.
