Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समीकरण (x=4) में प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 4 होता है, जबकि y का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर बनने वाली लंबवत रेखा है। क्षैतिज रेखा के लिए सामान्यतः (y=c) का रूप होता है। परीक्षा-युक्ति: (x=c) को लंबवत और (y=c) को क्षैतिज रेखा के रूप में याद रखें। / In the equation (x=4), the x-coordinate is fixed at 4, while y can take any value. Therefore, its graph is a vertical line parallel to the y-axis. A horizontal line generally has the form (y=c). Exam tip: remember that (x=c) represents a vertical line, whereas (y=c) represents a horizontal line.
A. पहला चतुर्थांश, अक्षों सहित/First quadrant, including the axes
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) का अर्थ है कि बिंदु y-अक्ष के दाईं ओर या y-अक्ष पर होगा, जबकि \(y\geq 0\) का अर्थ है कि वह x-अक्ष के ऊपर या x-अक्ष पर होगा। इसलिए दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र पहला चतुर्थांश है, जिसमें दोनों अक्ष और मूलबिंदु भी शामिल हैं। परीक्षा में \(\geq\) देखकर सीमा-रेखाओं को शामिल करना न भूलें। / The inequality \(x\geq 0\) places a point on or to the right of the y-axis, while \(y\geq 0\) places it on or above the x-axis. Hence, the common region is the first quadrant, including both axes and the origin. Exam tip: the symbol \(\geq\) means that the boundary lines are included.
\(y\geq 0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य या धनात्मक है। इसलिए इसमें x-अक्ष पर स्थित बिंदु और उसके ऊपर के सभी बिंदु शामिल होते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि वह \(y<0\) वाले क्षेत्र को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\) का चिन्ह क्षेत्र की ऊँचाई बताता है—\(y\geq 0\) x-अक्ष पर या उसके ऊपर होता है। / The inequality \(y\geq 0\) means that the y-coordinate of every point is zero or positive. Therefore, it includes the points on the x-axis as well as all points above it. Option C represents the region where \(y<0\), so it is incorrect. Exam tip: The sign of y indicates vertical position—\(y\geq 0\) lies on or above the x-axis.
A. (y)-अक्ष के दाईं ओर का क्षेत्र, जिसमें (y)-अक्ष भी शामिल है/The region to the right of the (y)-axis, including the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x \ge 0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक शून्य या धनात्मक है। इसलिए यह \(y\)-अक्ष के दाईं ओर का पूरा क्षेत्र दर्शाती है और \(x=0\) होने के कारण \(y\)-अक्ष को भी शामिल करती है। इसके विपरीत, \(x \le 0\) \(y\)-अक्ष के बाईं ओर का क्षेत्र देता है। परीक्षा-युक्ति: \(x\) का चिह्न क्षेत्र की क्षैतिज दिशा और \(y\) का चिह्न ऊर्ध्वाधर दिशा निर्धारित करता है। / The inequality \(x \ge 0\) means that the \(x\)-coordinate of every point is zero or positive. Hence, it represents the entire region to the right of the \(y\)-axis and includes the \(y\)-axis because \(x=0\) is allowed. In contrast, \(x \le 0\) represents the region to the left of the \(y\)-axis. Exam tip: an inequality involving \(x\) determines the horizontal side, while one involving \(y\) determines the vertical side.
B. मूल बिंदु के विपरीत वाला अर्ध-समतल/The half-plane opposite the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0+0\ge 9\), अर्थात् \(0\ge 9\), असत्य प्राप्त होता है। इसलिए मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल असमानता को संतुष्ट नहीं करता और उसके विपरीत अर्ध-समतल को छायांकित किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) वाली असमानता में सीमा रेखा भी शामिल होती है, इसलिए उसे ठोस रेखा से दर्शाएँ। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0+0\ge 9\), or \(0\ge 9\), which is false. Therefore, the half-plane containing the origin does not satisfy the inequality, so the opposite half-plane is shaded. Exam tip: For an inequality with \(\ge\) or \(\le\), the boundary line is included and should be drawn as a solid line.
मूल-बिंदु \,\((0,0)\) को असमानता में रखने पर \(0+0\leq 7\), अर्थात् \(0\leq 7\), प्राप्त होता है और यह सत्य है। इसलिए समाधान क्षेत्र उस ओर होगा जिसमें मूल-बिंदु स्थित है। विकल्प B असमानता का चिह्न उलट देता है। परीक्षा-युक्ति: रेखीय असमानता के ग्राफ में किसी परीक्षण-बिंदु को सीमा-रेखा पर नहीं, बल्कि उसके किसी एक ओर चुनें। / Substituting the origin \,\((0,0)\) into the inequality gives \(0+0\leq 7\), or \(0\leq 7\), which is true. Therefore, the solution region lies on the side containing the origin. Option B incorrectly reverses the inequality sign. Exam tip: In graphing a linear inequality, choose a test point that does not lie on the boundary line.
बिंदु \((2,3)\) के लिए \(x+y=2+3=5\)। इसलिए असमानता \(5<5\) बनती है, जो असत्य है। चूँकि यह कठोर असमानता है, इसमें बराबरी की स्थिति स्वीकार नहीं होती; अतः बिंदु इसे संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा में \(<\) और \(\leq\) का अंतर अवश्य जाँचें। / For the point \((2,3)\), \(x+y=2+3=5\). Thus, the inequality becomes \(5<5\), which is false. Since this is a strict inequality, equality is not included, so the point does not satisfy it. In exams, carefully distinguish between \(<\) and \(\leq\).
बिंदु \\(1,2\\) के निर्देशांक रखने पर \\(x+y\\leq 3\\) से \\(1+2\\leq 3\\), अर्थात \\(3\\leq 3\\) प्राप्त होता है। यह कथन सत्य है क्योंकि बराबरी भी \\(\\leq\\) में सम्मिलित होती है। इसलिए यह बिंदु सीमा रेखा \\(x+y=3\\) पर स्थित है। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर देखें कि कथन सत्य होता है या नहीं। / Substituting the coordinates of \\(1,2\\) into \\(x+y\\leq 3\\) gives \\(1+2\\leq 3\\), or \\(3\\leq 3\\). This is true because equality is included in the symbol \\(\\leq\\). Hence, the point lies on the boundary line \\(x+y=3\\). Exam tip: To test a point in an inequality, substitute its coordinates and check whether the resulting statement is true.
किसी असमानता की सीमा रेखा प्राप्त करने के लिए असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न में बदल दिया जाता है। इसलिए \(3x-y>6\) की सीमा रेखा \(3x-y=6\) है। विकल्प A और C क्षेत्र को दर्शाते हैं, रेखा को नहीं। परीक्षा में याद रखें: \(>\) या \(<\) वाली असमानताओं की सीमा रेखा सामान्यतः dashed होती है। / To obtain the boundary line of an inequality, replace the inequality sign with an equality sign. Thus, the boundary line of \(3x-y>6\) is \(3x-y=6\). Options A and C describe regions, not the boundary line itself. Exam tip: for strict inequalities such as \(>\) or \(<\), the boundary is generally drawn as a dashed line.
सीमा रेखा पाने के लिए असमानता चिह्न को बराबर में बदलते हैं। यही आलेख की पहली रेखा होती है। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. This is the first line drawn in the graph.
बिंदु �(0,0)� के लिए �x+y=0+0=0� होता है। अतः जाँचने पर �0\geq 2� मिलता है, जो असत्य है। इसलिए यह बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में स्थित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर सत्य या असत्य निर्धारित करें। / For the point �(0,0)�, we get �x+y=0+0=0�. Thus the inequality becomes �0\geq 2�, which is false. Therefore, the point does not lie in the solution region. Exam tip: To test a point, substitute its coordinates into the inequality and check whether the resulting statement is true.
बिंदु \((0,0)\) के निर्देशांकों को असमानता में रखने पर \(0+0\leq 4\), अर्थात् \(0\leq 4\), प्राप्त होता है। यह सत्य है, इसलिए बिंदु असमानता को संतुष्ट करता है। यह बिंदु सीमा \(x+y=4\) पर नहीं, बल्कि उसके द्वारा निर्धारित क्षेत्र के भीतर है। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांक सीधे असमानता में रखें। / Substituting the coordinates of \((0,0)\) gives \(0+0\leq 4\), or \(0\leq 4\), which is true. Therefore, the point satisfies the inequality. It is not on the boundary \(x+y=4\); it lies inside the solution region. In an exam, test a point by substituting its coordinates directly into the inequality.
B. सीमा-रेखा के दाईं ओर/To the right of the boundary line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x>-1\) में \(x\) का मान \(-1\) से बड़ा होना चाहिए। इसलिए ऊर्ध्वाधर सीमा-रेखा \(x=-1\) के दाईं ओर के सभी बिंदु हल होंगे। क्योंकि असमानता सख्त है, \(x=-1\) वाली सीमा-रेखा स्वयं हल में शामिल नहीं होगी। परीक्षा-युक्ति: \(x>a\) के लिए संख्या-रेखा पर \(a\) के दाईं ओर का भाग चुना जाता है। / In \(x>-1\), the value of \(x\) must be greater than \(-1\). Therefore, all points to the right of the vertical boundary line \(x=-1\) satisfy the inequality. Since the inequality is strict, the boundary line itself is not included. Exam tip: For \(x>a\), select the region to the right of \(a\) on the number line.
सीमा रेखा \(x=5\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। \(x\leq 5\) का अर्थ है कि x-निर्देशांक 5 से कम या उसके बराबर होना चाहिए, इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के बाईं ओर होगा और सीमा रेखा भी इसमें शामिल होगी। दाईं ओर का क्षेत्र \(x>5\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=a\) में \(x\leq a\) के लिए बाईं ओर और \(x\geq a\) के लिए दाईं ओर छायांकन करें। / The boundary line \(x=5\) is vertical. The inequality \(x\leq 5\) requires the x-coordinate to be 5 or less, so the solution region lies to the left of the line and includes the boundary. The right side represents \(x>5\). Exam tip: for a vertical line \(x=a\), shade left for \(x\leq a\) and right for \(x\geq a\).
असमानता \(y<-2\) में \(y\) का मान \(-2\) से कम होना चाहिए। सीमा रेखा \(y=-2\) एक क्षैतिज रेखा है, इसलिए इसके नीचे के सभी बिंदु हल देते हैं। चूँकि असमानता सख्त है, सीमा रेखा स्वयं शामिल नहीं होती और उसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दर्शाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\) की तुलना स्थिर संख्या से हो तो क्षैतिज सीमा रेखा बनाकर ऊपर या नीचे का क्षेत्र चुनें। / In \(y<-2\), the value of \(y\) must be less than \(-2\). The boundary \(y=-2\) is a horizontal line, so all points below it satisfy the inequality. Because the inequality is strict, the boundary line itself is not included and is usually drawn dashed. Exam tip: when \(y\) is compared with a constant, draw a horizontal boundary and choose the region above or below it.
A. रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित/Above and including the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\geq 3\) में \(y\) का मान 3 या उससे अधिक होना चाहिए। इसकी सीमा-रेखा \(y=3\) है और \(\geq\) के कारण यह रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित होगा। ध्यान रखें: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-रेखा को ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। / In \(y\geq 3\), the value of \(y\) must be 3 or greater. The boundary is the line \(y=3\), and because the inequality is \(\geq\), the boundary line is included in the solution. Hence, the region is above and including the line. Exam tip: use a solid boundary line for \(\geq\) or \(\leq\), and a dashed line for strict inequalities.
इस असमानता की सीमा रेखा \(2x-y=4\) है। चूँकि चिह्न \(<\) सख्त असमानता दर्शाता है, इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल-समुच्चय में शामिल नहीं होते और रेखा टूटी हुई खींची जाती है। ठोस रेखा \(\leq\) या \(\geq\) जैसी असमानताओं के लिए प्रयुक्त होती है। परीक्षा-युक्ति: < या > के लिए टूटी हुई, जबकि ≤ या ≥ के लिए ठोस सीमा रेखा बनाइए। / The boundary equation for this inequality is \(2x-y=4\). Since the symbol \(<\) represents a strict inequality, points on the boundary are not included in the solution set, so the boundary is drawn as a dashed line. A solid line is used for inequalities such as \(\leq\) or \(\geq\). Exam tip: use a dashed line for < or > and a solid line for ≤ or ≥.
चिह्न \(\leq\) होने पर सीमा रेखा भी हल में आती है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा का प्रकार देखें। / For \(\leq\), the boundary line is included in the solution. In exams, first check the boundary line type.
B. रेखा (x=1) के दाएँ और (y=2) के ऊपर/right of (x=1) and above (y=2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 1\) दाईं ओर और \(y\geq 2\) ऊपर का क्षेत्र देता है। दोनों का सामान्य भाग ही संयुक्त हल है। / \(x\geq 1\) gives the region to the right and \(y\geq 2\) gives the region above. Their common part is the combined solution.
C. यह सीमा रेखा पर है लेकिन हल में नहीं है/it is on the boundary but not in solution
Explanation
Simple Explanation
(2(4)+2=10), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है। (>) में बराबरी शामिल नहीं होती। / (2(4)+2=10), so the point is on the boundary line. Equality is not included in (>).
A. मूल बिंदु वाली ओर छायांकन होगा/shade the side containing the origin
Explanation
Simple Explanation
\(0\leq \frac{0}{2}+2\) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर हल क्षेत्र होगा। / \(0\leq \frac{0}{2}+2\) is true. So the solution region is on the side containing the origin.
\(-3y\geq 6-x\) से \(y\leq \frac{x-6}{3}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-3y\geq 6-x\), we get \(y\leq \frac{x-6}{3}\). The inequality sign changes when dividing by a negative number.
सीमा रेखा (4x+3y=12) है। (y=0) रखने पर (x=3) और (x=0) रखने पर (y=4) मिलता है। / The boundary line is (4x+3y=12). Putting (y=0) gives (x=3) and putting (x=0) gives (y=4).
किसी बिंदु के हल क्षेत्र में होने के लिए उसके निर्देशांकों को असमानता x+2y>4 में रखने पर परिणाम 4 से बड़ा होना चाहिए। विकल्प D के लिए 1+2(3)=7, और 7>4 है, इसलिए (1,3) हल क्षेत्र में है। विकल्प B में 1+2(1)=3 आता है, जो 4 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: सख्त असमानता > में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / A point lies in the solution region if substituting its coordinates into x+2y>4 gives a value greater than 4. For option D, 1+2(3)=7, and 7>4, so (1,3) lies in the solution region. For option B, 1+2(1)=3, which is not greater than 4. Exam tip: For the strict inequality >, points on the boundary line are not included.
A. प्रथम चतुर्थांश में सीमा रेखा के नीचे/in first quadrant below the boundary line
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) प्रथम चतुर्थांश देते हैं। \(2x+y\leq 4\) रेखा के नीचे का भाग चुनता है। / \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) give the first quadrant. \(2x+y\leq 4\) selects the part below the line.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(3x+y\geq 6\) मिलता है। सरल रूप से ग्राफ जल्दी बनता है। / Dividing both sides by (2) gives \(3x+y\geq 6\). A simplified form makes graphing quicker.
A. ऊपरी आधे समतल और क्षैतिज अक्ष को/upper half-plane including horizontal axis
Explanation
Simple Explanation
\(y\geq 0\) में (y) शून्य या धनात्मक है। इसलिए क्षैतिज अक्ष सहित ऊपर का क्षेत्र मिलता है। / In \(y\geq 0\), (y) is zero or positive. So the region above including the horizontal axis is obtained.
B. बाएँ आधे समतल और ऊर्ध्वाधर अक्ष को/left half-plane including vertical axis
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 0\) में (x) शून्य या ऋणात्मक होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर अक्ष सहित बायाँ भाग लिया जाता है। / In \(x\leq 0\), (x) is zero or negative. So the left part including the vertical axis is taken.
