Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ (D=4r-2-4\(r^2+25\)=-100) है। इसलिए किसी भी वास्तविक (r) के लिए वास्तविक मूल नहीं होंगे। / Here (D=4r-2-4\(r^2+25\)=-100). Therefore for any real (r), real roots will not exist.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2-4\(r^2-49\)=196) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=4r-2-4\(r^2-49\)=196). A positive perfect-square discriminant gives rational distinct roots.
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2+16\)=-64) है। ऋणात्मक विविक्तकर हमेशा वास्तविक मूलों को असंभव करता है। / Here (D=4p-2-4\(p^2+16\)=-64). A negative discriminant always makes real roots impossible.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-25\)=100) है। (100) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=4p-2-4\(p^2-25\)=100). (100) is a positive perfect square, so roots are rational and distinct.
यहाँ (D=(a+b)2-4ab=(a-b)2) है। \(a\neq b\) होने पर (D>0), इसलिए मूल असमान वास्तविक हैं। / Here (D=(a+b)2-4ab=(a-b)2). Since \(a\neq b\), (D>0), so the roots are distinct real roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2a+1)2-4a(a+1)=1) है। इसलिए (a) के हर मान पर मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(2a+1)2-4a(a+1)=1). Thus for every value of (a), the roots are rational and distinct.
यहाँ (D=4r-2-4\(r^2+9\)=-36) है। ऋणात्मक (D) हमेशा कोई वास्तविक मूल नहीं देता। / Here (D=4r-2-4\(r^2+9\)=-36). A negative (D) always gives no real roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2-4\(r^2-16\)=64) है। (64) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=4r-2-4\(r^2-16\)=64). (64) is a positive perfect square, so roots are rational and distinct.
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-q^2\)=4q-2>0) है। इसलिए दो असमान वास्तविक मूल मिलेंगे। / Here (D=4p-2-4\(p^2-q^2\)=4q-2>0). Therefore two distinct real roots will exist.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{31}{8}\right\)2-\frac{15}{2}=\frac{481}{64}) है। परीक्षा में भिन्नों को समान हर में बदलें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{31}{8}\right\)2-\frac{15}{2}=\frac{481}{64}). In exams, convert fractions to a common denominator.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{25}{7}\right\)2-\frac{48}{7}=\frac{289}{49}) है। परीक्षा में भिन्नों को समान हर में बदलें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{25}{7}\right\)2-\frac{48}{7}=\frac{289}{49}). In exams, convert fractions to a common denominator.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{17}{5}\right\)2-\frac{24}{5}=\frac{169}{25}) है। परीक्षा में भिन्नों को समान हर में बदलें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{17}{5}\right\)2-\frac{24}{5}=\frac{169}{25}). In exams, convert fractions to a common denominator.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{13}{4}\right\)2-3=\frac{121}{16}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग इस पहचान से निकालें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{13}{4}\right\)2-3=\frac{121}{16}). In exams, use this identity for the square of difference.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{11}{3}\right\)2-8=\frac{49}{9}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग इस पहचान से निकालें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{11}{3}\right\)2-8=\frac{49}{9}). In exams, use this identity for the square of difference.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग सीधे इस पहचान से निकालें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}). In exams, use this identity for square of difference.
(49x-2-42x+9=(7x-3)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में \(2\cdot7x\cdot3=42x\) जांचें। / (49x-2-42x+9=(7x-3)2), so it is a perfect square. In exams, check \(2\cdot7x\cdot3=42x\).
(36x-2-60x+25=(6x-5)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ((a-b)2) का पैटर्न पहचानें। / (36x-2-60x+25=(6x-5)2), so it is a perfect square. In exams, recognize the pattern ((a-b)2).
(25x-2-20x+4=(5x-2)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में \(2\cdot5x\cdot2=20x\) जांचें। / (25x-2-20x+4=(5x-2)2), so it is a perfect square. In exams, check \(2\cdot5x\cdot2=20x\).
(16x-2-24x+9=(4x-3)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ((a-b)2) का पैटर्न पहचानें। / (16x-2-24x+9=(4x-3)2), so it is a perfect square. In exams, recognize the pattern ((a-b)2).
(9x-2-30x+25=(3x-5)2) है। परीक्षा में \(2\cdot3x\cdot5=30x\) से पैटर्न जांचें। / (9x-2-30x+25=(3x-5)2). In exams, check the pattern using \(2\cdot3x\cdot5=30x\).
\(144=12^2\), इसलिए यह वर्गों के अंतर का रूप है। परीक्षा में सही पहचान चुनना सबसे तेज तरीका है। / \(144=12^2\), so it is a difference of squares form. In exams, choosing the correct identity is the fastest method.
\(100=10^2\), इसलिए यह वर्गों के अंतर का रूप है। परीक्षा में सही पहचान चुनना सबसे तेज तरीका है। / \(100=10^2\), so it is a difference of squares form. In exams, choosing the correct identity is the fastest method.
\(x^2-1=x^2-1^2\), इसलिए वर्गों के अंतर का नियम लागू होता है। परीक्षा में गलत पहचान से बचें। / \(x^2-1=x^2-1^2\), so the difference of squares rule applies. In exams, avoid wrong pattern recognition.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) होता है। इसलिए (\(\alpha-\beta\)2+4\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2=100)। / We know (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Hence (\(\alpha-\beta\)2+4\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2=100).
(x=4) रखने पर (16-4(a+4)+4a=0) मिलता है। अतः (4) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) होती है। / Putting (x=4) gives (16-4(a+4)+4a=0). Hence (4) is always one root and the other root is (a).
यहां \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=5\) है। (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=20) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=5\). (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=20).
यहां \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=45\) है। \(\alpha^2+\beta^2=196-90=106\) इसलिए मान \(\frac{106}{45}\) है। / Here \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=45\). \(\alpha^2+\beta^2=196-90=106\), so the value is \(\frac{106}{45}\).
(\alpha-2\beta-2=\(\alpha\beta\)2) होता है। यहां \(\alpha\beta=12\) इसलिए मान (144) है। / (\alpha-2\beta-2=\(\alpha\beta\)2). Here \(\alpha\beta=12\), so the value is (144).
यहां \(\alpha+\beta=-2\) और \(\alpha\beta=-2\) है। (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=6) है। / Here \(\alpha+\beta=-2\) and \(\alpha\beta=-2\). (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=6).
