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समान आधार वाली घातों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं: \(2^1\times2^2=2^{1+2}=2^3=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। 4 केवल \(2^2\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) नियम केवल समान आधार होने पर लागू करें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(2^1\times2^2=2^{1+2}=2^3=8\). Therefore, the correct answer is 8. The value 4 is only \(2^2\), so it is not correct. Exam tip: use \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) only when the bases are the same.
यहाँ 2 को 6 बार गुणा किया जाता है: \(2^6=2\times2\times2\times2\times2\times2=64\)। इसलिए सही उत्तर 64 है। 32, \(2^5\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: घात \(n\) का अर्थ है कि आधार का गुणन \(n\) बार किया जाता है। / Here, 2 is multiplied by itself 6 times: \(2^6=2\times2\times2\times2\times2\times2=64\). Therefore, 64 is correct. The nearby distractor 32 equals \(2^5\), not \(2^6\). Exam tip: an exponent \(n\) tells how many times the base is used as a factor.
शून्येतर किसी भी संख्या के लिए शून्य घात का नियम है: \(a^0=1\)। अतः \(1^0=1\)। विकल्प 0 तब मिलता है जब आधार 0 हो, लेकिन \(0^0\) सामान्यतः अपरिभाषित/अनिर्धारित माना जाता है; यहाँ आधार 1 है। परीक्षा टिप: \(a^0\) में घात 0 देखकर सीधे 0 न लिखें। / For any non-zero number, the zero-exponent rule is \(a^0=1\). Therefore, \(1^0=1\). Option 0 is not correct; \(0^0\) is generally treated as undefined/indeterminate, but the base here is 1. Exam tip: Do not write 0 merely because the exponent is 0.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: \(3^2\times 3^1=3^{2+1}=3^3=27\)। इसलिए सही उत्तर 27 है। \(9\) केवल \(3^2\) का मान है, जबकि \(81\) \(3^4\) के बराबर है। परीक्षा टिप: \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) नियम केवल समान आधार होने पर लागू करें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(3^2\times 3^1=3^{2+1}=3^3=27\). Therefore, 27 is correct. \(9\) is only the value of \(3^2\), whereas \(81\) equals \(3^4\). Exam tip: use \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) only when the bases are the same.
घातांक 2 का अर्थ है कि 7 को स्वयं से दो बार गुणा करना है: \(7^2 = 7 \times 7 = 49\)। इसलिए सही उत्तर 49 है। 14, \(7+7\) का परिणाम है, वर्ग का नहीं। परीक्षा टिप: \(a^2\) को हमेशा \(a \times a\) के रूप में लिखकर हल करें। / An exponent of 2 means multiplying 7 by itself: \(7^2 = 7 \times 7 = 49\). Therefore, 49 is the correct answer. The value 14 comes from \(7+7\), not from squaring 7. Exam tip: Rewrite \(a^2\) as \(a \times a\) before calculating.
किसी भी अशून्य संख्या की शून्य घात 1 होती है। इसलिए \(5^0=1\)। 0 उत्तर तभी समझ में आता है जब घातांक के नियम को गलत लागू किया जाए; यहाँ आधार 5 अशून्य है। परीक्षा टिप: \(a^0=1\) केवल \(a\ne0\) के लिए याद रखें। / Any non-zero number raised to the power 0 equals 1. Therefore, \(5^0=1\). Choosing 0 is a common error from applying exponent rules incorrectly; here the base, 5, is non-zero. Exam tip: remember that \(a^0=1\) only when \(a\ne0\).
घातांक 3 का अर्थ है कि 10 को तीन बार गुणा किया जाता है: \(10^3=10\times10\times10=1000\)। इसलिए सही उत्तर 1000 है। 100, \(10^2\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(a^n\) में n बताता है कि a को कितनी बार गुणा करना है। / An exponent of 3 means that 10 is multiplied by itself three times: \(10^3=10\times10\times10=1000\). Therefore, 1000 is correct. The value 100 is a close distractor because it equals \(10^2\), not \(10^3\). Exam tip: In \(a^n\), n tells how many times a is used as a factor.
घातांक 4 का अर्थ है कि 2 को चार बार गुणा किया जाता है: \(2^4=2\times2\times2\times2=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। 8, \(2^3\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(a^n\) में आधार \(a\) को स्वयं से \(n\) बार गुणा करें। / An exponent of 4 means that 2 is multiplied by itself four times: \(2^4=2\times2\times2\times2=16\). Therefore, 16 is the correct answer. The value 8 is \(2^3\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: in \(a^n\), multiply the base \(a\) by itself \(n\) times.
घातांक का नियम है: किसी भी संख्या की घात 1 होने पर उसका मान वही संख्या रहता है। इसलिए \(7^1=7\)। विकल्प 1, \(7^0\) का मान होता है, जबकि 49, \(7^2\) का मान है। परीक्षा टिप: \(a^1=a\) और \(a^0=1\), जहाँ \(a\ne0\), को अलग-अलग याद रखें। / By the exponent rule, any number raised to the power 1 remains the same number. Therefore, \(7^1=7\). Option 1 is the value of \(7^0\), while 49 is the value of \(7^2\). Exam tip: Remember \(a^1=a\) and \(a^0=1\), where \(a\ne0\), as different rules.
घातांक 2 का अर्थ है कि 4 को स्वयं से दो बार गुणा किया जाए: \(4^2=4\times4=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। 8, 4 का दोगुना है, वर्ग नहीं। परीक्षा टिप: \(a^2\) को हमेशा \(a\times a\) के रूप में लिखकर जाँचें। / An exponent of 2 means multiplying 4 by itself: \(4^2=4\times4=16\). Therefore, 16 is correct. The number 8 is twice 4, not its square. Exam tip: Check \(a^2\) by writing it as \(a\times a\).
यहाँ 5 का घातांक 2 है, इसलिए इसका अर्थ है कि 5 को स्वयं से दो बार गुणा किया जाए: \(5^2=5\times5=25\)। विकल्प 10, 5 और 2 का गुणनफल है, लेकिन वह \(5^2\) का मान नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^2\) का अर्थ हमेशा \(a\times a\) होता है। / The exponent 2 means that 5 is multiplied by itself: \(5^2=5\times5=25\). Option 10 is the product of 5 and 2, but it is not the value of \(5^2\). Exam tip: \(a^2\) always means \(a\times a\).
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{7}\times\sqrt{63}=\sqrt{7\times63}=\sqrt{441}=21\)। अतः सही विकल्प 21 है। 22 निकट का विकल्प है, लेकिन \(22^2=484\) होता है, 441 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करने से पहले मूलांकों को एक ही वर्गमूल के भीतर गुणा करें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Hence, \(\sqrt{7}\times\sqrt{63}=\sqrt{7\times63}=\sqrt{441}=21\). Therefore, 21 is the correct option. Although 22 is close, \(22^2=484\), not 441. Exam tip: When multiplying square roots, first combine the radicands under one square root.
\(\frac{9}{2}=4.5\) है, और 4.5 पूर्णांक नहीं है क्योंकि पूर्णांक दशमलव या भिन्न के रूप में नहीं होते। जबकि \(-8\), \(0\) और \(\sqrt{121}=11\) सभी पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले विकल्प को पहले सरल करके देखें; यदि उसका मान पूर्ण संख्या हो, तो वह पूर्णांक है। / \(\frac{9}{2}=4.5\), which is not an integer because integers do not have a fractional or decimal part. In contrast, \(-8\), \(0\), and \(\sqrt{121}=11\) are all integers. Exam tip: simplify a square-root option first; if its value is a whole number, it is an integer.
B. दशमलव प्रसार सांत होगा यदि और केवल यदि \(q=2^m5^n\), जहाँ \(m,n\) अशून्येतर पूर्णांक हैं।/The decimal expansion terminates if and only if \(q=2^m5^n\), where \(m,n\) are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
जब \(p/q\) सरलतम रूप में हो, तो उसका दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब हर \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों; अर्थात \(q=2^m5^n\)। यदि हर में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड हो, तो दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होता है, पर संख्या फिर भी परिमेय रहती है। इसलिए विकल्प C और D गलत हैं। परीक्षा टिप: दशमलव प्रसार जाँचने से पहले भिन्न को हमेशा सरलतम रूप में लिखें। / When \(p/q\) is in lowest terms, its decimal expansion terminates exactly when the denominator \(q\) has only 2 and 5 as prime factors, that is, \(q=2^m5^n\). If the denominator has any other prime factor, the decimal expansion is non-terminating recurring, but the number is still rational. Hence options C and D are incorrect. Exam tip: Always reduce a fraction to lowest terms before checking its decimal expansion.
\(6x\) और \(6y\) के चर भाग क्रमशः \(x\) और \(y\) हैं, जो अलग-अलग हैं। इसलिए ये असमान पद हैं। समान पदों में चर और प्रत्येक चर की घात समान होनी चाहिए; गुणांक अलग हो सकते हैं। परीक्षा टिप: पदों की तुलना करते समय पहले चर और उनकी घात जाँचें, गुणांक नहीं। / The variable parts of \(6x\) and \(6y\) are \(x\) and \(y\), respectively, so they are different. Therefore, these are unlike terms. Like terms must have the same variables with the same powers, although their coefficients may differ. Exam tip: compare the variables and their exponents before comparing coefficients.
संख्या 8 का मान निश्चित होता है और इसमें कोई चर नहीं होता, इसलिए यह स्थिरांक है। चर, जैसे x, अलग-अलग मान ले सकता है। द्विपद में दो पद होते हैं, इसलिए केवल 8 को द्विपद नहीं कहा जा सकता। परीक्षा में किसी अकेली निश्चित संख्या को स्थिरांक पहचानें। / The number 8 has a fixed value and contains no variable, so it is a constant. A variable, such as x, can take different values. A binomial has two terms, so 8 alone is not a binomial. In exams, identify a standalone fixed number as a constant.
\(9y\) और \(4y\) समान पद हैं, क्योंकि दोनों में \(y\) की घात 1 है। अतः उनके गुणांकों को घटाते हैं: \(9y-4y=(9-4)y=5y\)। \(13y\) गुणांकों को जोड़ने पर मिलता, जबकि यहाँ घटाव है। \(5\) में चर \(y\) छूट जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: समान पदों को जोड़ते या घटाते समय चर और उसकी घात को अपरिवर्तित रखें। / \(9y\) and \(4y\) are like terms because both contain \(y\) to the first power. Subtract their coefficients: \(9y-4y=(9-4)y=5y\). \(13y\) would result from adding the coefficients, whereas the expression involves subtraction. \(5\) incorrectly leaves out the variable \(y\). Exam tip: when adding or subtracting like terms, retain the variable and its exponent.
\(x\) को अकेला करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों से 4 घटाएँ: \(x+4-4=9-4\)। अतः \(x=5\), इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C का 9 केवल समीकरण का दायाँ पक्ष है, \(x\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त मान को मूल समीकरण में रखकर जाँच करें—\(5+4=9\)। / Subtract 4 from both sides to isolate \(x\): \(x+4-4=9-4\). Therefore, \(x=5\), so option B is correct. Option C, 9, is the right-hand side of the equation, not the value of \(x\). Exam tip: verify the answer by substituting it back into the original equation: \(5+4=9\).
