Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले तीन विकल्पों में (d=-9) है, लेकिन \(70,62,54,46,\ldots\) में (d=-8) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों जांचें। / The first three options have (d=-9), but \(70,62,54,46,\ldots\) has (d=-8). Check both value and sign in the options.
मध्य पद \(b=\frac{-6+18}{2}=6\), इसलिए (b-a=6-(-6)=12)। तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{-6+18}{2}=6\), so (b-a=6-(-6)=12). In three terms, the middle term is the average.
मूल (d=3) है और (4n) का (d=4) है, इसलिए नया (d=3-4=-1)। पद संख्या आधारित बदलाव में अंतरों को भी बदलें। / The original (d=3), and (4n) has (d=4), so the new (d=3-4=-1). In term-number based changes, change the differences too.
(2(4v+1)=(3v-4)+(6v-1)) से (8v+2=9v-5), इसलिए (v=7)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाकर चर निकालें। / From (2(4v+1)=(3v-4)+(6v-1)), (8v+2=9v-5), so (v=7). Use the twice-middle-term rule to find the variable.
\(15-\frac{5}{2}=\frac{25}{2}\) और आगे भी \(-\frac{5}{2}\) जुड़ता है। (a) और (d) दोनों शर्तें साथ जांचें। / \(15-\frac{5}{2}=\frac{25}{2}\), and \(-\frac{5}{2}\) continues to be added. Check both (a) and (d) conditions together.
(7+3d=34) से (d=9), इसलिए दूसरा पद (7+d=16) है। पहले (d) निकालकर मांगा गया पद बनाएं। / From (7+3d=34), (d=9), so the second term is (7+d=16). First find (d) and then form the required term.
C. अंकगणितीय श्रेणी नहीं क्योंकि अंतर समान नहीं हैं/Not an arithmetic progression because differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद (9,49,121) हैं और अंतर (40,72) हैं, जो समान नहीं हैं। वर्ग करने से सामान्यतः अंकगणितीय श्रेणी सुरक्षित नहीं रहती। / The new terms are (9,49,121), and the differences are (40,72), which are not equal. Squaring generally does not preserve an arithmetic progression.
मूल (d=6) है और \(-\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर नया (d=-2) होगा। गुणक सीधे सार्व अंतर पर भी लागू होता है। / The original (d=6), and multiplying by \(-\frac{1}{3}\) gives new (d=-2). The multiplier applies directly to the common difference too.
(2(x+9)=2x+18) से पहचान समानता मिलती है, इसलिए यह हर (x) पर अंकगणितीय श्रेणी है। इस कारण एकमात्र (x) नहीं मिलता। / (2(x+9)=2x+18) gives an identity, so it is an arithmetic progression for every (x). Therefore no single value of (x) is obtained.
दोनों क्रमागत अंतर (6) और (6) हैं, इसलिए यह हर (x) के लिए अंकगणितीय श्रेणी है। चर तय करने से पहले अंतर सरल करें। / Both consecutive differences are (6) and (6), so it is an arithmetic progression for every (x). Simplify differences before fixing the variable.
पहले दो अंतर (5,5) हैं, पर (20-14=6) है। सभी उपलब्ध क्रमागत अंतर जांचना जरूरी है। / The first two differences are (5,5), but (20-14=6). It is necessary to check all available consecutive differences.
मूल (d=6) है और (n) का अंतर (1) है, इसलिए नया (d=6-1=5)। पद संख्या घटाने पर उसका अंतर भी घटता है। / The original (d=6), and (n) has difference (1), so the new (d=6-1=5). When subtracting term number, its difference is also subtracted.
नए पद (a+2, a+d+4, a+2d+6) हैं और दोनों अंतर (d+2) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (2) भी (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+2, a+d+4, a+2d+6), and both differences are (d+2). The difference (2) of the added numbers is also added to (d).
दूसरे से पांचवें पद तक (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-18) और (d=-6)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रहता है। / From the second to the fifth term there are (3) gaps, so (3d=-18) and (d=-6). In a decreasing progression, (d) remains negative.
तीसरे से सातवें पद तक (4) अंतर होते हैं, इसलिए (4d=28) और (d=7)। पदों की दूरी को अंतरालों की संख्या में बदलें। / From the third to the seventh term there are (4) gaps, so (4d=28) and (d=7). Convert term distance into number of gaps.
((u-2)-(u-8)=6) और ((u+4)-(u-2)=6) है। चर कटने पर स्थिर सार्व अंतर मिलता है। / ((u-2)-(u-8)=6) and ((u+4)-(u-2)=6). When variables cancel, a constant common difference remains.
(1.35-0.80=0.55) और (1.90-1.35=0.55) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना सुरक्षित रहता है। / (1.35-0.80=0.55) and (1.90-1.35=0.55). Adding zeros makes decimal subtraction safer.
(-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}) और अगला अंतर भी \(\frac{3}{4}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव सावधानी से करें। / (-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}), and the next difference is also \(\frac{3}{4}\). Be careful while subtracting negative fractions.
पहले अनुक्रम का (d=-6) और दूसरे का (d=5) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=-6-5=-11)। पद-दर-पद घटाव में (d) भी घटते हैं। / The first sequence has (d=-6) and the second has (d=5), so the difference sequence has (d=-6-5=-11). In termwise subtraction, the common differences also subtract.
पहले अनुक्रम का (d=5) और दूसरे का (d=3) है, इसलिए योग अनुक्रम का (d=8)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The first sequence has (d=5) and the second has (d=3), so the sum sequence has (d=8). In termwise addition, common differences add.
मूल (d=-4) है और उलटे क्रम \(6,10,14,18,\ldots\) में (d=4) होगा। क्रम उलटने पर (d) का चिह्न बदल जाता है। / The original (d=-4), and in reverse order \(6,10,14,18,\ldots\), (d=4). Reversing the order changes the sign of (d).
क्रमागत अंतर (r,3r,5r) हैं, ये समान तभी होंगे जब (r=0)। ऐसे प्रश्नों में सभी क्रमागत अंतर लिखना जरूरी है। / The consecutive differences are (r,3r,5r), which are equal only when (r=0). In such questions it is necessary to write all consecutive differences.
(2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)) से (2a+8=6a-12), इसलिए (a=5)। मध्य पद को पहचानकर समीकरण बनाएं। / From (2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)), (2a+8=6a-12), so (a=5). Identify the middle term and form the equation.
मूल (d=-3) है और (2n) का अंतर (2) है, इसलिए नया (d=-3+2=-1)। पद संख्या वाले परिवर्तन में उसके अंतर को जोड़ें या घटाएं। / The original (d=-3), and the difference of (2n) is (2), so the new (d=-3+2=-1). For term-number changes, add or subtract its difference.
मूल (d=4) है, गुणा (3) करने से (d=12) होगा और समान (2) घटाने से (d) नहीं बदलेगा। समान जोड़-घटाव (d) को नहीं बदलता। / The original (d=4); multiplying by (3) makes (d=12), and subtracting the same (2) does not change (d). Equal addition or subtraction does not change (d).
कुल अंतर (29-5=24) तीन बराबर भागों में बंटता है, इसलिए (d=8), (x=13), (y=21)। दो खाली पदों में कुल अंतर को बराबर अंतरालों में बांटें। / The total difference (29-5=24) is split into three equal gaps, so (d=8), (x=13), and (y=21). For two missing terms, divide the total difference into equal gaps.
(2(3p+7)=(4p+1)+(p+19)) से (p=6), इसलिए पद (25,25,25) नहीं बनते बल्कि (25,25,25) बनते हैं और (d=0)। पहले चर निकालें फिर (d) जांचें। / Using (2(3p+7)=(4p+1)+(p+19)) gives (p=6), so the terms become (25,25,25) and (d=0). First find the variable and then check (d).
तीन क्रमागत पदों में मध्य पद का दुगुना बाकी दो पदों के योग के बराबर होता है, इसलिए (2(2x+5)=(3x-2)+(x+16)) से (x=2)। परीक्षा में मध्य पद नियम तेज तरीका है। / In three consecutive terms, twice the middle term equals the sum of the other two, so (2(2x+5)=(3x-2)+(x+16)) gives (x=2). The middle-term rule is a fast exam method.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both lines are the same and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (470/955) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (470/955) is different. Therefore, the system is inconsistent.
