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A. कुछ स्थानीय संघर्ष राष्ट्रीय नेतृत्व की रणनीति से अलग दिशा ले सकते थे/Some local struggles could move in a direction different from national leadership's strategy
Step 1
Concept
स्थानीय संघर्ष लोगों को जोड़ते थे। / Local struggles brought people into the movement.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन वे कभी-कभी नेतृत्व की अहिंसक और नियंत्रित योजना से आगे जा सकते थे। / But they could sometimes go beyond the leadership's non-violent and controlled plan.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में लाभ और जोखिम दोनों लिखें। / In exams, write both benefit and risk.
A. दोनों रणनीतियां अपने सामाजिक संदर्भ औपनिवेशिक प्रतिक्रिया और अंतरराष्ट्रीय परिस्थिति से प्रभावित थीं/Both strategies were shaped by social context colonial response and international conditions
Explanation
Simple Explanation
उपनिवेश मुक्ति में रणनीतियां क्षेत्रीय परिस्थितियों से बदलती थीं। परीक्षा में तुलना में संदर्भ जोड़ें। / Strategies of decolonization changed with regional conditions. For exams add context in comparison.
A. उपनिवेश मुक्ति में संघर्ष के तरीके देश की स्थिति के अनुसार बदलते हैं/Methods of decolonization change according to a country's situation
Explanation
Simple Explanation
भारत में अहिंसा प्रमुख रही जबकि अल्जीरिया में सशस्त्र संघर्ष मजबूत था। परीक्षा में तुलना आधारित तथ्य याद रखें। / Non violence was prominent in India while armed struggle was strong in Algeria. For exams remember comparative facts.
A. यह दिखाती है कि अलग परिस्थितियों में संघर्ष के तरीके अलग हो सकते हैं/It shows that methods of struggle can differ in different conditions
Explanation
Simple Explanation
भारत अल्जीरिया और वियतनाम जैसे उदाहरण अलग तरीके दिखाते हैं। परीक्षा में तुलना आधारित उत्तर मजबूत होते हैं। / Examples like India Algeria and Vietnam show different methods. For exams comparative answers are stronger.
A. सामूहिक पहचान और प्रतिरोध की भावना को मजबूत किया/They strengthened collective identity and spirit of resistance
Explanation
Simple Explanation
साहित्य और गीतों ने राष्ट्रवादी भावना को जनता तक पहुंचाया। परीक्षा में संस्कृति को आंदोलन का साधन मानें। / Literature and songs carried nationalist feeling to people. For exams treat culture as a tool of movement.
A. क्योंकि हर देश की परिस्थिति और औपनिवेशिक प्रतिक्रिया अलग थी/Because each country's situation and colonial response were different
Explanation
Simple Explanation
विभिन्न क्षेत्रों में स्वतंत्रता के तरीके अलग रहे। परीक्षा में भारत अल्जीरिया और वियतनाम की तुलना करें। / Methods of freedom differed across regions. For exams compare India Algeria and Vietnam.
A. उन्होंने स्वतंत्रता की मांग को व्यापक जन समर्थन दिया/They gave broad public support to the demand for freedom
Explanation
Simple Explanation
जन आंदोलनों ने आम लोगों को स्वतंत्रता संघर्ष से जोड़ा। परीक्षा में जनता की भूमिका को हमेशा याद रखें। / Mass movements connected common people with the freedom struggle. For exams always remember the role of people.
A. व्यक्तिगत विजय पर बने साम्राज्य में उत्तराधिकार संकट/Succession crisis in an empire built on personal conquest
Explanation
Simple Explanation
अलेक्जेंडर का साम्राज्य उनके बाद स्थिर राजनीतिक ढांचे में नहीं बचा। परीक्षा में विजय और संस्थागत स्थायित्व का अंतर समझें। / Alexander's empire did not survive as a stable political structure after him. For exams understand the difference between conquest and institutional durability.
हैती की सफलता ने अटलांटिक दुनिया में दासता और नस्लीय समानता पर बहस को तेज किया। परीक्षा में इसका प्रभाव केवल हैती तक सीमित न मानें। / Haiti's success intensified debates on slavery and racial equality in the Atlantic world. Exam tip: do not limit its impact only to Haiti.
A. लैटिन अमेरिकी स्वतंत्रता क्रांतियां/Latin American independence revolutions
Explanation
Simple Explanation
ये संघर्ष स्पेनी औपनिवेशिक शासन से मुक्ति की लैटिन अमेरिकी लहर का भाग थे। परीक्षा में बोलिवार को इस लहर से जोड़ें। / These struggles were part of the Latin American wave against Spanish colonial rule. Exam tip: link Bolivar with this wave.
भूयां और जुआंग प्रतिरोध ओडिशा के जनजातीय संघर्षों से जुड़ा था। इसे स्थानीय संसाधनों और स्वायत्तता के मुद्दे से जोड़ें। / Bhuyan and Juang resistance was linked with tribal struggles in Odisha. Connect it with issues of local resources and autonomy.
A. इसने फसल खराबी में लगान राहत की मांग को शांतिपूर्ण संघर्ष से जोड़ा/It linked the demand for revenue relief during crop failure with peaceful struggle
Step 1
Concept
खेड़ा में फसल खराब होने से किसान लगान नहीं दे पा रहे थे। / In Kheda crop failure made peasants unable to pay revenue.
Step 2
Why this answer is correct
गांधीजी ने उनकी मांग को सत्याग्रह से उठाया। / Gandhi raised their demand through satyagraha.
Step 3
Exam Tip
यह किसान समस्याओं को राष्ट्रीय राजनीति से जोड़ने का उदाहरण बना। / It became an example of linking peasant issues with national politics.
A. तेज गतिशील युद्ध धीमे और महंगे शहरी संघर्ष में बदल गया/Fast mobile war turned into slow and costly urban combat
Explanation
Simple Explanation
शहरी लड़ाई ने जर्मन गति और संसाधन दोनों को क्षीण किया। परीक्षा में स्थान की प्रकृति को युद्ध परिणाम से जोड़ें। / Urban fighting drained both German speed and resources. For exams connect the nature of place with battle outcome.
सामने का सपाट भाग द्वि आयामी आकार की तरह दिखता है। परीक्षा में सपाट दिखने वाले भाग को आकार समझें। / The flat front part appears as a two-dimensional shape. Exam tip: understand flat visible area as shape.
A. बीसवीं सदी की अभिनव अभिव्यंजक वास्तुकला/Innovative expressive architecture of the twentieth century
Explanation
Simple Explanation
सिडनी ओपेरा हाउस आधुनिक वास्तुकला और प्रदर्शन कला का प्रतीक है। परीक्षा में ऑस्ट्रेलिया और आधुनिक डिजाइन याद रखें। / Sydney Opera House is a symbol of modern architecture and performing arts. For exams remember Australia and modern design.
B. वियना सेसेशन और आधुनिक सजावटी कला/Vienna Secession and modern decorative art
Explanation
Simple Explanation
स्टॉकले पैलेस आधुनिक यूरोपीय सजावटी कला और वास्तुकला का उदाहरण है। परीक्षा में बीसवीं सदी प्रारंभ याद रखें। / Stoclet House is an example of modern European decorative art and architecture. For exams remember early twentieth century.
D. बीसवीं सदी की अभिनव अभिव्यंजक वास्तुकला/Innovative expressive architecture of the twentieth century
Explanation
Simple Explanation
सिडनी ओपेरा हाउस आधुनिक वास्तुकला और प्रदर्शन कला का प्रतीक है। परीक्षा में ऑस्ट्रेलिया और आधुनिक डिजाइन याद रखें। / Sydney Opera House is a symbol of modern architecture and performing arts. For exams remember Australia and modern design.
B. नवीन वास्तुकला और प्रदर्शन कला केंद्र के कारण/Because of innovative architecture and performing arts center
Explanation
Simple Explanation
सिडनी ओपेरा हाउस आधुनिक वास्तुकला और सांस्कृतिक प्रदर्शन का प्रतीक है। परीक्षा में ऑस्ट्रेलिया और आधुनिक डिजाइन याद रखें। / Sydney Opera House is a symbol of modern architecture and cultural performance. For exams remember Australia and modern design.
A. आधुनिक अभिव्यंजक वास्तुकला और सांस्कृतिक प्रदर्शन स्थल/Modern expressive architecture and cultural performance venue
Explanation
Simple Explanation
सिडनी ओपेरा हाउस आधुनिक वास्तुकला और प्रदर्शन कला का प्रसिद्ध प्रतीक है। परीक्षा में ऑस्ट्रेलिया और आधुनिक स्थापत्य याद रखें। / Sydney Opera House is a famous symbol of modern architecture and performing arts. For exams remember Australia and modern architecture.
सिडनी ओपेरा हाउस ऑस्ट्रेलिया का प्रसिद्ध आधुनिक वास्तु स्थल है। परीक्षा में इसे सिडनी शहर से जोड़ें। / Sydney Opera House is a famous modern architectural site in Australia. For exams connect it with Sydney city.
इंडिया हाउस 1905 में लंदन में स्थापित हुआ था। इसे विदेश में क्रांतिकारी गतिविधियों के केंद्र से याद रखें। / India House was founded in London in 1905. Remember it as a centre of revolutionary activities abroad.
पुराना संसद भवन नई दिल्ली में स्थित है। परीक्षा में इसे आधुनिक भारतीय लोकतंत्र की ऐतिहासिक इमारत से जोड़ें। / The old Parliament House is located in New Delhi. In exams connect it with the historical building of modern Indian democracy.
श्यामजी कृष्ण वर्मा इंडिया हाउस से जुड़े थे। परीक्षा में विदेशों में हुए स्वतंत्रता प्रयास याद रखें। / Shyamji Krishna Varma was associated with India House. Exam tip: remember freedom efforts abroad.
A. विदेशी भारतीय क्रांतिकारी गतिविधियाँ/Indian revolutionary activities abroad
Explanation
Simple Explanation
इंडिया हाउस लंदन में भारतीय क्रांतिकारी गतिविधियों का केंद्र था। परीक्षा में इसे श्यामजी कृष्ण वर्मा से जोड़ें। / India House in London was a centre of Indian revolutionary activities. Exam tip is to link it with Shyamji Krishna Varma.
श्यामजी कृष्ण वर्मा इंडिया हाउस से जुड़े थे। परीक्षा में विदेशी केंद्रों पर हुए राष्ट्रीय आंदोलन को याद रखें। / Shyamji Krishna Varma was associated with India House. Exam tip: remember nationalist activity in foreign centres.
पगडंडी रेखा की तरह आंख को दिशा देती है। परीक्षा में नजर के मार्ग को रेखा से जोड़ें। / The path acts like a line and directs the eye. Exam tip: connect visual path with line.
A. राजा और संसद में सर्वोच्च शक्ति किसकी होगी/Whether king or Parliament would hold supreme power
Explanation
Simple Explanation
इंग्लैंड का गृहयुद्ध राजा और संसद की शक्ति के संघर्ष से जुड़ा था। परीक्षा में इसे संवैधानिक राजतंत्र की पृष्ठभूमि मानें। / The English Civil War was linked with the power struggle between king and Parliament. For exams, treat it as background to constitutional monarchy.
इंग्लिश सिविल वॉर इंग्लैंड में राजसत्ता और संसद के संघर्ष से जुड़ा था। परीक्षा में इसे संवैधानिक विकास से जोड़ें। / The English Civil War was linked with conflict between monarchy and Parliament in England. For exams connect it with constitutional development.
B. अधिक व्यापक मताधिकार और कानून के सामने समानता/Wider suffrage and equality before law
Explanation
Simple Explanation
लेवलर अधिक राजनीतिक अधिकार और समान कानून की मांग करते थे। परीक्षा में इन्हें इंग्लैंड के जनवादी विचारों से जोड़ें। / The Levellers demanded wider political rights and equality before law. Exam tip: connect them with democratic ideas in England.
A. क्योंकि इससे संसद और राजा के बीच सत्ता संघर्ष ने राजसत्ता को सीमित किया/Because the power struggle between Parliament and the king limited royal authority
Explanation
Simple Explanation
इंग्लैंड के गृहयुद्ध ने राजाओं की निरंकुश शक्ति पर प्रश्न उठाया। परीक्षा में इसे संसद बनाम राजसत्ता से जोड़ें। / The English Civil War questioned the absolute power of kings. Exam tip: link it with Parliament versus royal authority.
अंग्रेजी शिक्षा अधिनियम 1835 ईस्वी में पारित हुआ। इसे भारत में आधुनिक अंग्रेजी शिक्षा के प्रसार से जोड़ें। / The English Education Act was passed in 1835 CE. Link it with the spread of modern English education in India.
A. व्यापारिक अनुमति प्राप्त करने/To obtain trading permission
Explanation
Simple Explanation
सर टॉमस रो मुगल दरबार में व्यापारिक अधिकारों के लिए आया था। जहांगीर काल में यूरोपीय व्यापार को ध्यान से पढ़ें। / Sir Thomas Roe came to the Mughal court for trading privileges. Study European trade carefully during Jahangir's reign.
अंग्रेजों ने सूरत में अपनी शुरुआती फैक्ट्री स्थापित की। परीक्षा में सूरत को प्रारंभिक अंग्रेजी व्यापार से जोड़ें। / The English established an early factory at Surat. Exam tip is to link Surat with early English trade.
A. यह पश्चिमी तट पर प्रारंभिक व्यापारिक आधार बनी/It became an early trading base on the western coast
Explanation
Simple Explanation
सूरत से अंग्रेजी व्यापार को पश्चिमी भारत में आधार मिला। परीक्षा में जहांगीर काल और अंग्रेजी व्यापार याद रखें। / Surat gave English trade a base in western India. For exams, remember Jahangir's period and English trade.
A. घर की बाहरी रूपरेखा बनाना/Drawing outer outline of a house
Explanation
Simple Explanation
बाहरी रूपरेखा सीमा दिखाती है। परीक्षा में outline को object boundary समझें। / Outer outline shows boundary. Exam tip: understand outline as object boundary.
A. राजा की शक्ति सीमित हुई और संसद मजबूत हुई/Royal power was limited and Parliament strengthened
Explanation
Simple Explanation
बिल ऑफ राइट्स ने संसद की प्रधानता और नागरिक अधिकारों को मजबूत किया। परीक्षा में इसे संवैधानिक विकास से जोड़ें। / The Bill of Rights strengthened parliamentary supremacy and civil rights. For exams, connect it with constitutional development.
फ्रेंच संयुक्त राष्ट्र की आधिकारिक भाषाओं में शामिल है। परीक्षा में आधिकारिक भाषाएं सूची रूप में याद रखें। / French is included among the official languages of the UN. Exam tip: memorize the official languages as a list.
अंग्रेजी ईस्ट इंडिया कंपनी को 1600 ईस्वी में चार्टर मिला था। इसे भारत में अंग्रेजी व्यापार की शुरुआत से जोड़ें। / The English East India Company received its charter in 1600 CE. Link it with the beginning of English trade in India.
अंग्रेजों को मद्रास क्षेत्र 1639 ईस्वी में मिला था। इसे फोर्ट सेंट जॉर्ज और दक्षिण भारत में अंग्रेजी व्यापार से जोड़ें। / The English acquired the Madras area in 1639 CE. Link it with Fort St George and English trade in South India.
कैप्टन हॉकिन्स 1608 ईस्वी में सूरत पहुँचा था। इसे मुगल दरबार में अंग्रेजी संपर्क की शुरुआत से जोड़ें। / Captain Hawkins reached Surat in 1608 CE. Link it with early English contact with the Mughal court.
अंग्रेजी ईस्ट इंडिया कंपनी को 1600 ईस्वी में चार्टर मिला था। इसे भारत में अंग्रेजी व्यापारिक विस्तार की शुरुआत से जोड़ें। / The English East India Company received its charter in 1600 CE. Link it with the beginning of English commercial expansion in India.
ईस्ट इंडिया कंपनी को 1600 में राजपत्र मिला। परीक्षा में कंपनी की स्थापना वर्ष को अच्छी तरह याद रखें। / The East India Company received its charter in 1600. For exams remember the Company's foundation year clearly.
A. व्यापारिक कर छूट का दुरुपयोग/Misuse of trade tax exemption
Explanation
Simple Explanation
मीर कासिम अंग्रेजों के व्यापारिक कर छूट के दुरुपयोग से नाराज था। बक्सर युद्ध की पृष्ठभूमि में यह कारण महत्वपूर्ण है। / Mir Qasim was angry at the English misuse of trade tax exemptions. This cause is important in the background of the Battle of Buxar.
मीर कासिम बंगाल का नवाब था और अंग्रेजों से संघर्ष में जुड़ा था। परीक्षा में बक्सर युद्ध का संदर्भ याद रखें। / Mir Qasim was the Nawab of Bengal and was linked with conflict against the English. Remember the Battle of Buxar context in exams.
मीर कासिम ने राजधानी मुंगेर स्थानांतरित की और सेना को संगठित किया। बक्सर युद्ध की पृष्ठभूमि में यह तथ्य याद रखें। / Mir Qasim shifted his capital to Munger and reorganized his army. Remember this fact in the background of the Battle of Buxar.
सिराजुद्दौला प्लासी के युद्ध में पराजित हुआ। बंगाल में कंपनी सत्ता की शुरुआत के लिए यह युद्ध महत्वपूर्ण है। / Siraj ud Daulah was defeated in the Battle of Plassey. This battle is important for the beginning of Company power in Bengal.
आजाद हिंद फौज को इंडियन नेशनल आर्मी कहा जाता है। परीक्षा में संक्षिप्त नाम आई एन ए भी याद रखें। / Azad Hind Fauj is called the Indian National Army. Exam tip: also remember the short form INA.
A. औपनिवेशिक शासन भारतीय जनमत से भयभीत था/Colonial rule feared Indian public opinion
Explanation
Simple Explanation
भारतीय भाषाओं का प्रेस जनता में राजनीतिक चेतना फैला रहा था। परीक्षा में प्रेस और राष्ट्रवाद का संबंध समझें। / The Indian-language press was spreading political consciousness among people. Exam tip: understand the relation between press and nationalism.
A. इसने शिक्षा विभाग और विश्वविद्यालयों की दिशा तय की/It guided education departments and universities
Explanation
Simple Explanation
वुड्स डिस्पैच ने आधुनिक शिक्षा व्यवस्था के ढांचे को प्रभावित किया। परीक्षा में इसे शिक्षा का चार्टर मानकर याद रखें। / Wood's Despatch shaped the framework of modern education. Exam tip: remember it as the charter of education.
A. दक्षिण भारत में राजनीतिक प्रतिस्पर्धा कम हुई/Political competition in South India decreased
Explanation
Simple Explanation
फ्रांसीसी चुनौती कमजोर होने से अंग्रेजी प्रभाव बढ़ा। परीक्षा में वांडीवाश को निर्णायक मोड़ समझें। / The weakening of the French challenge increased English influence. Exam tip is to see Wandiwash as a decisive turn.
A. यह पश्चिमी भारत में अंग्रेजी व्यापार का आरंभिक आधार बनी/It became an early base of English trade in western India
Explanation
Simple Explanation
सूरत से अंग्रेजों ने पश्चिमी तट पर व्यापार फैलाया। परीक्षा में प्रारंभिक यूरोपीय व्यापारिक केंद्रों को अलग याद रखें। / From Surat the English expanded trade on the western coast. Exam tip is to remember early European trading centres separately.
A. भारत में व्यापारिक और राजनीतिक प्रभाव बढ़ाना/To increase trade and political influence in India
Explanation
Simple Explanation
दोनों यूरोपीय शक्तियाँ दक्षिण भारत में अपना प्रभाव बढ़ाना चाहती थीं। परीक्षा में कर्नाटक युद्धों को यूरोपीय प्रतिस्पर्धा से जोड़ें। / Both European powers wanted to expand their influence in South India. Exam tip is to link the Carnatic Wars with European rivalry.
A. दक्षिण भारत में फ्रांसीसी राजनीतिक प्रभाव घटा/French political influence declined in South India
Explanation
Simple Explanation
वांडीवाश की विजय के बाद फ्रांसीसियों की राजनीतिक चुनौती कमजोर हुई। परीक्षा में कर्नाटक युद्धों को अंग्रेज-फ्रांसीसी संघर्ष से जोड़ें। / After the victory at Wandiwash the French political challenge weakened. Exam tip is to link the Carnatic Wars with the Anglo-French rivalry.
C. व्यापारिक अनुमति प्राप्त करने के लिए/To obtain trading permission
Explanation
Simple Explanation
हॉकिन्स अंग्रेज व्यापारिक हितों के लिए जहांगीर के दरबार आया था। परीक्षा में यूरोपीय व्यापारियों की शुरुआत को मुगल दरबार से जोड़ें। / Hawkins came to Jahangir's court for English trading interests. Exam tip: connect early European traders with the Mughal court.
C. इंग्लिश ईस्ट इंडिया कंपनी/English East India Company
Explanation
Simple Explanation
जहांगीर के समय इंग्लिश ईस्ट इंडिया कंपनी ने मुगल दरबार से संपर्क बढ़ाया। यूरोपीय व्यापारिक कंपनियों का क्रम याद रखें। / During Jahangir's reign the English East India Company expanded contact with the Mughal court. Remember the sequence of European trading companies.
सूरत में अंग्रेजी फैक्ट्री जहांगीर के समय स्थापित हुई। परीक्षा में सर थॉमस रो और अंग्रेजी व्यापार को साथ पढ़ें। / The English factory at Surat was established during Jahangir's reign. For exams, study Sir Thomas Roe and English trade together.
अंग्रेजी ईस्ट इंडिया कंपनी की स्थापना (1600) ईस्वी में हुई। परीक्षा में इसे यूरोपीय व्यापार कंपनियों से जोड़ें। / The English East India Company was founded in (1600) CE. For exams, connect it with European trading companies.
(24) के गुणजों के योग से (48) के गुणजों का योग घटाने पर (1027752) मिलता है। but not में बड़ी शर्त को घटाना होता है। / Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
(18) के गुणजों के योग से (\operatorname{lcm}(18,30)) के गुणजों का योग घटाने पर (83664) मिलता है। but not वाली शर्त में overlap हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (\operatorname{lcm}(18,30)) from the sum of multiples of (18) gives (83664). In a but-not condition, remove the overlap.
(18) के गुणजों के योग से (72) के गुणजों का योग घटाने पर (28278) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Subtracting the sum of multiples of (72) from the sum of multiples of (18) gives (28278). Use the least common multiple to remove overlap.
(10) के गुणजों के योग से (50) के गुणजों का योग घटाने पर (39600) मिलता है। दोनों शर्तों के साझा गुणजों को हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (50) from the sum of multiples of (10) gives (39600). Remove the common multiples of both conditions.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (11) के गुणजों का योग (44550), इसलिए उत्तर (450000) है। विभाज्य नहीं में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (11) is (44550), so the answer is (450000). For not divisible, the complement method is fast.
संख्याएँ \(105,147,\ldots,987\) हैं और उनका योग (12012) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (42) हो जाता है। / The numbers are \(105,147,\ldots,987\), and their sum is (12012). In this condition, the new AP has common difference (42).
(12) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (26460) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (12) gives (26460). Use the least common multiple to remove overlap.
(8) के गुणजों के योग से (24) के गुणजों का योग घटाने पर (33368) मिलता है। but not वाली शर्त में पूरक घटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (24) from the sum of multiples of (8) gives (33368). In a but-not condition, subtract the complement.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (9) के गुणजों का योग (55350), इसलिए उत्तर (439200) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (9) is (55350), so the answer is (439200). For not divisible, the complement method is fast.
संख्याएँ \(105,135,\ldots,975\) हैं और उनका योग (16200) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (30) हो जाता है। / The numbers are \(105,135,\ldots,975\), and their sum is (16200). In this condition, the new AP has common difference (30).
संख्याएँ \(200,216,\ldots,488\) हैं और उनका योग (6536) है। but not वाली शर्त से अक्सर नई AP बनती है। / The numbers are \(200,216,\ldots,488\), and their sum is (6536). A but-not condition often forms a new AP.
संख्याएँ \(102,114,\ldots,990\) हैं और उनका योग (40950) है। ऐसी शर्त में (12) के अंतर वाली नई श्रेढ़ी बनती है। / The numbers are \(102,114,\ldots,990\), and their sum is (40950). In such a condition, a new AP with common difference (12) is formed.
दो अंकों की सभी संख्याओं का योग (4905) है और (4) के गुणजों का योग (1188), इसलिए उत्तर (3717) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all two-digit numbers is (4905), and the sum of multiples of (4) is (1188), so the answer is (3717). For not divisible, the complement method is fast.
पहले दो अंतर (5,5) हैं, पर (20-14=6) है। सभी उपलब्ध क्रमागत अंतर जांचना जरूरी है। / The first two differences are (5,5), but (20-14=6). It is necessary to check all available consecutive differences.
(2,6,10) तक अंतर (4,4) हैं, पर (15-10=5) है। सभी उपलब्ध क्रमागत अंतर जांचना जरूरी है। / Up to (2,6,10), the differences are (4,4), but (15-10=5). It is necessary to check all available consecutive differences.
C. क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/Because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
अंतर (4,6,8) हैं जो समान नहीं हैं। केवल बढ़ते पद देखकर अंकगणितीय श्रेणी न मानें। / The differences are (4,6,8), which are not equal. Do not assume arithmetic progression only because terms increase.
\(2,3,5,8,\ldots\) में अंतर (1,2,3) हैं। इसलिए लगातार अंतर बराबर नहीं हैं। / In \(2,3,5,8,\ldots\), the differences are (1,2,3). Hence the consecutive differences are not equal.
D. क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/Because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
अंतर (4,6,8) हैं जो समान नहीं हैं। बढ़ते पद होना ही अंकगणितीय श्रेणी के लिए पर्याप्त नहीं है। / The differences are (4,6,8), which are not equal. Increasing terms alone are not enough for an arithmetic progression.
\(2,4,7,11,\ldots\) में अंतर (2,3,4) हैं। अंकगणितीय श्रेणी पहचानने के लिए सभी अंतर समान होने चाहिए। / In \(2,4,7,11,\ldots\), the differences are (2,3,4). To identify an arithmetic progression all differences must be equal.
C. क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/Because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
अंतर (2,3,4) हैं जो समान नहीं हैं। बढ़ते पद होने से ही अंकगणितीय श्रेणी नहीं बनती। / The differences are (2,3,4), which are not equal. Increasing terms alone do not make an arithmetic progression.
\(2,5,9,14,\ldots\) में अंतर (3,4,5) हैं। अंतर समान न हो तो अनुक्रम समांतर श्रेढ़ी नहीं होता। / In \(2,5,9,14,\ldots\), the differences are (3,4,5). If differences are not equal, the sequence is not an arithmetic progression.
A. बिंदु (\left\(2,5\right\))/Point (\left\(2,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(2,5\right\)) पर (3\left\(2\right\)+4\left\(5\right\)=26), लेकिन (2+5=7) भी है, इसलिए जाँच पूरी करें। सही अलग बिंदु (\left\(4,\frac{7}{2}\right\)) है। / At (\left\(2,5\right\)), (3\left\(2\right\)+4\left\(5\right\)=26), but (2+5=7) also, so check fully. The correct non-common point is (\left\(4,\frac{7}{2}\right\)).
A. बिंदु (\left\(1,5\right\))/Point (\left\(1,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(1,5\right\)) पर (2\left\(1\right\)+5\left\(5\right\)=27), लेकिन (1+5=6)। सामान्य हल बनने के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At (\left\(1,5\right\)), (2\left\(1\right\)+5\left\(5\right\)=27), but (1+5=6). To be a common solution, both equations must be true.
B. बिंदु (\left\(3,6\right\))/Point (\left\(3,6\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,6\right\)) पर (2\left\(3\right\)+3\left\(6\right\)=24), लेकिन (3+6=9)। सामान्य हल के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At (\left\(3,6\right\)), (2\left\(3\right\)+3\left\(6\right\)=24), but (3+6=9). For a common solution, both equations must be true.
