Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. दावा गलत है, क्योंकि \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), जो परिमेय है।/The claim is false because \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। यहाँ \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\) है, जो परिमेय है। परीक्षा में वर्गमूलों को पहले एक ही वर्गमूल में मिलाएँ। / The product of irrational numbers need not be irrational. Here, \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), a rational number. Exam tip: combine square roots first before deciding the type of number.
एक विद्यार्थी कहता है कि दो अपरिमेय संख्याओं का भागफल हमेशा अपरिमेय होता है। निम्नलिखित में से कौन-सी गणना उसके कथन को निर्णायक रूप से गलत सिद्ध करती है?
\(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। इसलिए कथन गलत है। परीक्षा में प्रतिवाद के लिए एक उदाहरण पर्याप्त होता है। / Both \(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are irrational, but \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\), which is rational. Thus the claim is false. Exam tip: one counterexample disproves an “always” statement.
C. \(n\) पूर्ण वर्ग न हो/\(n\) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। इसलिए \(n\) पूर्ण वर्ग न होने पर \(\sqrt{n}\) अपरिमेय है। उदाहरण: \(12\) पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः \(\sqrt{12}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: केवल सम या विषम होना पर्याप्त शर्त नहीं है। / The square root of a positive integer is rational only when that integer is a perfect square. Hence, if \(n\) is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) is irrational. For example, \(12\) is not a perfect square, so \(\sqrt{12}\) is irrational. Exam tip: being even or odd alone is not enough.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), जो परिमेय संख्या है। दोनों गुणनखंड अपरिमेय हैं, इसलिए रीमा का ‘हमेशा’ वाला कथन गलत है। परीक्षा में मूलों को पहले एक ही वर्गमूल में मिलाइए। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational. Since both factors are irrational, this is a counterexample to Reema’s “always” claim. Exam tip: combine square roots first before deciding the type of number.
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का भाग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। परीक्षा में मूलों को पहले एक ही वर्गमूल में मिलाइए। / \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3\), which is rational. The quotient of two irrational numbers need not be irrational. Exam tip: combine the radicals before deciding the number type.
वर्गमूल का वर्ग अंदर की संख्या देता है। इसलिए \(\left(\sqrt{7+\sqrt{10}}\right)^2=7+\sqrt{10}\) है। / The square of a square root gives the number inside. So \(\left(\sqrt{7+\sqrt{10}}\right)^2=7+\sqrt{10}\).
विकल्प A में \(\sqrt{19}\) और \(\sqrt{19}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, तथा उनका अंतर \(\sqrt{19}-\sqrt{19}=0\) है। शून्य एक परिमेय संख्या है। विकल्प B में \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\), विकल्प C में \(\sqrt{5}-\sqrt{20}=-\sqrt{5}\), और विकल्प D में \(\sqrt{7}-\sqrt{28}=-\sqrt{7}\) अपरिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: समान अपरिमेय संख्याओं का अंतर हमेशा शून्य होता है, और शून्य परिमेय है। / In option A, \(\sqrt{19}\) and \(\sqrt{19}\) are both irrational, and their difference is \(\sqrt{19}-\sqrt{19}=0\). Zero is a rational number. In option B, \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) is irrational; option C simplifies to \(\sqrt{5}-\sqrt{20}=-\sqrt{5}\), and option D to \(\sqrt{7}-\sqrt{28}=-\sqrt{7}\), both irrational. Exam tip: the difference of identical irrational numbers is zero, which is rational.
A. यदि \(5-\sqrt{7}\) परिमेय हो, तो \(\sqrt{7}=5-(5-\sqrt{7})\) भी परिमेय होगा, जो असंभव है।/If \(5-\sqrt{7}\) were rational, then \(\sqrt{7}=5-(5-\sqrt{7})\) would also be rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। यदि \(5-\sqrt{7}\) परिमेय मानें, तो उसे 5 से घटाने पर \(\sqrt{7}\) परिमेय निकलता, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{7}\) is irrational. If \(5-\sqrt{7}\) were rational, subtracting it from 5 would make \(\sqrt{7}\) rational, a contradiction. Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
A. \(5\sqrt{2}\) सेमी; यह अपरिमेय है/\(5\sqrt{2}\) cm; it is irrational
Explanation
Simple Explanation
भुजा = \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt2\) सेमी। \(\sqrt2\) अपरिमेय है और 5 जैसे शून्येतर परिमेय से गुणा करने पर भी अपरिमेय रहता है। परीक्षा में क्षेत्रफल का वर्गमूल लें। / Side = \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt2\) cm. Since \(\sqrt2\) is irrational, multiplying it by non-zero rational 5 keeps it irrational. Exam tip: take the square root of the area.
