Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. हर अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 हो/Every prime factor is only 2 or 5
Explanation
Simple Explanation
सबसे सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने पर दशमलव प्रसार सांत होता है। जैसे, \(40=2^3\times5\)। केवल 2 या केवल 5 होना भी इसका विशेष मामला है; हर में 3 आने पर प्रसार असांत आवर्ती होगा। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest terms has no prime factors other than 2 and 5. For example, \(40=2^3\times5\). Options B and C are only special cases, while a factor such as 3 gives a non-terminating recurring decimal. Exam tip: reduce first.
\(0.\overline{3}\) अनंत होते हुए भी आवर्ती दशमलव है और \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय है। \(\sqrt{2}\) अनावर्ती है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव सदैव परिमेय होते हैं। / Although \(0.\overline{3}\) is non-terminating, it repeats and \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\), so it is rational. \(\sqrt{2}\) is non-repeating. Exam tip: every repeating decimal represents a rational number.
एक विद्यार्थी कहता है, “जिस भिन्न के हर में 3 का गुणनखंड हो, उसका दशमलव प्रसार हमेशा अनंत आवर्ती होता है।” निम्नलिखित में से कौन-सा भिन्न इस कथन को गलत सिद्ध करता है?
\(\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2\), इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है। दशमलव का प्रकार ज्ञात करने से पहले भिन्न को सरल रूप में लिखें; केवल सरल हर के गुणनखंड देखें। / \(\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2\), so its decimal expansion terminates. Always reduce a fraction first: only the prime factors of the simplified denominator determine the decimal type.
दिया गया दशमलव \(0.036036036\ldots\) में अंक-समूह \(036\) लगातार दोहराया जा रहा है। इसलिए बार पूरे आवर्ती समूह \(036\) पर लगेगा: \(0.\overline{036}\)। \(0.0\overline{36}\) में केवल \(36\) दोहरता है, जिससे दशमलव \(0.0363636\ldots\) बनता है, जो दिए गए दशमलव से अलग है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दोहरने वाले सबसे छोटे पूर्ण अंक-समूह को पहचानें। / In \(0.036036036\ldots\), the digit block \(036\) repeats continuously. Therefore, the bar must be placed over the complete recurring block: \(0.\overline{036}\). In \(0.0\overline{36}\), only \(36\) repeats, giving \(0.0363636\ldots\), which is different from the given decimal. Exam tip: identify the smallest complete repeating block before placing the bar.
\(0.09=0.0900\ldots\) लिख सकते हैं। अब तुलना करने पर दशमलव के पहले तीन अंक समान हैं, लेकिन चौथे अंक पर \(0.0909\ldots\) में 9 है और \(0.0900\ldots\) में 0 है। इसलिए \(0.0909\ldots>0.09\)। विकल्प B गलत है क्योंकि समाप्त दशमलव \(0.09\) में आगे के सभी अंक 0 होते हैं। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय समाप्त दशमलव के अंत में शून्य जोड़कर अंकों की क्रम से तुलना करें। / We can write \(0.09\) as \(0.0900\ldots\). The first three decimal digits are the same, but at the fourth digit \(0.0909\ldots\) has 9 whereas \(0.0900\ldots\) has 0. Therefore, \(0.0909\ldots>0.09\). Option B is incorrect because all digits after the terminating decimal \(0.09\) are 0. Exam tip: When comparing decimals, append zeros to a terminating decimal and compare digits from left to right.
A. \(0.\overline{6}\), \(1.2323\ldots\), \(4.105105\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प की सभी संख्याओं में कोई न कोई भाग बार-बार दोहरता है। यही असांत आवर्ती दशमलव की पहचान है। / All numbers in the first option have some part repeating again and again. This is the key feature of non-terminating recurring decimals.
B. यह परिमेय है, क्योंकि 27 का आवर्तन हो रहा है; इसे \(\frac{3}{11}\) लिखा जा सकता है।/It is rational because 27 repeats; it can be written as \(\frac{3}{11}\).
Explanation
Simple Explanation
\(0.272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। असांत दशमलव प्रसार आवर्ती हो तो वह परिमेय होता है; विकल्प A में यही भ्रम है। परीक्षा टिप: आवर्तन दिखे तो उसे \(\frac{9}{99}\) आदि के रूप में बदलें। / \(0.272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so it is rational. A non-terminating decimal is rational when a block repeats; option A ignores this rule. Exam tip: use 9, 99, or 999 in the denominator for repeating blocks.
दशमलव बिंदु के बाद अंक क्रम \(9,0,9,0,\ldots\) है। यहाँ \(9\) के बाद \(0\) आता है और यही दो अंकों का क्रम लगातार दोहरता है, इसलिए आवर्ती भाग \(90\) है। \(9\) अकेले नहीं दोहरता, क्योंकि उसके बाद हर बार \(0\) भी आता है। परीक्षा टिप: आवर्ती भाग पहचानने के लिए दशमलव के बाद सबसे छोटे क्रम को देखें जो लगातार उसी क्रम में दोहर रहा हो। / After the decimal point, the digits are \(9,0,9,0,\ldots\). The digit \(9\) is followed by \(0\), and this two-digit block repeats continuously; therefore, the recurring part is \(90\). The digit \(9\) alone is not the repeating block because it is followed by \(0\) each time. Exam tip: identify the shortest block after the decimal point that repeats in the same order.
C. \(2.7182818\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(2.7182818\ldots\) without fixed repetition
Explanation
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बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव असांत अनावर्ती होता है। ऐसे दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is non-terminating non-recurring. Such decimals can represent irrational numbers.
B. कथन गलत है; इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है, इसलिए संख्या अपरिमेय है।/The statement is incorrect; its decimal expansion is non-terminating and non-recurring, so the number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहराता। यह असांत-अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में असांत दशमलव के लिए आवर्ती या अनावर्ती होना अवश्य जाँचें। / The number of zeros between successive 1s increases as 1, 2, 3, 4, …, so no fixed block repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-recurring; hence it is irrational. Exam tip: a non-terminating decimal is rational only when it eventually repeats.
दिया गया दशमलव 0.312312312… में 312 का तीन-अंकीय समूह बार-बार दोहर रहा है। इसलिए बार पूरे आवर्ती समूह 312 पर लगेगा: \(0.\overline{312}\)। विकल्प \(0.3\overline{12}\) में केवल 12 को आवर्ती माना गया है, जो दिए गए दशमलव के क्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले सबसे छोटे समूह को पहचानें जो लगातार दोहर रहा हो। / In the decimal 0.312312312…, the three-digit block 312 repeats continuously. Therefore, the bar must be placed over the complete repeating block: \(0.\overline{312}\). In \(0.3\overline{12}\), only 12 is treated as repeating, which does not match the given decimal pattern. Exam tip: Before using bar notation, identify the shortest block that repeats continuously.
\( \frac{1}{9}=0.111\ldots \), इसलिए (0.125) सबसे बड़ा है। भिन्नों को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{9}=0.111\ldots \), so (0.125) is the greatest. Convert fractions into decimals for comparison.
