Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दशमलव स्थानों की तुलना करने के लिए संख्याओं को तीन दशमलव स्थान तक लिखें: \(0.56=0.560\) और \(0.57=0.570\)। चूँकि \(0.560<0.565<0.570\), इसलिए \(0.565\) इनके बीच है। \(0.570\), \(0.57\) के बराबर है, इसलिए वह बीच में नहीं आता। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना करते समय आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर स्थानों की संख्या समान करें। / Write the numbers to three decimal places for comparison: \(0.56=0.560\) and \(0.57=0.570\). Since \(0.560<0.565<0.570\), \(0.565\) lies between them. \(0.570\) is equal to \(0.57\), so it is not strictly between the two numbers. Exam tip: When comparing decimals, add zeros at the end if needed to make the number of decimal places equal.
\(\frac{7}{40}\) में \(40=2^3\times5\) है। सरलतम भिन्न का दशमलव तभी सांत होता है, जब हर में केवल 2 और 5 हों। अन्य हरों में 3 भी है। परीक्षा में हर का गुणनखंडन पहले करें। / For \(\frac{7}{40}\), \(40=2^3\times5\). A reduced fraction terminates only when its denominator has 2 and/or 5. The other denominators contain 3. Exam tip: factor the denominator first.
\(0.272727\ldots\) में 27 बार-बार दोहरता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है और \(27/99=3/11\), अतः परिमेय है। \(\sqrt{2}\), \(\pi\) और \(0.1010010001\ldots\) अनावर्ती हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / In \(0.272727\ldots\), the block 27 repeats, so it is recurring and \(27/99=3/11\); hence it is rational. \(\sqrt{2}\), \(\pi\), and \(0.1010010001\ldots\) are non-recurring. Exam tip: every recurring decimal is rational.
पहले विकल्प की सभी संख्याएं कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाती हैं। सांत दशमलव में अंकों की संख्या सीमित होती है। / All numbers in the first option end after a finite number of digits. A terminating decimal has finite digits.
C. \(2.01001000100001\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(2.01001000100001\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव अपरिमेय हो सकता है। सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition can be irrational. Terminating and recurring decimals are rational.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय है, क्योंकि इसमें केवल 0 और 1 अंक आते हैं। उसकी त्रुटि को कौन-सा कथन सही ढंग से स्पष्ट करता है?
C. दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, इसलिए संख्या अपरिमेय है।/The decimal expansion is infinite and non-repeating, so the number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
लगातार 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … बढ़ती है; इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में दोहराव का निश्चित चक्र जाँचें। / The zeros between successive 1s number 1, 2, 3, 4, …, so no fixed repeating block exists. An infinite non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check for a repeating cycle, not just the digits used.
रीमा कहती है कि यदि किसी भिन्न के हर के अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य संख्या हो, तो उसका दशमलव प्रसार समाप्त होने वाला होता है। रीमा की त्रुटि दिखाने वाला उदाहरण कौन-सा है?
\(\frac{1}{6}\) में हर \(6=2\times3\) है। 3 होने के कारण इसका दशमलव \(0.1\overline{6}\) असांत आवर्ती है। \(\frac{3}{8}\) का हर केवल 2 की घात है, इसलिए वह समाप्त होता है। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / In \(\frac{1}{6}\), the denominator is \(6=2\times3\). Because it contains 3, its decimal is \(0.1\overline{6}\), which is non-terminating recurring. In contrast, \(\frac{3}{8}\) has only powers of 2 in its denominator. Exam tip: simplify the fraction first.
B. असांत आवर्ती दशमलव प्रसार/Non-terminating recurring decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, तभी दशमलव प्रसार सांत होता है। 3 होने पर प्रसार असांत आवर्ती होगा। परीक्षा-टिप: पहले भिन्न को सरल रूप में लिखें। / A rational number has a terminating decimal only when its reduced denominator contains only 2 and/or 5. Since 3 is present, the decimal repeats endlessly. Exam tip: always reduce the fraction first.
