Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
घातों का नियम: \((a^m)^n = a^{mn}\)। अतः \((5^2)^3 = 5^{2\times3} = 5^6\)। अब \(5^6 = 5^3\times5^3 = 125\times125 = 15625\)। विकल्प C सही है। निकटतम विचलन: 3125 = \(5^5\) (घात एक कम), 625 = \(5^4\), और 25 = \(5^2\) — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: पहले घातों के नियम लागू कर के घात का मान घटाएँ, उसके बाद संख्या का मान निकालें। / Use the power-of-a-power rule: \((a^m)^n = a^{mn}\). So \((5^2)^3 = 5^{2\times3} = 5^6\). Calculate \(5^6 = 15625\), hence option C is correct. Closest distractor 3125 equals \(5^5\) (one exponent short); 625 is \(5^4\) and 25 is \(5^2\), so they are incorrect. Exam tip: always simplify exponents using laws first, then evaluate the base power to avoid arithmetic mistakes.
घ नुक्सान का नियम लागू करें: समान आधार वाले घातों का भाग करने पर घात घटते हैं, यानी \(a^m\div a^n=a^{m-n}\)। यहाँ \(8^4\div 8^2=8^{4-2}=8^2=64\)। निकटभ्रांतियाँ: 512 = \(8^3\) (यह तब गलत परिणाम होगा यदि किसी ने घातों को गलत तरीके से घटाकर 4−1 किया हो), और 4096 = \(8^4\) (यह तब होगा यदि भाग करना भूल जाएँ)। परीक्षा-सूचना: पहले घातों के नियम लागू कर लें, फिर केवल छोटे अंकगणित से मान निकालें। / Use the law of exponents: for the same base, division subtracts exponents, i.e. \(a^m\div a^n=a^{m-n}\). Thus \(8^4\div 8^2=8^{4-2}=8^2=64\). About distractors: 512 = \(8^3\) (would result from an incorrect subtraction like 4−1), and 4096 = \(8^4\) (result if division is omitted). Exam tip: apply exponent rules first, then compute the remaining power to avoid arithmetic mistakes.
12 का वर्ग \(12^2=144\) और 13 का वर्ग \(13^2=169\) है। इनका योग है \(144+169=313\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 312 है जो जोड़ने में 1 की गलती से आ सकता है; 323 और 303 दोनों वर्गों की गलत मान्यताओं का परिणाम होंगे। परीक्षा टिप: व्यक्तिगत वर्ग पहले निकालें और इकाई अंक देखकर तेज़ जाँच करें (4+9=13 ⇒ इकाई अंक 3 और अगला स्थान पर 1 का संचय)। / Compute squares first: \(12^2=144\) and \(13^2=169\). Adding gives \(144+169=313\). The nearest distractor 312 likely comes from an off-by-one addition error; 323 and 303 reflect incorrect square values. Exam tip: find each square separately and check the unit digit (4+9=13 ⇒ unit digit 3 with a carry of 1) to verify quickly.
पहला चरण: \(14^2=196\) और \(15^2=225\)। इनका योग \(196+225=421\) होता है। वैकल्पिक तरीका: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) का उपयोग कर सकते हैं — यहाँ \((14+15)^2-2\times14\times15=29^2-420=841-420=421\)। सबसे निकट भ्रामक विकल्प 411 तब बनता है जब कोई \(15^2\) को गलत तरीके से 215 मान ले (196+215=411)। परीक्षा सुझाव: बड़े वर्गों के लिए पहचानें और आवश्यक होने पर \((a+b)^2-2ab\) सूत्र का उपयोग करें ताकि गिनती कम हो जाए। / Compute directly: \(14^2=196\) and \(15^2=225\), so \(196+225=421\). Alternate check: use identity \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\); here \((14+15)^2-2\cdot14\cdot15=29^2-420=841-420=421\). The nearest wrong choice 411 can result from mistakenly taking \(15^2=215\) (giving 196+215=411). Exam tip: memorize common squares and use the identity to reduce calculation errors on paper.
समान आधार वाले घातों को भाग करने पर घात आपस में घटते हैं: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)। इसलिए \(5^5 \div 5^2 = 5^{5-2} = 5^3 = 125\)। निकटभ्रामक विकल्पों में 25 = \(5^2\) (घात घटाने में अधिक कमी), 625 = \(5^4\) (घात जोड़ने या गलत घटाने का परिणाम), और 5 = \(5^1\) (अति-घटित) हैं — ये सब गलत हैं। परीक्षा टिप: विभाजन करते समय केवल घात घटाएँ; बेस अलग नहीं होते तो बस घात घटाइए। / For the same base, exponents are subtracted when dividing: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\). Thus \(5^5 \div 5^2 = 5^{5-2} = 5^3 = 125\). Closest distractors: 25 is \(5^2\) (too small), 625 is \(5^4\) (result of a wrong operation like adding exponents), and 5 is \(5^1\) (over-subtracted). Exam tip: when dividing like bases, subtract the exponents — don’t divide the bases themselves.
पहला कदम: \(20^2 = 400\). दूसरे का त्वरित उपयोग करने के लिए आप पहचान सकते हैं कि \(21^2 = (20+1)^2 = 20^2 + 2\times20\times1 + 1^2 = 400 + 40 + 1 = 441\). अतः कुल योग \(400 + 441 = 841\)। इसलिए सही उत्तर 841 है।
क्लोजेस्ट डिस्ट्रैक्टर (\(831\)) आम गलती से आता है जहाँ कोई \(21^2\) को गलत तरीके से \(431\) या जोड़ में 10 की कमी करके निकाल देता है। परीक्षा-टिप: किसी भी n के लिए \((a+b)^2\) या पास के पूर्ण वर्ग का उपयोग करें — यह स्क्रैच से गणना करने से तेज और कम त्रुटिपूर्ण होता है। / Compute directly: \(20^2 = 400\). Use the identity for the nearby square: \(21^2 = (20+1)^2 = 20^2 + 2\times20\times1 + 1^2 = 400 + 40 + 1 = 441\). Adding gives \(400 + 441 = 841\), so the correct answer is 841.
The closest wrong choice (831) typically arises from a slip in calculating \(21^2\) or an arithmetic error when adding. Exam tip: use \((a+b)^2\) or the nearest perfect square method to avoid careless mistakes.
पहले प्रत्येक घात की गणना करें: \(6^4 = 6\times6\times6\times6 = 1296\) और \(3^5 = 3\times3\times3\times3\times3 = 243\)। अतः योग है \(1296+243=1539\)। विकल्प B (1536) गलत है क्योंकि वहाँ \(243\) को गलती से \(240\) लिया गया होगा; विकल्प A केवल \(6^4\) का मान है। परीक्षा सुझाव: घातों के मान याद रखें और जोड़ते समय प्रभावित अंकों (units या tens) पर ध्यान दें ताकि छोटी गिनती की गलतियाँ पकड़ी जा सकें। / Compute each power first: \(6^4=6\times6\times6\times6=1296\) and \(3^5=3\times3\times3\times3\times3=243\). Adding gives \(1296+243=1539\). Option B (1536) is a close arithmetic mistake (treating 243 as 240). Option A (1296) is just \(6^4\) alone. Exam tip: evaluate powers separately and then add; checking the units digit often catches small addition errors.
सीधा हिसाब: \(22^2=484\) और \(23^2=529\)। दोनों जोड़ने पर \(484+529=1013\)।
त्वरित तरीका (पहचान): \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)। यहाँ \( (22+23)^2-2\times22\times23=45^2-1012=2025-1012=1013\)।
टिप: परीक्षा में बड़े वर्गों के जोड़ के लिए यह पहचान उपयोगी है। विकल्प B (1003) शायद अंकगणित में 10 की भूल से आया है—यह सही नहीं है। / Direct calculation: \(22^2=484\) and \(23^2=529\). Adding gives \(484+529=1013\).
Alternate quick method (identity): \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\). So \((22+23)2-2\times22\times23=452-1012=2025-1012=1013\.
Exam tip: Use this identity for fast mental calculation of sums of squares. Option B (1003) is a common slip (off by 10) and therefore incorrect.
सीधा तरीका: \(23^2=529\) और \(24^2=576\)। इन्हें जोड़ने पर \(529+576=1105\)।
वैकल्पिक तेज तरीका: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) लागू करें: \((23+24)^2=47^2=2209\) और \(2\times23\times24=1104\), इसलिए \(2209-1104=1105\)।
नज़दीकी विकल्पों का विश्लेषण: 1100 और 1095 ऐसे मान हैं जो जोड़ में हुई गलतगणना से आते हैं; 1115 अधिक अनुमान है।
परीक्षा-सुझाव: बड़े वर्गों का योग करते समय पहले छोटे वर्ग निकालें या उपरोक्त पहचान \( (a+b)^2-2ab \) का प्रयोग करें — यह समय बचाता है और त्रुटि घटाता है। / Direct method: \(23^2=529\) and \(24^2=576\). Adding gives \(529+576=1105\).
Alternate quick method: use \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\). Here \((23+24)^2=47^2=2209\) and \(2\times23\times24=1104\), so \(2209-1104=1105\).
Why other options are wrong: 1100 and 1095 result from small arithmetic undercounts; 1115 is an overestimate.
Exam tip: Use the identity \((a+b)^2-2ab\) to avoid computing two large squares separately — it's faster and reduces errors.
242 = 576 और 252 = 625 हैं; इसलिए 242 + 252 = 576 + 625 = 1201। एक तेज़ तरीका: 242 = (25−1)2 = 252 − 2·25 + 1 = 625 − 50 + 1 = 576, फिर जोड़ें। निकटतम दलाल विकल्प 1200 सिर्फ 1 से कम है इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: लगातार पूर्णांकों के वर्ग जोड़ने के लिए (n−1)2 + n-2 = 2n-2 − 2n + 1 का उपयोग करें। / 242 = 576 and 252 = 625, so 242 + 252 = 576 + 625 = 1201. A quick method: compute 242 as (25−1)2 = 252 − 2·25 + 1 = 576, then add. The closest distractor 1200 is off by 1 and therefore incorrect. Exam tip: use the identity (n−1)2 + n-2 = 2n-2 − 2n + 1 for consecutive integers to save time.
सीधा हिसाब: \(26^2=676\) और \(27^2=729\)। दोनों जोड़ने पर \(676+729=1405\)। वैकल्पिक त्वरित तरीका: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) का उपयोग करें — यहाँ \((26+27)^2-2\times26\times27=53^2-1404=2809-1404=1405\)। विकल्प \(1395\) सामान्य तौर पर गलत जोड़/घटाने की त्रुटि का परिणाम है, इसलिए वह निकट लेकिन गलत है। परीक्षा टिप: बड़े वर्गों को तुरंत याद न हों तो पहले गुणा/घटाकर देखें या दी गई पहचान का प्रयोग करें। / Direct calculation: \(26^2=676\) and \(27^2=729\). Adding gives \(676+729=1405\). A quick identity: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) — here \((26+27)^2-2\times26\times27=53^2-1404=2809-1404=1405\). Option 1395 typically arises from an arithmetic slip, so it is close but incorrect. Exam tip: use the identity or compute individual squares carefully to avoid addition mistakes under time pressure.
किसी दो संख्याओं के वर्गों के योग को जल्दी निकालने के लिए पहचान उपयोगी है: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)। यहाँ \(a=28,\; b=29\)। पहले \(a+b=57\) और \(ab=28\times29=812\)। इसलिए \((28^2+29^2)=(57)^2-2\times812=3249-1624=1625\)। निकट का विक्षेपक 1615 इसलिए गलत है क्योंकि यह 292 को 831 मानने जैसी छोटी ग़लती से 10 कम आ सकता है। परीक्षा-टिप: बड़े वर्गों को सीधे गुणा करने की जगह पहचान \((a+b)^2-2ab\) या हर संख्या का वर्ग अलग निकालें \(28^2=784, 29^2=841\) और जोड़ें। / Use the identity \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) for a quick calculation. With \(a=28, b=29\): \(a+b=57\) and \(ab=28\times29=812\). So \(28^2+29^2=57^2-2\times812=3249-1624=1625\). The close option 1615 is incorrect — it could arise from miscalculating \(29^2\) as 831 instead of 841. Exam tip: either use the identity above or compute \(28^2=784\) and \(29^2=841\) separately and add them to avoid small arithmetic mistakes.
सरल तरीकों से: सीधे गुणन करके
312 = 961 और 322 = 1024, इसलिए जोड़ने पर 961 + 1024 = 1985।
या पहचान का प्रयोग करें:
((n-1)2 + n-2 = 2n-2 - 2n + 1) पर n = 32 लगाएँ:
2·322 - 2·32 + 1 = 2·1024 - 64 + 1 = 2048 - 63 = 1985।
नोट: निकटतम भ्रामक विकल्प (1975) अक्सर गलत वर्ग या जोड़ने में कमी के कारण आता है।
परीक्षा सुझाव: बड़े वर्ग तेज़ी से निकालने के लिए पहचानें या 322 = (30+2)2 = 900+120+4 = 1024 जैसे भागों में विभाजित करें। / By direct calculation: 312 = 961 and 322 = 1024, so 961 + 1024 = 1985.
Alternatively use the identity
((n-1)2 + n-2 = 2n-2 - 2n + 1) with n = 32:
2·322 - 2·32 + 1 = 2·1024 - 64 + 1 = 1985.
Common distractor (1975) results from arithmetic slip when squaring or adding. Exam tip: use algebraic identities or split squares (e.g. 322 = (30+2)2) for faster, less error-prone calculation.
सीधा तरीका: \,\(32^2=1024\) और \,\(33^2=1089\) इसलिए जोड़ = 1024+1089=2113। वैकल्पिक त्वरित सूत्र: \,\(n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1\) पर n=32 लगाने पर भी \,\(2\times32^2+2\times32+1=2113\) मिलता है। निकटतम विचलन: 2103 और 2123 गणना में 10 का अंतर दर्शाते हैं, 2119 में 6 का अंतर है — ये सभी गलत हैं। परीक्षा टिप: लगातार पूर्णांकों के वर्ग जोड़ते समय उपरोक्त सामान्य सूत्र याद रखें, इससे गति बढ़ती है। / Direct calculation: \(32^2=1024\) and \(33^2=1089\), so the sum is 1024+1089=2113. Quick formula: \(n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1\); with n=32 this gives 2113 as well. Why distractors are wrong: 2103 and 2123 are 10 away and 2119 is 6 away from the correct sum, so they result from simple arithmetic mistakes. Exam tip: use the formula for consecutive integers' squares to compute such sums faster and avoid addition errors.
