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(a+e-ae=a\Rightarrow e(1-a)=0), so (e=0) works for every \(a\in A\).
Step 3
Exam Tip
In exams, always verify both (a*e=a) and (e*a=a). चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+e-ae=a\Rightarrow e(1-a)=0)। हर \(a\in A\) के लिए यह तभी होगा जब (e=0)। चरण 3: परीक्षा में पहले (a*e=a) और (e*a=a) दोनों की जाँच करें।
For inverse (x), (a*x=0), so (a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a\Rightarrow x=\frac{a}{a-1}).
Step 3
Exam Tip
Watch the sign carefully while matching options. चरण 1: पिछले प्रश्न की तरह तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (a*x=0), यानी (a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a\Rightarrow x=\frac{a}{a-1}) नहीं, बल्कि \(x=\frac{-a}{1-a}=\frac{a}{a-1}\) है। चरण 3: विकल्पों में चिह्न ध्यान से देखें।
Find the identity first, then find the inverse. चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक अवयव (2) है। चरण 2: \(a*x=2\Rightarrow \frac{ax}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{a}\)। चरण 3: पहले तत्समक अवयव निकालें, फिर प्रतिलोम निकालें।
A. हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है/Yes, because the result is always an integer
Step 1
Concept
Closure means if (a,b) are integers, then (a*b) must also be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+ab) is formed using integer addition and multiplication, so it is an integer.
Step 3
Exam Tip
Closure checks the set of the result, not commutativity. चरण 1: संवृतता का अर्थ है कि (a,b) पूर्णांक हों तो (a*b) भी पूर्णांक हो। चरण 2: (a+b+ab) पूर्णांकों के योग और गुणन से बना है, इसलिए पूर्णांक रहेगा। चरण 3: संवृतता में क्रमविनिमेयता नहीं, परिणाम का समुच्चय देखा जाता है।
(a+e+ae=a\Rightarrow e(1+a)=0), so (e=0) works for all (a).
Step 3
Exam Tip
The same identity must work for the whole set. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: (a+e+ae=a\Rightarrow e(1+a)=0)। यह हर (a) के लिए तभी सही है जब (e=0)। चरण 3: एक ही (e) पूरे समुच्चय के लिए काम करना चाहिए।
\(a*x=0\Rightarrow a+x+ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}\). For integer (x), (a+1) must divide (a), hence it must also divide (-1). Thus \(a+1=\pm1\), so (a=0) or (a=-2).
Step 3
Exam Tip
For inverse questions on integers, divisibility is the key check. चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: \(a*x=0\Rightarrow a+x+ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}\), जहाँ \(a\neq -1\)। पूर्णांक (x) के लिए (a+1) को (a) को भाग देना चाहिए, इसलिए (a+1) को (a-(a+1)=-1) को भी भाग देना होगा। इसलिए \(a+1=\pm1\), अर्थात (a=0) या (a=-2)। चरण 3: प्रतिलोम के प्रश्न में भाग्यता की जाँच बहुत जरूरी है।
Identity (e) must satisfy (\min(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
This happens when (e) is the greatest element of the set, which is (4).
Step 3
Exam Tip
For a \(\min\) operation, the identity is the greatest element. चरण 1: (e) ऐसा होना चाहिए कि (\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए हो। चरण 2: यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो, यानी (4)। चरण 3: \(\min\) में तत्समक सबसे बड़ा अवयव होता है।
This is possible when (e) is the smallest element, which is (1).
Step 3
Exam Tip
For a \(\max\) operation, the identity is the smallest element. चरण 1: (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए होना चाहिए। चरण 2: यह तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो, यानी (1)। चरण 3: \(\max\) में तत्समक सबसे छोटा अवयव होता है।
In shifted addition operations, do not directly choose (-a). चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए \(a+e+2=a\Rightarrow e=-2\)। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए \(a+x+2=-2\Rightarrow x=-a-4\)। चरण 3: बदली हुई जोड़ संक्रिया में साधारण (-a) को तुरंत न चुनें।
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य/Commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=b*a) because (a+b+2=b+a+2).
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c+4) and (a*(b*c)=a+b+c+4), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
Check commutativity and associativity separately. चरण 1: (a*b=b*a) क्योंकि (a+b+2=b+a+2)। चरण 2: ((a*b)*c=a+b+c+4) और (a*(b*c)=a+b+c+4), इसलिए साहचर्य भी है। चरण 3: दोनों गुण अलग-अलग जाँचना बेहतर रहता है।
C. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
Since (a*b=(a+1)(b+1)-1), both groupings give ((a+1)(b+1)(c+1)-1).
Step 3
Exam Tip
Rewriting the operation often simplifies associativity checks. चरण 1: (a+b+ab) में (a) और (b) की अदला-बदली से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। चरण 2: (a*b=(a+1)(b+1)-1), इसलिए ((a*b)*c=(a+1)(b+1)(c+1)-1=a*(b*c))। चरण 3: रूपांतरण से कठिन साहचर्य जाँच आसान हो जाती है।
\(a^b\) is a natural number for natural (a,b), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
But \(2^3=8\) while \(3^2=9\), so \(a*b\neq b*a\).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to disprove commutativity. चरण 1: \(a^b\) प्राकृतिक संख्याओं के लिए प्राकृतिक संख्या रहता है, इसलिए संवृतता है। चरण 2: लेकिन \(2^3=8\) और \(3^2=9\), इसलिए \(a*b\neq b*a\)। चरण 3: क्रमविनिमेयता में केवल एक विरोधी उदाहरण काफी होता है।
((2*3)*2=82=64), but (2*(3*2)=29=512). They are not equal.
Step 3
Exam Tip
With exponent operations, changing brackets often changes the value. चरण 1: साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) होना चाहिए। चरण 2: ( (2*3)*2=82=64), लेकिन (2*(3*2)=29=512)। दोनों बराबर नहीं हैं। चरण 3: घात वाली संक्रियाओं में कोष्ठक बदलने से मान अक्सर बदल जाता है।
C. यह न क्रमविनिमेय है न साहचर्य/It is neither commutative nor associative
Step 1
Concept
(a-b) is generally not equal to (b-a), so it is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=(a-b)-c), while (a*(b*c)=a-(b-c)=a-b+c), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
For subtraction-based operations, check both properties carefully. चरण 1: (a-b) सामान्यतः (b-a) के बराबर नहीं होता, इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। चरण 2: ((a*b)*c=(a-b)-c), जबकि (a*(b*c)=a-(b-c)=a-b+c), इसलिए साहचर्य नहीं। चरण 3: घटाव पर आधारित संक्रिया में दोनों गुण सावधानी से जाँचें।
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य है/It is commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b-ab) is unchanged by interchanging (a,b), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), both bracketings lead to the same product form, so it is associative.
Step 3
Exam Tip
Complement-type rewriting can make associativity quick. चरण 1: (a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। चरण 2: (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए दोनों तरफ (1-) मान लेने पर समान गुणन बनता है। अतः साहचर्य है। चरण 3: कभी-कभी पूरक रूप लिखना तेजी से समाधान देता है।
A. क्योंकि कुछ जोड़ों के लिए हर शून्य हो जाता है/Because the denominator becomes zero for some pairs
Step 1
Concept
A binary operation must be defined for every ordered pair of elements of the set.
Step 2
Why this answer is correct
If (a=1,b=-1), both are in the set, but (a+b=0), so the value is undefined.
Step 3
Exam Tip
One undefined pair is enough to reject it as a binary operation. चरण 1: द्विआधारी संक्रिया हर क्रमित जोड़े के लिए परिभाषित होनी चाहिए। चरण 2: (a=1,b=-1) लेने पर दोनों समुच्चय में हैं, पर (a+b=0), इसलिए मान परिभाषित नहीं है। चरण 3: परिभाषा में किसी एक असफल जोड़े से द्विआधारी संक्रिया अस्वीकार हो जाती है।
For inverse (x), (a+x+ax=0\Rightarrow x(a+1)=-a\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}).
Step 3
Exam Tip
Since \(a\neq -1\), the denominator is not zero. चरण 1: तत्समक अवयव (0) है क्योंकि (a*0=a)। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+ax=0\Rightarrow x(a+1)=-a\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1})। चरण 3: यहाँ \(a\neq -1\), इसलिए हर (a) के लिए हर शून्य नहीं होगा।
A. क्योंकि (a*b=-1) कभी नहीं होता/Because (a*b) is never (-1)
Step 1
Concept
For closure, the result must belong to (A), so it must not be (-1).
Step 2
Why this answer is correct
(a*b+1=(a+1)(b+1)). Since \(a,b\neq -1\), both factors are non-zero, so \(a*b\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
For restricted sets, check that the forbidden value cannot occur. चरण 1: संवृतता के लिए परिणाम फिर (A) में होना चाहिए, यानी (-1) नहीं होना चाहिए। चरण 2: (a*b+1=a+b+ab+1=(a+1)(b+1))। चूँकि \(a,b\neq -1\), दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए परिणाम (-1) नहीं होगा। चरण 3: निषिद्ध मान से बचना संवृतता जाँचने का अच्छा तरीका है।
A. यह समूह जैसी सभी मूल शर्तें पूरी करती है/It satisfies all basic group-like conditions
Step 1
Concept
The product of two non-zero real numbers is non-zero, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is identity and every \(a\neq0\) has inverse \(\frac{1}{a}\).
Step 3
Exam Tip
Even familiar multiplication should be checked against the given set. चरण 1: दो अशून्य वास्तविक संख्याओं का गुणन फिर अशून्य होता है, इसलिए संवृतता है। चरण 2: (1) तत्समक अवयव है और हर \(a\neq0\) का प्रतिलोम \(\frac{1}{a}\) है। चरण 3: सामान्य गुणन को प्रतिबंधित समुच्चय पर भी ध्यान से जाँचें।
A. हाँ, क्योंकि परिणाम अशून्य परिमेय है/Yes, because the result is a non-zero rational number
Step 1
Concept
(a,b) are non-zero rational numbers, so \(b\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}\) is rational and non-zero, so it lies in (A).
Step 3
Exam Tip
Division becomes a problem only when the divisor is zero, which is excluded here. चरण 1: (a,b) अशून्य परिमेय हैं, इसलिए \(b\neq0\)। चरण 2: \(\frac{a}{b}\) परिमेय और अशून्य रहेगा, अतः परिणाम (A) में है। चरण 3: विभाजन तभी समस्या देता है जब भाजक शून्य हो, यहाँ वह हटाया गया है।
B. क्रमविनिमेय नहीं और साहचर्य नहीं/Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
\(\frac{2}{3}\neq\frac{3}{2}\), so it is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((8*4)*2=2*2=1), while (8*(4*2)=8*2=4), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
For division operations, small numerical examples are very useful. चरण 1: \(\frac{2}{3}\neq\frac{3}{2}\), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। चरण 2: ((8*4)*2=2*2=1), जबकि (8*(4*2)=8*2=4), इसलिए साहचर्य नहीं। चरण 3: भाग वाली संक्रिया में छोटे संख्यात्मक उदाहरण जल्दी निर्णय देते हैं।
In shifted addition, balance the constant term to find identity. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: \(a+e-1=a\Rightarrow e=1\)। (e*a=e+a-1=a) भी सही है। चरण 3: बदली हुई जोड़ संक्रिया में स्थिर संख्या को संतुलित करें।
Inverse is always found with respect to the identity element. चरण 1: तत्समक अवयव (1) है। चरण 2: \(a*x=1\Rightarrow a+x-1=1\Rightarrow x=2-a\)। चरण 3: प्रतिलोम हमेशा तत्समक अवयव के आधार पर निकाला जाता है।
The remainder of (a+0) on division by (3) is (a) itself. So (0) is identity.
Step 3
Exam Tip
In remainder-based addition, test (0) first. चरण 1: यह (3) के अनुसार जोड़ है। चरण 2: (a+0) को (3) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (0) तत्समक है। चरण 3: शेषफल वाली जोड़ संक्रिया में (0) को पहले जाँचें।
(2*x=0) means the remainder of (2+x) should be (0). Since (2+1=3), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
In small finite sets, inverses can be checked directly. चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: (2*x=0) का अर्थ है कि (2+x) का शेषफल (0) हो। (2+1=3), जिसका शेषफल (0) है। चरण 3: छोटे समुच्चय में प्रतिलोम सीधे जाँचकर निकाला जा सकता है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है, पर शेषफल (0) आने पर उसे (5) नहीं माना जाता। क्या यह (A) पर द्विआधारी संक्रिया है?
A. हाँ, क्योंकि शेषफल हमेशा (1,2,3,4) में है/Yes, because the remainder is always in (1,2,3,4)
Step 1
Concept
Check whether (ab) can be divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime and none of (1,2,3,4) is divisible by (5), the product is not divisible by (5). So remainder (0) never occurs.
Step 3
Exam Tip
If the remainder always returns to the set, closure holds. चरण 1: (A) में (5) का कोई गुणज नहीं है, पर गुणनफल (ab) जाँचें। चरण 2: (1,2,3,4) में से किसी दो का गुणनफल (5) से विभाज्य नहीं होता, क्योंकि (5) अभाज्य है और कोई गुणक (5) नहीं है। इसलिए शेषफल (0) नहीं आएगा। चरण 3: शेषफल समुच्चय में लौटे तो संक्रिया संवृत है।
The remainder of \(a\cdot1\) on division by (5) is (a). Hence (1) is identity.
Step 3
Exam Tip
In modular multiplication, test (1) as identity first. चरण 1: यह (5) के अनुसार गुणन है। चरण 2: \(a\cdot1\) को (5) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (1) तत्समक अवयव है। चरण 3: शेषफल वाली गुणन संक्रिया में (1) को पहले जाँचें।
We need the remainder of (3*x) to be (1). Since \(3\cdot2=6\), the remainder on division by (5) is (1).
Step 3
Exam Tip
A quick modular multiplication table helps in such questions. चरण 1: तत्समक अवयव (1) है। चरण 2: (3*x) का शेषफल (1) चाहिए। \(3\cdot2=6\), जिसका (5) से शेषफल (1) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुणन सारणी मन में बनाना उपयोगी है।
Algebraic rewriting makes property checking easier. चरण 1: दिए गए पदों को गुणनफल के रूप में देखें। चरण 2: ((a+1)(b+1)=ab+a+b+1), जो ठीक (a*b) है। चरण 3: बीजगणितीय रूपांतरण से गुणों की जाँच आसान होती है।
(ae+a+e+1=a\Rightarrow e(a+1)+1=0\Rightarrow e=\frac{-1}{a+1}), which depends on (a).
Step 3
Exam Tip
An identity must be one fixed element for all (a), so it does not exist here. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: (ae+a+e+1=a\Rightarrow e(a+1)+1=0\Rightarrow e=\frac{-1}{a+1}), जो (a) पर निर्भर है। चरण 3: तत्समक अवयव सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए, इसलिए यहाँ नहीं है।
The result is real, so closure holds. Also (2a+2b=2b+2a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=4a+4b+2c), while (a*(b*c)=2a+4b+4c), not generally equal.
Step 3
Exam Tip
For associativity, compare the complete algebraic forms. चरण 1: परिणाम वास्तविक है, इसलिए संवृतता है। (2a+2b=2b+2a), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: ((a*b)*c=2(2a+2b)+2c=4a+4b+2c), जबकि (a*(b*c)=2a+2(2b+2c)=2a+4b+4c)। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। चरण 3: साहचर्य में पूरे बीजगणितीय रूप की तुलना करें।
(a*(b*c)=ka+k(kb+kc)=ka+k-2b+k-2c). Equality for all (a,c) requires \(k^2=k\).
Step 3
Exam Tip
(k(k-1)=0), so (k=0) or (k=1). चरण 1: ((a*b)*c=k(ka+kb)+kc=k-2a+k-2b+kc)। चरण 2: (a*(b*c)=ka+k(kb+kc)=ka+k-2b+k-2c)। तुलना से \(k^2=k\) चाहिए। चरण 3: (k-2=k\Rightarrow k(k-1)=0), इसलिए (k=0) या (k=1)।
First identify how the constant (k) shifts the identity. चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए \(a+e+k=a\Rightarrow e=-k\)। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए \(a+x+k=-k\Rightarrow x=-a-2k\)। चरण 3: पहले (k) के कारण बदले हुए तत्समक अवयव को पकड़ें।
A. यह संवृत है और इसका तत्समक (2) है/It is closed and has identity (2)
Step 1
Concept
The product of two non-zero real numbers is non-zero, so \(\frac{ab}{2}\) is also non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), which belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
For non-zero sets, ensure the result cannot become zero. चरण 1: दो अशून्य वास्तविक संख्याओं का गुणन अशून्य होता है, इसलिए \(\frac{ab}{2}\) भी अशून्य है। चरण 2: \(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), जो समुच्चय में है। चरण 3: अशून्य समुच्चय में परिणाम शून्य तो नहीं बन रहा, यह जरूर जाँचें।
Use a counterexample: ((2*1)*1=5*1=26), while (2*(1*1)=2*2=8). Therefore it is not associative.
Step 3
Exam Tip
To disprove associativity, choose a counterexample carefully. चरण 1: \(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: ((1*1)*1=2*1=22+1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=1+22=5) यह उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा उदाहरण लें: ((2*1)*1=5*1=26), जबकि (2*(1*1)=2*2=8)। इसलिए साहचर्य नहीं। चरण 3: साहचर्य को सिद्ध या असिद्ध करने में सही विरोधी उदाहरण चुनें।
((1*3)*6=2*6=4), while (1*(3*6)=1*3=2). They are not equal.
Step 3
Exam Tip
Even with absolute value, changing brackets can change the result. चरण 1: (|a-b|=|b-a|), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: ((1*3)*6=2*6=4), जबकि (1*(3*6)=1*3=2)। दोनों बराबर नहीं हैं। चरण 3: निरपेक्ष मान वाली संक्रिया में भी कोष्ठक बदलने से मान बदल सकता है।
C. क्योंकि किसी उदाहरण में \(a*b\neq b*a\) मिलता है/Because one example gives \(a*b\neq b*a\)
Step 1
Concept
To disprove commutativity, one counterexample is enough.
Step 2
Why this answer is correct
For (a=-2,b=3), (a*b=|-2|3=6), while (b*a=|3|(-2)=-6).
Step 3
Exam Tip
The operation need not fail for every pair; one unequal pair is enough. चरण 1: क्रमविनिमेयता असिद्ध करने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। चरण 2: (a=-2,b=3) लेने पर (a*b=|-2|3=6), जबकि (b*a=|3|(-2)=-6)। चरण 3: हर जगह अलग होना जरूरी नहीं, एक असमान उदाहरण ही काफी है।
In a small set, inverse can be found by direct multiplication. चरण 1: सामान्य गुणन में तत्समक अवयव (1) है। चरण 2: ((-1)\cdot(-1)=1), इसलिए (-1) अपना ही प्रतिलोम है। चरण 3: छोटे समुच्चय में प्रतिलोम सीधे गुणा करके देख सकते हैं।
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य/Commutative and associative
Step 1
Concept
Usual multiplication is commutative, so (ab=ba).
Step 2
Why this answer is correct
It is also associative, so ((ab)c=a(bc)).
Step 3
Exam Tip
In a finite set, check closure first; here products of (1) and (-1) remain in (A). चरण 1: सामान्य गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। चरण 2: सामान्य गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। चरण 3: सीमित समुच्चय में पहले संवृतता देखें; यहाँ (1) और (-1) का गुणन फिर (A) में ही रहता है।
(1*1=1+1-2=0), and (0) is not in this set. Hence closure fails.
Step 3
Exam Tip
For closure checks, always test the smallest elements. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में सामान्यतः \(1,2,3,\ldots\) होते हैं। चरण 2: (1*1=1+1-2=0), और (0) इस समुच्चय में नहीं है। इसलिए संवृतता टूट जाती है। चरण 3: संवृतता जाँचते समय सबसे छोटे अवयवों को जरूर आजमाएँ।
The identity balances the constant subtracted in the operation. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: \(a+e-2=a\Rightarrow e=2\)। दूसरी तरफ (e*a=e+a-2=a) भी सही है। चरण 3: स्थिर संख्या जितनी घट रही हो, तत्समक उसी को संतुलित करता है।
While finding inverse, the target is the identity of that operation, not always (0). चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक अवयव (2) है। चरण 2: \(5*x=2\Rightarrow 5+x-2=2\Rightarrow x=-1\)। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय लक्ष्य (0) नहीं, इसी संक्रिया का तत्समक अवयव होता है।
A. क्योंकि (a*b=1) कभी नहीं होगा/Because (a*b) will never be (1)
Step 1
Concept
For closure in (A), the result must not be (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)). Since \(a,b\neq1\), both factors are non-zero, so \(a*b\neq1\).
Step 3
Exam Tip
Showing that the forbidden element cannot occur proves closure neatly. चरण 1: (A) में संवृतता के लिए परिणाम (1) नहीं होना चाहिए। चरण 2: (1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। चूँकि \(a,b\neq1\), दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए \(a*b\neq1\)। चरण 3: निषिद्ध अवयव को परिणाम बनने से रोकना संवृतता का अच्छा प्रमाण है।
For inverse (x), \(a+x-ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{1-a}\). When (a=1), the denominator becomes zero and no solution exists.
Step 3
Exam Tip
Always check where the inverse formula becomes undefined. चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए \(a+x-ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{1-a}\)। (a=1) पर हर शून्य हो जाता है और समीकरण (1=0) जैसा असंभव बनता है। चरण 3: प्रतिलोम सूत्र में हर की शून्यता जरूर देखें।
A. यह हमेशा क्रमविनिमेय है/It is always commutative
Step 1
Concept
To test commutativity, interchange (a) and (b).
Step 2
Why this answer is correct
\(a+b+\lambda ab=b+a+\lambda ba\), which is true for every \(\lambda\).
Step 3
Exam Tip
In parameter questions, first check whether the expression is symmetric. चरण 1: क्रमविनिमेयता में (a) और (b) को बदलकर देखें। चरण 2: \(a+b+\lambda ab=b+a+\lambda ba\), जो हर \(\lambda\) के लिए समान है। चरण 3: पैरामीटर वाले प्रश्न में पहले यह देखें कि अभिव्यक्ति सममित है या नहीं।
(a+e+\lambda ae=a\Rightarrow e\(1+\lambda a\)=0). (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
The value that works for all (a) is the identity. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: (a+e+\lambda ae=a\Rightarrow e\(1+\lambda a\)=0)। (e=0) हर (a) के लिए काम करता है। चरण 3: जब एक मान सभी (a) के लिए चले, वही तत्समक अवयव है।
(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), (x) is not defined.
Step 3
Exam Tip
The most important check in inverse questions is whether the denominator becomes zero. चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो (x) नहीं निकलेगा। चरण 3: प्रतिलोम में हर की शून्यता सबसे महत्वपूर्ण जाँच है।
समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus\left{-\frac{1}{\lambda}\right}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है, जहाँ \(\lambda\neq0\)। इस संक्रिया के लिए (a) का प्रतिलोम क्या है?
For inverse (x), (a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). Therefore \(x=\frac{-a}{1+\lambda a}\).
Step 3
Exam Tip
The set excludes exactly the value that would make the denominator zero. चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। इसलिए \(x=\frac{-a}{1+\lambda a}\)। चरण 3: दिए गए समुच्चय से वही मान हटाया गया है जहाँ हर शून्य हो सकता था।
For identity (e), we need (a*e=a) for every positive (a).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), so (e) depends on (a).
Step 3
Exam Tip
An identity must be one fixed element, so no identity exists here. चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) हर धनात्मक (a) के लिए होना चाहिए। चरण 2: \(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), यानी (e) हर (a) के साथ बदल रहा है। चरण 3: तत्समक अवयव एक स्थिर अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ कोई तत्समक अवयव नहीं है।
If (a,b) are real, then (a+2b) is also real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
Commutativity would require (a+2b=b+2a) always, but for (a=1,b=2), (1*2=5) and (2*1=4).
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample is enough to disprove commutativity. चरण 1: (a,b) वास्तविक हों तो (a+2b) भी वास्तविक है, इसलिए संवृतता है। चरण 2: क्रमविनिमेयता के लिए (a+2b=b+2a) हर बार होना चाहिए, पर (a=1,b=2) लेने पर (1*2=5) और (2*1=4) मिलते हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता तोड़ने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण पर्याप्त है।
