तुल्यता संबंध न होने का सबसे सीधा कारण कौन सा हो सकता है?
Which can be the most direct reason for a relation not being an equivalence relation?
#relations
#equivalence-relation
#properties
A तीनों में से कोई एक जरूरी गुण न होना / Any one required property is missing
B संबंध में बहुत अधिक युग्म होना / The relation has too many pairs
C संबंध में संख्याएँ होना / The relation has numbers
D संबंध में अक्षर होना / The relation has letters
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Correct Answer
A. तीनों में से कोई एक जरूरी गुण न होना / Any one required property is missing
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए स्वतः सममित और संचारी तीनों गुण चाहिए। / An equivalence relation needs reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
इनमें से एक भी गुण नहीं हो तो तुल्यता संबंध नहीं बनेगा। / If even one of these is missing, it is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में एक गुण टूटते ही निष्कर्ष लिख सकते हैं। / In exams once one property fails, you can conclude it is not equivalence.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) not an equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#relations
#equivalence-relation
#symmetry-fail
A क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
B क्योंकि यह स्वतः नहीं है / Because it is not reflexive
C क्योंकि यह संबंध नहीं है / Because it is not a relation
D क्योंकि इसमें कोई विकर्ण युग्म नहीं है / Because it has no diagonal pair
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Correct Answer
A. क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए सममितता जरूरी है। / Symmetry is necessary for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है इसलिए सममितता टूटती है। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में गैर विकर्ण युग्मों के उलटे युग्म अवश्य जाँचें। / In equivalence relation questions check reverse pairs for non-diagonal pairs.
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यदि (R) स्वतः और सममित है लेकिन संचारी नहीं है तो (R) क्या होगा?
If (R) is reflexive and symmetric but not transitive, what can be said about (R)?
#relations
#equivalence-relation
#transitive-fail
A यह तुल्यता संबंध नहीं है / It is not an equivalence relation
B यह अवश्य तुल्यता संबंध है / It is definitely an equivalence relation
C यह सर्वसम संबंध ही है / It is only a universal relation
D यह रिक्त संबंध है / It is an empty relation
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध नहीं है / It is not an equivalence relation
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण साथ में चाहिए। / An equivalence relation requires all three properties together.
Step 2
Why this answer is correct
संचारी गुण नहीं है इसलिए संबंध तुल्यता संबंध नहीं होगा। / Since transitivity is missing, the relation is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
दो गुण सही हों तब भी तीसरा गुण जाँचना जरूरी है। / Even if two properties hold, the third must be checked.
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संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\}\) में कौन सा गुण स्पष्ट है?
Which property is clearly present in \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\}\)?
#relations
#symmetric-relation
#examples
A सममित / Symmetric
B रिक्त / Empty
C अवैध / Invalid
D केवल प्रांत / Domain only
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म अपने उलटे से समान रहते हैं। / Diagonal pairs are the same as their reverse.
Step 2
Why this answer is correct
गैर विकर्ण युग्म ((1,3)) के साथ ((3,1)) भी है। / The non-diagonal pair ((1,3)) appears with ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
उलटे युग्मों की जोड़ी सममितता दिखाती है। / Pairs appearing with their reverses show symmetry.
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यदि \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2)\}\) हो तो संचारीता के लिए ((1,2)) और ((2,2)) से कौन सा युग्म चाहिए?
If \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2)\}\), which pair is needed for transitivity from ((1,2)) and ((2,2))?
#relations
#transitive-relation
#checking
A ((1,2))
B ((2,1))
C ((1,1))
D ((2,3))
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Correct Answer
A. ((1,2))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,2)) में बीच का (2) समान है। / In ((1,2)) and ((2,2)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
संचारीता के लिए ((1,2)) चाहिए जो पहले से मौजूद है। / Transitivity requires ((1,2)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
कभी कभी जरूरी युग्म वही होता है जो संबंध में पहले से दिया हो। / Sometimes the required pair is already in the relation.
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यदि \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2)\}\) \(A=\{1,2\}\) पर है तो यह संचारी है या नहीं?
If \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2)\}\) on \(A=\{1,2\}\), is it transitive?
#relations
#transitive-relation
#easy-practice
A हाँ / Yes
B नहीं क्योंकि ((2,1)) नहीं है / No because ((2,1)) is absent
C नहीं क्योंकि ((1,1)) है / No because ((1,1)) is present
D नहीं क्योंकि यह रिक्त नहीं है / No because it is not empty
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
संचारीता में जुड़े हुए युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity needs the third pair from connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ बनने वाले जरूरी युग्म ((1,1),(1,2),(2,2)) पहले से मौजूद हैं। / The required pairs ((1,1),(1,2),(2,2)) are already present.
Step 3
Exam Tip
संचारीता में उलटा युग्म जरूरी नहीं होता। / A reverse pair is not required for transitivity.
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यदि \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) \(A=\{1,2\}\) पर है तो यह स्वतः क्यों नहीं है?
If \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2\}\), why is it not reflexive?
#relations
#reflexive-relation
#symmetric-contrast
A ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं / Both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
B ((1,2)) उपस्थित है / ((1,2)) is present
C ((2,1)) उपस्थित है / ((2,1)) is present
D यह सममित है / It is symmetric
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Correct Answer
A. ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं / Both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
स्वतः होने के लिए हर अवयव का अपने साथ युग्म चाहिए। / Reflexivity requires each element to be paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं इसलिए यह स्वतः नहीं है। / Here ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
सममित होने से स्वतः होना जरूरी नहीं है। / Being symmetric does not automatically mean being reflexive.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) किस गुण को अवश्य रखता है?
On \(A=\{1,2,3\}\), which property is definitely held by \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)?
#relations
#reflexive-relation
#identity-example
A स्वतः / Reflexive
B रिक्त / Empty
C सर्वसम / Universal
D अवैध / Invalid
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Correct Answer
A. स्वतः / Reflexive
Step 1
Concept
प्रत्येक अवयव का अपने साथ युग्म मौजूद है। / Each element is paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह संबंध स्वतः है। / Therefore the relation is reflexive.
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण युग्मों वाला संबंध भी स्वतः हो सकता है। / A relation with only diagonal pairs can still be reflexive.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) सममित क्यों है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) symmetric on \(A=\{1,2,3\}\)?
#relations
#symmetric-relation
#identity-example
A हर युग्म उलटने पर वही रहता है / Every pair remains the same when reversed
B क्योंकि इसमें सभी नौ युग्म हैं / Because it has all nine pairs
C क्योंकि इसमें कोई युग्म नहीं है / Because it has no pair
D क्योंकि इसमें केवल दो युग्म हैं / Because it has only two pairs
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Correct Answer
A. हर युग्म उलटने पर वही रहता है / Every pair remains the same when reversed
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म ((a,a)) उलटने पर भी ((a,a)) ही रहता है। / A diagonal pair ((a,a)) remains ((a,a)) after reversing.
Step 2
Why this answer is correct
सभी दिए गए युग्म विकर्ण हैं इसलिए सममितता पूरी होती है। / All given pairs are diagonal so symmetry is satisfied.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता में परेशानी नहीं देते। / Diagonal pairs do not create any problem for symmetry.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) संचारी क्यों है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) transitive on \(A=\{1,2,3\}\)?
#relations
#transitive-relation
#identity-example
A क्योंकि जुड़े हुए विकर्ण युग्मों से वही विकर्ण युग्म मिलता है / Because connected diagonal pairs give the same diagonal pair
B क्योंकि इसमें कोई विकर्ण युग्म नहीं है / Because it has no diagonal pair
C क्योंकि इसमें सभी गैर विकर्ण युग्म हैं / Because it has all non-diagonal pairs
D क्योंकि यह रिक्त संबंध है / Because it is an empty relation
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Correct Answer
A. क्योंकि जुड़े हुए विकर्ण युग्मों से वही विकर्ण युग्म मिलता है / Because connected diagonal pairs give the same diagonal pair
Step 1
Concept
संचारीता में ((a,a)) और ((a,a)) से ((a,a)) चाहिए। / In transitivity, ((a,a)) and ((a,a)) require ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ऐसे सभी जरूरी विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं। / All such required diagonal pairs are already present.
Step 3
Exam Tip
तत्समक संबंध संचारीता का सरल उदाहरण है। / The identity relation is a simple example of transitivity.
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